高等代数张禾瑞版教(学)案_第3章行列式

1、3.3 n 阶行列式教学目的：1、理解和掌握n阶行列式的定义和性质。2、能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。 教学内容：1、行列式的定义：2任意取n个数a j(i=1,2,，n;j=1,2,排1成以下形式a11 a 12a 1na21 a 22a 2n(1)a n1a n2a nn 考察位于（1 ）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积。这种乘积可以写成下面的形式：a1j 1 a 2 j 2 anjn，（ 2）这里下标ji，j 2,j n是1 , 2，n这n个数码的一个排列。反过来，给了n个数码的任意一个排列，我们也能得岀这样的一个乘积。因此，一切位于（1 ）的不同的行与不

2、同的列上的n个元素的乘积一共有n!个。我们用符号(j1 j 2j n)表示排列j1 j 2n的序数定义 用符号a11a12- a1na21a22 a2na n1 a n2 a nn表示的n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积a1j 1 a 2j 2a nj n 项1 a 2 j 2a nj n符号为（-1 ）,也就是说，当j1 j 2j n是偶排列时，这一项的符号为正，当j 1 j2j n是奇排列时，这一项的符号为负。一个n阶行列式正是前面所说的二阶和三阶行列式的推广。特别，当 式 a 就是数a.例1我们看一个四阶行列式n=1时，一阶

3、行列D=0=24项的代数。然而在这个行列式里，除了acfh,bdeg,bcfg 这四项0,因而等于0。与上面四项对应的排列依次是1234，g根据定义，D是一个4 !外，其余的项都至含有一个因子1324，4321 ，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个和第四个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg.2、转置行列式:设D=a21a 22a1 na2n如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式al1ai2alnD，叫做a21a n1a22an2a2na nnD的转置行列式。引理从n阶行列式的第 匚2,，in行和第j 1 ,j 2 ,.,j n列取岀元素作乘积a iiji a

4、i2j2 a 咖，2 .j n 都是 1,2,，这 n这里iii2i n和jijs t(-1 ),s=( i li 2 in ),t=( j ij 2 j n )证 如果交换乘积(3 )中某个因子的位置，个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是那么(3 )的元素的第一个下标和第二个下标s 和t ,那所成的排列同时经过一次对换。假定经过这样一次对换后所得的两个反序分别为 么由定理, s -s和t -t都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以( (s+t)=(s-s)+(t-t)是一个偶数。因此s +t 与s+t同时是偶数或同时是奇数，从而(-1 ) s t = (-1 ) s t.另一方面，

5、由定理 ，排列ij2总可以经过若干次对换变为12n.因此,若干次变换因子的次序，乘积(3)可以变为(4) a 1k1a2k2a nkn,这里k 1k 2 -k个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积(4)，因而乘积(3)的符号是(。然而 (12n) =0.由上面的讨论可知(-1 ) s t= (-1 ) n(12.Jn (k 1k2kn)+s )经过/、 n (k1k 2.k n)(-1 ) 。引理被证明。现在设和不同的列,a 1k1a 2k2 -a nkn是n阶行列式D的任意一项。这一项的元素位于 所以位于 D的转置行列式 D的不同的行和不同的列，因而也是 ，这一项在D里和 在D里的符号都是

6、(-1 ) n(k1k2.kn)。反过来,D中不同的两项。因为 DD=DO于是有的不同的行的一项。由引理一项也是D的一项，并且 D中不同的两项显然也是 都是n!,所以D与D是带有相同符号的相同项的代数和，既命题行列式与它的转置行列式相等。命题交换一个行列式的两行(或两列)，行列式改变符号。证设给定行列式D的任意 与D的项数ai2Inai1ai2D=a jiaj2inan1交换D的第I行与第an2j行得hnajiaj2a jnai1ai2aina n1an2ar（旁边的i和j表示行的序数） D的每一项可以写成a ikl a iki a jkj a nkn.(5)因为这一项的元素位于D i的不同的

7、行和不同的列，所以它也是D i的一项。反过来，D i的每一项也是D的一项，并且 D的不同项对应着D i的不同项。因此D与Di含有相同的项。D中的符号是（-i ） n（ki.ki.kj.kn）O然而在Di中，原行列式的第i行变成第j行，第j行变成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理，并注意到（ijin）是一奇数，（5 ）在 D i 中的符号是（-i ） n（i.j.i.n）n（kik2.kn） in（kik2.kn） i因此（5 ）在D和D i中的符号相反。所以交换行列式两列的情形，可以利用命题推论如果一个行列式有两行（列）命题把一个行列式的某一行（列）这个行列式。证设把行列式 D的第i行的

8、元素=（-1 ）D与D i的符号相反。归结到交换两行的情形。完全相同，那么这个行列式等于零。的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘a ii ,a i2 ,a乘以k而得到行列式D i。那么D i的第i行的元素是ka ii ,ka i2 ,，kain.D的每一项可以写作 0 oa 1j1 a iji arjr 边。D1中对应的项可以写作a iji ( ka iji )njn = k a iji 力 iji 力 njn n(j1j2.jn) o 因此，d i =kD.(7)在D中的符号与（7 ）在Di中的符号都是（一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外推论推论推论336证设

9、行列式差同一个因子k,因此-1 )如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零,如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例,那么这个行列式等于那么这个行列式等于那么这两行的对应元素只!卩ai=ka ji，ai2=ka j2，4n=ka jn .aiiai2.ainaiiai2.ainaiiai2.ainka jika j2.ka jna jiaj2.ajna jia j2.a ci jna nian 2.a nnanian2.annD的第i行与第j行（i工j）的对应元素成比例D=由推论336，可以把公因子 k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的 行列式；由推论 ，这个行列式等于零。

10、命题设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和：ai1ai2ainD= bii cilbi2G 2bin Qan1an2ann那么D等于两个行列式D1与D 2的和，其中D 1的第i行的元素是bii,bi2,，bnQ2的第i行的元素是c i1 ,c i2 ,，cn，而D 1与D 2的其它各行都和D的一样。同样的性质对于列来说也成立。证 D的每一项可以写成am（biji +c iji ）anjn的形式，它的符号是（一 1 ）（jij2jn）.去掉括弧，得 aijl （ biji +Cij1 ） anjn=a iji biji anjn+aijl Ciji anjn.但一切项aijibijiCn

11、jn附以原有符号后的和等于行列式一切项 a “I ijia njn附以原有符号后的和等于行列式aiiai2ainD 2 = CiiCi2Cinanian2ann因此命题命题D=D3.3.93.3.I 0i +D 2 .显然可以推广到第 把行列式的某一行i行（列）的元素是 m项的和的情形（m 2）. （列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。证设给定行列式D=aiiai2a2ia22anian2in2n把D的第j行的元素乘以同一数nnk后，加到第i行（i j）的对应元素上，我们得到行列式aiiai2.ai nD i=biibi2.b-Minanian2.ann例3 计算n

12、阶行列式0iii0iD =ii0aiika jiai2 kaj2ainka jna jiaj2aja nian2an由命题3.3.9此处=D+D iaiiai2ai ni -ka jikaj2kajna jiaj2a jnanian2annDi的第i行与第j列成比例；由推论 3.3.8,我们给岀两个利用行列式的性质来简化行列式计算的例子。例2 计算行列式d i =0所以D =D.aiaiaia2a2a2a3as根据命题3.3.i0,一列的元素同乘以-ia3从D的第二列和第三列的元素减去第一还不错的对应的元素后加到第二列和第三列的对应元素上),得(即把D的第id = ii这个行列式有两列车员成比

13、例ai i a2 i a3 i，所以根据推论3.3.8, D=0.我们看到，D的每一列的元素的和都是n-i.把第二,第三，第n行都加到第一行上，得n 11101110n 1 n 1 n 1101D =110111根据推论336,提岀第一行的公因子n-1,得111101D=( n - 1 )110111由于某种原因第二，第三”第n行减去第一行，得1 1 10 1 0D= ( n - 1 )0010 0 0 1由行列式定义，易见后一行列式等于对角线上元素的乘积(-1)n-1.所以n_1D=(-1)(n-1)3.4子式和代数余子式行列开的依行依列展开教学目的：1. 掌握计算行列式的能力2. 通过一些

14、比较典型的例题分析和习题训练，掌握行列式计算中的一些技巧教学内容：1. 子式和余子式 ：定义1在一个n阶行列式D中任意取定k行k列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.例1 在四阶行列式a11a12a13a14a21a22a23a24D=a31a32a33a34a41a42a43a44中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式M=a21a31a24a34定义2 n(n1)阶行列式D=a11ai1an1anja1nainann的某一元素aj余子式M耳指的是在D中划去aij所在的行和列后所余下的n-1阶子式.例2

15、例子的四阶行列式的元素a11 a12M 23 =*31a32印1a42a14a34a44定义3 n阶行列式D的元素aj的余子式 M j附以符号(1)，j后，叫做元素aj的代数余 子式.元素aj的代数余子式用符号Aj来表示：Aj =( 1)，j Mj .例3 例1中的四阶行列式D的元素a23的余子式是ana12ai4M 23 = (1)2 3 M 23 二 M23 =- a31a32a34现在先看一个特殊的情形，就是 形。定理若在一个n阶行列式a41n阶行列式的某一行a42(列)a44的元素最多有一个不是零的情D=anai jainai1aijainan1anjann中，第I行（或第j列）的元素

16、除aij外都是零，那么这个行列式等于aij与它代数余子式 Aij的乘积：D= a ij A ij我们只对行来证明这个定理。先假定Da11的第一行的元素除0a ij外都是零。这时0a21a22a2nD=an1an2ann我们要证明,D=a11A 11 = a 11(-1 )M 11 = a11 M 11，也就是说,a22a23a2na32a33a3nD= a 11an2an3ann(1 )子式M 11的每一项都可以写作a2j2a3j3anjn，此处j 2， 积 3-J ，Jn是2，3，n这n-1个数码的一个排列我们看项（1 ）与元素 a11的乘a这一乘积的元素位在11 a 2j2 a 3j3a

17、njnD的不同的行与不同的列上，因此它是D的一项。反过来,由于行列式D的每一项都含有第一列的一个元素，而第一行的元素除a11外都零，因此 D的每一项都可以jn )(j2jn )=(-1 )与a 11 M 11有相同的项，乘积（2 ）在D的符号是2（-1）另一方面，乘积（2 ）在a11M 11中的符号就是（1 ）在M 11中的符号。乘积（1）的元素既然位在D的第2 , 3，,n行与第j 2 , j 3，j1行与j 2-1 , j3-1，j n -1列，所以（1 ）在Mn列，因此它位在 M11的第1 ,（j211中的符号应该是（-1 ）2 n-1) (jn 1)。这样,乘积这（2）在a11 M 1

18、1中的符号与D显然，刀（j 2 j n ） =-1 ）（八1 ）中的符号一致。所以D= a 11M 11现在我们来看一般的情形。设a1,j 1 a1ja1, jD=an1an ,j 1 anj an,jann我们变动行列式D的行列，使aij位于第一行与第一列，并且保持a ij的余子式不变。为了达到这一目的，我们把 D的第I行依次与第1-1 , 1-2，2 , 1行变换，这样，一共经 过了 I-1次交换两行步骤，我们就把D的第I行换到第一行的位置。然后在把第j列依次与卜次交换两列的步骤,a ij就被换到第一行与第一列的1 , j-2，2, 1列交换，一共经过 j-1 位置上，这时，D变为下面形式

19、的行列式：aija1 ja11a1,j 1a1,j 1a1nai 1,jai 1,janjai 1,1ai 1,1a n1ai 1, j 1ai 1,j 1ai 1 ,nai1, j 1ai 1,j 1ai 1,ran,j 1an,j 1a nnD1是由D经过（i-1）+（j-1）次换行换列的步骤而得到的 行列式改变符号.因此D= （ 1）（i1）（j1）D1=（ 1）i j D1.由命题交换行列式的两行或两列；由 1）,在D1中，內位在第一行与第一列，并且第一行的其余元素都是零ai 1,1ai 1,j 1ai 1,jai 1,nai 1,1ai 1,j 1ai 1,jai 1,n因此D=a

20、n1an,j 1an,jannaj MjD=(1)i j D1=(1)i这样，定理得到证明.定理行列式D和.aij等于它任意一行换句话说，行列式有依行或依列的展开式D= ai1Ai1ai2 Ai2D= a1jA1 ja2jA2j我们先注意以下事实：在证明这一定理这前, 设1)i j Mja ij Aij(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的a AinAin (1=1,2，n),anj Anjnj nj(j=1,2，,n)。(4)a11a12a1na11a12a1nai1ai2ain6bi2binD1 =an1an2annD2 =an1an2ann5是两个N阶行列式,在这两个行列式中除去

21、第I行外，其余的相应行都不得相同。anij的子式是划去D1的第那么,D1的第I行的对应元素有相同的代数余子式。事实上， 得的N-1阶行列式。由于D1与D2只有第I行不同，所以划去这两个行列式的第a b列，我们得到同一的行列式。因此ij与ij的子式相同，而它们的代数余子式也相同。显然对列来说，也有同样的事实。现在我们来证明定理我们只对行来证明，换句话说，只证明公式(3).公式的证明是完全类似的.先把行列式I行第J列后所I行和第JD写成以下形式：aiiai2a1 n3il003i 23inD=也就是说，把D3n13n2ann的第I行的每一元素写成N项的和.根据命题等于个行列式的和：311a12a1

22、nOnOi2Oinail000ai20an1an2ann+3n1an23nnD=ai2aiiainan1an2ann在这N个行列式的每一个中 的相应行相同。因此，每一行列式的第 余子式相同。这样，由定理D ail A1以下定理在某种意义下和定理定理行列式,除了第I行外,其余的行都不得与 i行的元素代数余子式与Dd的第i行的对应元素的代数aiiai1a jla n1341 ，ai 2 Ai 2ai2ai2aj2an2ain Ain平行。al nainajnann的某一行（列）的元素与另外一行（列） 换句话说：的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。ai1Aj1ai2 Aj2a in Ajn3ls

23、Aita2s A2ta ns Ant证我们只证明等式（5）。看行列式311ai2ainai1Oi2ainDa jiaj2ajnaniOn2a nn(j)0 (i j),0 (s t).(i)(5)(6)D1的第i行与第j行完全相同，所以 D1 0。另一方面，D1与d仅有第j行不同，因此 D1的第j行的元素的代数余子式与D的第j行的对应元素的代数余子式相同。把D1依第j行展开，得D1ai1Aj1ai2 Aj2ain Ajnain Ajn因而ai1Aj1ai2 Aj2计算四阶行列式3在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第 四列上，得51111113100

24、105530511(1)331111550根据定理D 1把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得1)13240.5所以D=40。例5计算阶行列式x100x100xn000a n 1an 2an 3按第一列展开，得000000x 1a2 x a1X100010000X100X10000X00n 11an0X00000X100X1an 1an 2an 3a2xa1n X这里的第一个1n1。所以1阶行列式和n有相同的形式,把它记作1阶行列式等于这个式子对于任何n(n 12)都成立因此有anx(x n 22x n 2an i)anan iXana2xn 2an iXan .111a1a2anDn222a

25、1a2an2n 12n 12n 1a1a2an这个行列式叫做一个阶范得蒙(Van derm onde）行列式。由取后行开始,每一行减去匕的相邻的前一行乘以a1, 得11110a2a1a3a1an a1Dn0 a22aja3 (a3a1 )an (anaj0 a22(a2ajn 2a3(a3 ajan(anC)根据定理3.4.1a2a1a3aana1Dna2 (a2aja3(a3ajan (a na1 )a2 (a2ajna32(a3a1)an(ana1)例提出每一列的公因子后,得但。所以6计算行列式Dn(a2 a1)(a3ai) (an ai)a22a2a32 a3an2 anna2n 2a3

26、n 2an最后的因子是一个nDn (a2 aj(a3同样得Dn 1(a3 a2)(a41阶的范得蒙行列式，aj (an aJDn我们用Dn1代表它:a2)(an a2) Dn 2此处是一个阶的范得蒙行列式。如此继续下去，最后得Dn (a2 aj(a3 aj (a. aj?(a3 a?)aj(a3 aj (a.(ana2)?(an an 1).3.5克莱姆规则教学目的：1.理解克莱姆法则的条件，及应用范围。2 应用克莱姆法则解线性方程组。教学内容：设给定了一个含有 n个未知量n个方程的线性方程组a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 1n x n =ba 2i x i +a 22X 2 +a

27、 2n X n =ba n1 x 1 +a n2 x 2 +a利用方程组的系数可以构成一个nnXn =bn阶行列式aiia2ian1这个行列式叫做方程组（1 ）系数的行列式定理（克莱姆（Cramer）规则）式D 0时,有且仅有一个解_ D1x 1= D此处D j是把行列式 D行列式证n=1乘方程组（ai2ai na22a2n（1）3n2ann一个含有n个未知量n个方程的线性方程组当它的行列_ D2，x 2= D的第j列的元素换以方程组的常数项bi, b 2 ,Dn2云(2)b n .而得到的n阶.设n1.令j是整数1,2, ,n中的任意一个.分别以A 1j ,A 2j , A nj1 ）的第一

28、，第二，第 n个方程然后相加，得（a11 A1j + a 21 A2j+ + a n1 A nj）x1时是明显的(a “ A 1j +a 2 j A 2j + + a nj A nj) x j(a1n A 1j + a 2n A 2 j + + a nn A nj x n由定理和n阶行列式而等式右端刚好是这样，我们得到=b 1 A 1j + bj的系数等于a11a21an12 A 2j + b n A njj）的系数都是零；因此等式左端等于D x j ,D 而 x i (ib1b2bna1 na2na nnD x j = D j .令j=1,2,，n我们得到方程组D x 1 =D 1, D x 2 =D 2，D x n =D n .（ 3）方程组 的每一解都是方程组（3）的解.事实上,设ai , a 2，a