2011版高三数学一轮复习学案第八章_平面解析几何(82直线与圆) wu

1、2011版高三数学一轮精品复习学案：第八章 平面解析几何第二节 直线与圆【考纲知识梳理】一、圆的方程1圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程方程圆心坐标（a,b）半径r注：方程表示圆的充要条件是3点与圆的位置关系已知圆的方程为，点。则：（1）点在圆上：；（2）点在圆外：；（3）点在圆内：。4确定圆的方程方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方

2、程。注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）二、直线、圆的位置关系1直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个几何特征（圆心到直线的距离，半径）代数特征（直线与圆的方程组成的方程组）无实数解有两组相同实数解有两组不同实数解注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若

3、点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。2圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210几何特征（圆心距，两圆半径，）代数特征（两个圆的方程组成的方程组）无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解【热点难点精析】一、圆的方程（一）圆的方程的求法相关链接1确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.2如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：由三个条件得到关

4、于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。3以为直径的两端点的圆的方程为注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任一弦的中垂直上；（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。例题解析例求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程。（二）与圆有关的最值问题相关链接1求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=的最

5、值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。2特别要记住下面两个代数式的几何意义：表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，表示点（x,y）与原点的距离。例题解析例已知实数、满足方程。（1）求的最大值和最小值；（2）求-的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值。思路解析：化，满足的关系为理解，-，的几何意义根据几何意义分别求之。（三）与圆有关的轨迹问题相关链接1解决轨迹问题，应注意以下几点：（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为等。（3）求轨迹与求轨迹方程是不

6、同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。2求轨迹方程的一般步骤：（1）建系：设动点坐标为（x,y）；（2）列出几何等式；（3）用坐标表示得到方程；（4）化简方程；（5）除去不合题意的点，作答。例题解析例设定点M（-3，4），动点N在圆上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。解答：如图所示，二、直线、圆的位置关系（一）直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系的判定有两种方法（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方

7、程组，转化为一元二次方程，再利用判别式来讨论位置关系，即>0直线与圆相交;=0直线与圆相切;<0直线与圆相离.（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即d<r直线与圆相交；d>r直线与圆相切；d=r直线与圆相离。例题解析例已知圆（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；（2）与平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直

8、线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。（二）圆与圆的位置关系相关链接1判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；2若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项即可得到；3两圆公切线的条数（如下图）（1）两圆内含时，公切线条数为0；（2）两圆内切时，公切线条数为1；（3）两圆相交时，公切线条数为2；（4）两圆外切时，公切线条数为3；（5）两圆相离时，公切线条数为4。因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。例题解析例求经过两圆和的交点，且圆心

9、在直线xy4=0上的圆的方程思路解析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程（三）圆的切线及弦长问题相关链接1求圆的切线的方法（1）求圆的切线方程一般有两种方法：代数法：设切线方程为与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式=0进而求得k。几何法：设切线方程为利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即

10、斜率不存在时的情况。（2）若点在圆上，则M点的圆的切线方程为。2圆的弦长的求法（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则。（2）代数法：设直线与圆相交于两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得则弦长为。【感悟高考真题】18.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是A. B. C. D. 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.29、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、B、C、D、和3（2010全国卷2文数）（16）已知球的半

11、径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 。4设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：（）求实数b 的取值范围；（）求圆C 的方程；（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论一、选择题1直线与圆相切，则的值为（ ）A 0 B. C.2 D. 2已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为（）A.(x1)2y21 B.x2y21C.x2(y1)21 D.x2(y1)213已知圆与轴的两个交点为、，若圆内的动点使、成等比数列，则的取值范围为-（ ）（A） B） （C） （D）4 已知为圆

12、的两条互相垂直的弦，交于点，则四边形面积的最大值为-（ ）A 4 B5 C 6 D 75直线x+y+1=0与圆的位置关系是 （ ） A.相交 B.相离 C相切 D.不能确定答案：C提示：圆心，6两圆的位置关系是（ ）A内切B外切C相离D内含7已知点P（x，y）是直线kx + y + 4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）A3BCD2答案：D8经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为（）A B C. D9已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之和为（）(A) B (C) (D) 10已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线相切，则圆的方程是（ ）ABCD11若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，且POQ120°(其中O为原点)，则k的值为（）A、± B、± C、± D、±12如图，点P(3，4)为圆上的一点，点E，F为y轴上的两点，PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sinDAO的值为 ( )A B C D二、填空题13圆C: （为参数）的圆心坐标是 ；若直线与圆C相切，则的值为 .14如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，则圆O的面积等于15