2015年港澳台联考数学真题 （含答案与详细解析）

1、绝密启用前2015年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数 学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）（ ）（A） （B）（C） （D）（2）设平面向量，则（ ）（A）（B）（C）（D）（3）设集合，若至少有3个元素，则这样的共有（ ）（A）个（B）个（C）个（D）个（4）设是的反函数，则（ ）（A） （B） （C） （D）（5）设函数在区间是减函数，则的最小值为（ ）（A）（B） （C）（D）（6）不等式的解集为（ ）（A） （B）（C） （D）（7）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为

2、（ ）（A）（B）（C）（D）（8）函数的图象按向量平移后，所得图象对应的函数为（ ）（A）（B）（C）（D）（9）函数的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）（10）直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，则的斜率为（） （A）（B）（C）（D）（11）设等比数列的前项和为，公比为，且，若，则（ ）（A）（B）（C）（D）（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共6小题；每题5分。（13）点关于直线的对称点为_（14）曲线在点处的切线方程为_（15）复数的共轭复数_（16），为球的球面上三点，若

3、球的表面积为，到，的距离均为3，则到平面的距离为_（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面的垂线，垂足为_（18）若多项式，用除的余式为2，_三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（19）设的内角，的对边分别为，已知，求和 （20）设函数，当时，取得极值。（I）求；（II）求的单调区间。（21）已知数列的前项和。（I）证明：数列是等差数列；（II）求的通项公式。（22）设和是抛物线：上的两点，且。（I）若，求直线的方程；（II）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点。2015年港澳台联考数学试题解析版一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，

4、共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A（2）设平面向量，则（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B（3）设集合，若至少有3个元素，则这样的共有（ ）（A）个（B）个（C）个（D）个【答案】C（4）设是的反函数，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B（5）设函数在区间是减函数，则的最小值为（ ）（A）（B） （C）（D）【答案】D（6）不等式的解集为（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】方法一：特殊值法，取，不等式成立，排除B，D；再令，不等式不成立，排除C。方法二：分段讨论法：当时，解得；当时，恒

5、成立综上得，选A（7）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】令，得，故的最小值为。（8）函数的图象按向量平移后，所得图象对应的函数为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D（9）函数的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C（10）直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，则的斜率为（） （A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】定理：在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则. 证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又 ，利用上述结论，（11）设等比数列的前项和为，公比为，且，若，则（

6、 ）（A）（B）（C）（D）【答案】C（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A二、填空题：本大题共6小题；每题5分。（13）点关于直线的对称点为_【答案】 （14）曲线在点处的切线方程为_【答案】（15）复数的共轭复数_【答案】（16），为球的球面上三点，若球的表面积为，到，的距离均为3，则到平面的距离为_【答案】【解析】球的表面积为，因此，同理，因为，所以的外接圆的半径为，故（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面的垂线，垂足为_【答案】 （18）若多项式，用除的余式为2，_【答案】三、解答题：本大题

7、共4小题；每小题15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（19）设的内角，的对边分别为，已知，求和 【解析】因为，由正弦定理得，又，故，解得，由，故（20）设函数，当时，取得极值。（I）求；（II）求的单调区间。【解析】的定义域为，（I）由，故（II），令，得，故增区间为；令，得，又定义域为，故减区间为和（21）已知数列的前项和。（I）证明：数列是等差数列；（II）求的通项公式。【解析】（I）当时，得，两边同时乘以，得，所以，即数列是等差数列；（II）时；，解得，由（I）知，得（22）设和是抛物线：上的两点，且。（I）若，求直线的方程；（II）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过

8、定点。【解析】（I）若，则，所以，因此；（1）当，时，直线的方程为；（2）当，时，直线的方程为（II）（1）当直线AB的斜率不存在时，则，故，则线段AB的垂直平分线为；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为，显然，设AB的中点，则；2015年港澳台联考数学真题答案一、选择题112：ABCBD ABDCD CA二、填空题13 14 15 16 17 18三、解答题19【解析】因为，由正弦定理得，又，故，解得，由，故20【解析】的定义域为，（I）由，故（II），令，得，故增区间为；令，得，又定义域为，故减区间为和21【解析】（I）当时，得，两边同时乘以，得，所以，即数列是等差数列；（II）时；，解得，由（I）知，得22【解析】（