中考压轴专题：PA+KPB最值问题(苏科版,无答案)

1、WOR格式1S矩形ABCD则点P到A B两点距离之和PA+PB的最小值为.中考压轴专题：“ PA+kPB”型的最值问题当k值为1时，即可转化为“ PA+PB之和最短问题，就可用我们常见的“将军 饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取任意不为1的正数时，通常以动点 P所在图像的不同来分类，一般分为 类研究。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A （或B）关于直线L的对称点A （或B ），连接A B （或B A），并与直线交于一点巳则点P就是将军饮马的地点，即 PA+PB

2、即为最短路线。如图，在锐角厶 ABC中，AB=4,Z BAC=45，/ BAC的平分线交 BC于点D M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值如图，在矩形 ABCD中, AB= 10, AD= 6,动点P满足SA PA吐 3如图，/ AOB=30,点MN分别是射线 OAOB上的动点，OP平分/ AOB且OP=6 PMN的周长最小值为；当厶PMN的周长取最小值时，四边形PMON勺面积为OZ专业资料整理WOR格式变式：“造桥选址”模型如图，已知直线a/ b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3，AB=230.试在直线a上 找一点M在直线b上找一点N

3、满足MNL a且AM+MN+NB长度 和最短，则此时 AM+NB勺值为。如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且 CD=2点A（ 4, 0）,连接ACAD,设C点横坐标为 m求m为何值时， ACD的周长最小，并求出这个值。二、“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜 赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告 诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切 回家，

4、小伙子选择了直线路程ABo但是，他忽略了在驿道上（V1）行走要比在砂土地带（V2）行走快的这一因素。 如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可 以提前抵达家门的。DJ < 1/A /CVj 、qrfSt 吵 MM err *Z专业资料整理WOR格式解题步骤：将所求线段和改写为“ BD+V1 AD，的形式（OvV1 v 1) 在AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度 a,使得sin a = 过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值.如图， ABC中，BC=2,Z ABC=3O，贝U 2AC+AB的最小值v2V1 ；为。如图，四边形 ABCD是菱形，AB=4

5、,且/ ABC=6O , M为对角线1BD （不含B点）上任意一点，则AM+2 BM的最小值为。如图，等腰 ABC中，AB=AC3BC=2 BC边上的高为 AQ 点D为射线 AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当 AD=，运动时间最短为秒。Z专业资料整理WOR格式中考真题1、（ 2016?徐州）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点 A（-1，0），B（ 0，-3）、C（ 2，0），其中对称轴与 x轴交于点D若P为y1PBPD2轴上的一个动点，连接 PD,则的最小值为V834L与K

6、轴从左至右依次交于Jf1v2、（2014.成都）如图，已知抛物线9343与抛物线的另一个交yx点A B与y轴交于点C经过点B的直线3If3点为D（ -5，33）。设F为线段BD上一点（不含端点），连接 AF，动点M 从点A出发，沿线段 AF以每秒1个单位的速度运动到 F，再沿线段FD以每秒2 个单位的速度运动到 D后停止，当点F的坐标为时，点 M在整个运动过 程中用时最少？Z专业资料整理WOR格式三、“阿氏圆”模型【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B,则所有满足PA=kPB（ k工1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图所示2

7、-1-1 ,O O的半径为r,点A、B都在O O外，P为O O上的动点，已知r=k OB.连接PA PB,则当“ PA+kPB的值最小时，P点的位置如何确定？图 2-1-1 图 2-1-2 图 2-1-3本题的关键在于如何确定“ k PB”的大小，（如图2-1-2 ）在线段OB上截取OC 使 OC=k- r,贝»可说明 BPO与 PCO相似，即 k PB=PC本题求“ PA+kPB”的最小值转化为求“ PA+PC的最小值，即 A、P、C三点 共线时最小（如图2-1-3 ），本题得解。“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心 （将系数不为1的线段两个端点分别与圆心相连接），则连接

8、OR OB第二步：计算出所连接的这两条线段OP OB长度；OP kOB厂第三步：计算这两条线段长度的比；OC CPkOP OB第四步：在OB上取点C使得第五步：连接AC,与圆O交点即为点P.如图，点 A B在O O上，且 OA=OB,且OAL OB点C是OA的中点，点 D在OB上，且OD=4动点P在O O上，贝U 2PC+PD勺最小值为.Z专业资料整理WOR格式如图，半圆的半径为 1, AB为直径，AC BD为切线，AC=1,2BDPC+PD的最小值为.2P(1)【问题提出】：如图 1,在Rt ABC中，/ ACA 90°, CB= 4,为弧AC点，求2径为.2CA= 6,04AP

9、BP2的最小值求7PB,P为嘲轡*.1APBP3的最小值】已知扇形问出PB的最小值为.f,ZiCOD= 90o, OC= 6, L“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角(k=sin / CAE -过终点作所构角边OA= 3, O吐 5,点 P的垂线-利用垂线段最短解决构造 PABA CAP推出 PA2=AB?AC 即：半径的平方=原有线段x构造线段 阿z专业资料整理WOR格式拓展：“费马点”问题背景资料： 在已知 ABC所在平面上求一点 P使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这 个问题是法国数学家费马 1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求 的点被人们称为“费马点”.如图，当 ABC三个内角均小于 120°时，费马点 P在厶ABC内部，此时/ APB=解决问题：P=,5,求/ APB的度数.而求出/ APB=本运用: ° 2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题:E, F为BC上的点，且/ EAF=45，判我图，