新欧拉Euler公式222

1、 新欧拉Euler公式 也就是求压屈荷载（或临界荷载）的公式张兴武 官燕玲 江超 张宇昊（长安大学，西安 710061） 提 要现在所用的欧拉公式：代表柔性杆件受所谓的轴压荷载的临界荷载（或压屈荷载）计算式加尔曼Karan用纵向弯曲理论证明是有效的,(未提及失稳问题)又说临界荷载 是由稳定理论分析所决定的,是否实测是得不到的疑问? 梅村魁(日本)指出用液压系统的试验设备是测不出临界荷载 (压屈荷载)铁木森珂Timoshenko:提出欧拉公式算出的结果与实际对比误差很大。原因是欧 拉公式是以小挠度理论为据的关系. 如此，促使我们用大挠度理论求较好临界荷载 大挠度理论的求压屈荷载计算公式的理念清楚

2、，公式简捷用改进简单机械装置,完全测出了较为真切的压屈荷载-临界荷载: 新欧拉公式是-两端铰支杆件, 一端固定它端自由杆件小挠度理论的欧拉压屈荷载：两端铰接柱的压屈荷载是 欧拉公式- -欧拉力 一 : 压屈荷载理论 压屈荷载（或临界荷载）理念研究是250多年前欧拉提出来的。欧拉本人对他的计算公式的形式和内容，以及作用的说明；欧拉指出：在柱发生压屈时的压屈荷载（或临界荷载）（Critieal losd）可由下式求得： )-两端铰支杆件 一端固定它端自由杆件 他又说：（除非）荷载p是小于，绝对用不着担心弯曲发生：反之，如果P的重量大于此值，柱子就不能抵抗弯曲。当柱子的弹性保持不变，其厚度也同样保持

3、不变时，它的安全承载的重量为P。这就是欧拉建立柱的压屈公式的理念,并有如上的说明。（材料力学史）后来纳维Navier用抗弯刚度（EJ）代以C，完成了弹性杆件的稳定的计算公式（）：( ，并(仍然)命之为Euler公式。人们认为这是经验公式。 旧Euler公式的诱导 如右图 1所示 若荷载P小于它的临界值,此杆将保持 直的只承受轴向压力,这是弹性平衡是稳定的,如果有一横向力作用于杆时将有小的挠曲,当除去横向力后, 挠度就消失,杆变成直的,增加P 将有这样情况,柱的平衡位位置变为不稳定了一个很小的横向力可能产生横向弯曲,而横向力除去时挠曲没有消失,于是足使杆保持一微小的弯曲形状的荷载,是为这个杆的临

4、界荷载如图 所示。 这是 Timoshenko书刊出的运用挠曲的微分方程 ,於是挠曲曲线微分方程为 设 则 此方程的通解为 式中的A, B为积分常数 以符合固定端的条件: 符合此条件:如果 於是 杆顶端的条件要求 如果条件符合:必须是: 表示杆的顶端没有挠度,或者说 n为任意整数, 为一个未定的量因为 kl的最小值,对应 P的最小值, 所以取n=0 于是方程式 （下为固定端，上端为自由）此是小挠度理论的压屈荷载。（或临界荷载）（Critieal load）它的不足之处，是把柱曲线定为二次曲线，近视为圆弧，新Euler公式的诱导 -(两端铰支杆件) 图1，a)所示：是一个下端固定上端自由的杆件，

5、自由端上受有偏心为e 垂直荷载N。一般在解算时，可将图1，a)看成是在自由端B上作用 一个N e=M的弯矩，如b)所示，和一个垂直荷载N作用在自由端B上，如c)所示,两部分。从图形所示看出，横向位移是由弯矩作用所产生的。图1Ne=M的弯矩作用在b)时，在自由端B将产生横向位移如图d)所示，B将移至B，位移。也应注意到垂直荷载N随之到了B，如图e) 所示。此时在自由端所产生弯矩M1=M+dM1 =N（ e +）。如图f) 所示，产生了附加位移。如此反复继续直到收敛为止。最后形成如下： 图2图2所示半径为 的曲线段为AB=l，对顶角为的扁形。自由端B的力矩为m0，B的横向位移为AA，求精确解的依据

6、为 受荷之后悬臂梁将弯成半径为的曲线，曲线两端与弧心连线其夹角B端的位移f=AC-AC=(1-cos）将cos展成级数 cos=1-2/2！+4/4！-f=（2/2！-4/4！-） f =l/（2/2！-4/4！-） f =l(/2!-3/4!+-)f=l1/2（m0l/EJ）-1/24（m0l/EJ）3+-f (位移)作此多项式，只取第一项，与取至第二项的比较，=f- f1= 如图4d所示，只考虑作用于B端时,而 B点的横向附加位移为 再考虑图4e ，B端已有附加的情况，此时的弯矩 此时其附加位移应当是如图4所示： -附加位移的总和 总位移为 =可以看出大括号 内是一个以为公比的无限等比级数

7、。如果小于1时，这个级数是收敛的，表明平衡是稳定; 如果大>1表明这个级数是发散的, 表明平衡是不稳定;只有=1是中性稳定. 所以稳定的压屈荷载（或临界荷载）（Critieal losd）的计算公式为:与欧拉公式对照,一端固定它端自由杆件的公式为 一端件固定它端自由杆再与欧拉公式对照 两端铰支杆件的压屈荷载（或临界荷载）为:-两端铰支杆件命名为新欧拉公式用试验验证理论公式总要通过实验验证,证明其是否可靠: 苻合实际的程度如何?,以及适用的范围如何?, 才有使用的价值.模型如下: 为保证能测出较大的弹性变形,选用高强弹簧钢 试件厚0.115cm, 宽慰.24cm, 高65cm 为便于计算,

8、 取.试件实际高度LK荷载为25g 按10级加载, 加到为止.如上左图6所示:下端固定上端自由的构件,上端按放一个延长的一杆,可跟随构件转动,又在上端放一水平横杆,两杆端用线绳连接,在横杆的一点加荷载吊篮,吊线与构件的距离为e的偏心距.。加砝码后构件弯曲，水平横杆转动，偏心e变小，若保持e值不变，要调整两杆端的连接线绳，使水平横杆保持水平，每次加载, 要调整两杆端的连接线，使水平横杆保持水平，保持e值不变,如此才能显示出附加横向位移的作用.N公式算得实测值0.00.0.0.21.11111.15001.03500.41.25001.28631.02900.61.42851.45051.0154

9、0.81.66671.61420.96851.02.00002.03361.01681.22.50002.61381.04151.43.33333.74561.12371,65.00005.40361.080721.810.000010.60571.060572.0N=9X=3.332259/1.0640平均数m=1.041242标准差s=0.043884变异系数=0.042243三 对欧拉力测试的探索，我们对用液压试验机测不出失稳的欧拉力。用试在简单的机械系统能测出欧拉力，进行了探索图 4 图 5 从左图4抿示是液压试验机:由试件弯曲所产生活 下移是突然 的,油箱的油压突然减小,示力指针回转

10、,不能正确示力.这就是梅村魁所说用液压系统的试验设备是测不出真正的临界荷载的道理. 从右图5所示是一个简单框架上梁有活动支座, 活动支座上有一平板,砝码放上, :由试件弯曲所产活动支座突然下移, 平板上的,砝码如图所示随着下移.这就是加尔曼用(荷载块)砝码加荷方法做出了”临界荷载” (1901)箸者在冶金建筑学院结研究室所作的试验,一试验结果,刊载在陕西建筑1983年第三期偏心受压构件挠度计算文中,加尔曼用纵向弯曲理论,提出纵向弯曲系数的概念,并作出纵向弯曲系表一、纵向弯曲系数的机理解析加尔曼Karan的纵向弯曲理论中纵向弯曲系数,就是有初弯曲柔情杆两自由端受轴向压力时,杆中点的挠度随轴向压力

11、变化值.设杆轴线初始为正弦曲线 初始挠度为 受轴力作用,将产生附加挠度 引用 代 y 成为 此微分方程的通解为 用边界条件确定常数A B 当x=0,及 l 时, =0 , 则 A B均为0x=0 , =0=0+Bcos 0+0 B必为0 x=l , Aa a a a 引用 于是挠曲的总作标为 如此表明:确初始中点挠度a将依照 1/(l- )的比值增大 当 x=l/2 时 同理可以用f= 1. 关于偏心距增大系数以小挠度理论为基础，所得出的偏心距增大系数的表达式为7，Timoshenko早已提出，当这个近似式N/NEX超过0.6时以大挠度理论为基础，所得出的较为精确的偏心距增大系数的表达式为9。

12、N荷载值；NEx轴心受压的临界力。N/Nx的比值越小，即偏心越小，偏心距增大系数亦越小；反之，N/NEx比值越大，偏心越大，偏心距增大系数亦越大。小的差值不明显，大的差值就不能忽略了。为便于比较，我们用三种表达式来进行比较，见表1。从表中可以看出，当N/NEx0.6时，其大小挠度理论的偏心距增大系数的误差已达到54.30%，这个数值是不允许的。证实了Timoshenko的论断，再与(GBJ17-88)比较，误差就更为显著，已达到成倍了。对Euler公式有推进作用，即用平均应力表示。 纵向弯曲系数表 N/NEX0.200.300,400.500.600.700.81060.901.00小1.25

13、001.42861.66672.00002.50003.33335.279010.000大1.32761.58761.97432.60993.84947.3309大/小%6.2011.1318.1330.49753.977119.93 表1 大、小挠度理论纵向弯曲系数比较小挠理论大挠理论%0.101.11111.14072.760.201.25001.32766.200.301.42861.587611.130.401.66671.974318.130.502.00002.608030.400.602.50003.849453.400.703.33337.3309119.930.754.000

14、013.3825243.540.805.000076.69001443.790.81065.27900.856.66670.9010.00000.9520.00001.001.201.25结束语金属结构的大发展,短柱的欧拉理念,明显地满足工程的要求了。只有发展大挠度理念，新的欧拉公式。研究失稳的目的就是找出稳定平衡的极限,确保特定条件下的安全,所以它对确定安全度（系数）,有重大作用.从对比,可以看出:用旧欧拉理论所算得结果,是很危险的。用新欧拉理论，所确定安全系数是可靠的。通过对比,我们了解到:小挠度理论在取弯曲控制为二次曲线,偏心矩没有控制;大挠度理论在取弯曲控制为 时,偏心矩与有关的控制, ,偏心距相,差很大,所以用旧欧拉公式的控制不住失稳,的,所以必须用新欧拉公式,才能控制住失稳,保证其稳定工作.参考书: 金属结构稳定设计准确则解说B.G.Johns