正弦定理和余弦定理典型例题

1、正弦定理和余弦定理典型例题透析类型一：正弦定理的应用:例1 已知在:ABC中，c=10 , A =45： , C =30：，解三角形思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角 B，最后用正弦定理求出边 b.解析:_ a* sin Acsi nCcsin A 10"in 45二 a =sin C sin 30=10 .2 ,B =180； -(A C) =105°,bsin Bcsin C二 20sin 754I csin B 10 =<sin105c "b二碍二心总结升华:1. 正弦定理可以用于解决

2、已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解 答方式举一反三：【变式1】在.ABC中，已知 A=32.0°, B=81.8°, a=42.9cm，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，C =180° -（A - B） =180（32.0° 81.80） =66.2° ;根据正弦定理，.asinB 42.9sin81.80bS 二 sin32.00：80.1(cm)；根据正弦定理，asinC 42.9sin66.20 “ “、c074.1(cm).si nAsi

3、 n32.00【变式2】在 ABC中，已知B =750, C =60。, c =5，求a、A.【答案】A =180。-（B C） =180。-（750 600） =45。,-可编辑修改-根据正弦定理 仁 匚，.a=M.sin 45 sin 603【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A:sin B :sin C = 1: 2:3，求 a:b: c【答案】根据正弦定理 b ，得a:b:c二sinA:sinB:sinC =1:2:3. sin A sin B sinC例 2 在. ABC中，b =、3, B =60c =1，求：a和 A , C .思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上（如图）

4、，可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角 A，最后用正弦定理求出边a.K解析：由正弦定理得：sin B sin Ccsin B 1 sin 60 丄2，（方法一） 0:C ：180“,.C =30；或 C -150 ,当C =150时,B C =210180 ,（舍去）；当 C =30"时，A =90, . a（方法二） b c , B =60： ,. C ： B ,.C <60 即 C 为锐角， .C=30”, A=90.ab2c22 总结升华:1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2. 在利用正弦定理求角 C时，因为si nC二

5、si n（180° -C），所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3. 一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍举一反三：【变式 1 】在 ABC 中，c =6 , a = 2, A = 45，求 b 和 B,C -可编辑修改-a【答案】-sin A0 C <180 ,C =60” 或 C =120当 C =60：时,csin B . 6 sin 75、B = 75 , b =sin C sin60v3 1 ；当 C =120 时,csin Bsin15*巧B =15、, b 二sin C sin 60所以，b 31,B =75C =60；或 b3-1,B =15C

6、 =120 .【变式2】在 ABC中a =20, b =10 一2 , A = 45,求B和c ；1【答案】希二丽， sinBa 10 20 ： B : 180 ,=30；或 B =150；当 B =30 时，C =105，c =10( .31)；当B =150"时，A B= 195、180 （舍去）。【变式3】在ABC中,B =60： , a =14, b =7 .6,求.A.【答案】由正弦定理，得sin A =basinB 14 sin 6002a : b,A : B，即A =45类型二：余弦定理的应用:例3.已知 ABC中，AB =3、BC =心37、AC = 4，求 ABC中

7、的最大角。思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解解析：三边中BC =乜37最大， BC其所对角A最大，根据余弦定理:cosA 二 AB2 "BC2 声 一37)2 二一丄2ABLAC2汉 3 汉 42-可编辑修改-.-csi nA J6xs in 45，J3- sin C 二sin C/ 0： A ：180”,A =120故 ABC中的最大角是 A =120匚总结升华:ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;2. 用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系举一反三:【变式1】已知AABC中a=3, b=5, c=7,求角C.2 *22

8、 52+32 72【答案】根据余弦定理：cosC=a c 52abC =120°【变式2】在.ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为 a,b,c ,若a:b:c=-.62 3(1"-),求.'ABC的各角的大小.【答案】设 a m；6k , b=2k , c=、,3 1k , k 0根据余弦定理得：cosB =0： B ：180© ,.B =4耳同理可得A =60“ ;C =180 -A -B =75【变式3】在ABC中，若2 2 2a = b c bc，求角 A.222【答案】vb2 ca2b 十c a-bc ,.cos A =2bc(/ A ：180

9、°,/-A 120类型三：正、余弦定理的综合应用-可编辑修改-例 4 .在.ABC 中，已知 a=2.3 , c=.6.2 , B =45°，求 b 及 A.思路点拨：画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.解析：由余弦定理得：2 2 2b a c 2accosB= (2.3)2 ( .62)2 22.3 (、.& 、2)cos45°=12 ( .62)23(.3 1) =8b=2 . 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:（法一：余弦定理）CosA2 2 2b c -a2bc=(2 2)2 (

10、6 . 2 )2 一(2 .3)2 =丄-2 汉2A=6O0.(法二：正弦定理)sin A=sinsin45°=餐b 2运2又 ，62 2.4 1.4=3.8 , 2 3 ：2 1.8=3.6a v c,即 00 v Av 90°,/.A=6Q0.总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好举一反三：【变式1】在 ABC中，已知b=3, c = 4, A=135°.求B和C.-可编辑修改-【答案】 由余弦定理得：a2=32,42 -2 3 4cos135° = 25 12. 2 ,a = 25 12 26.48bsinA 3si n135o由正弦疋理得：sin B0.327 ,aa因为A=1350为钝角，则B为锐角，B=：1907/.C =1800 -(A B25053/.【变式2】在：ABC中，已知角 代B,C所对的三边长分别为 a,b,c，