GM1,1模型的扩展形式

1、定理6.2.1GM(1,1)模型可以转化为其中证明所以定理GM（1,1 ）模型的扩展形式（）八、（1）八、.x （k） a Z （k） =b（i）(k -1)(621)1 0.5a1 0.5aZ(k) =0.5X(k)0.5X(1) (k _1)代入 x(0) (k) az(0) (1) (1)x (k) 0.5a(x (k) x (k-1)(0) (1) (0) (1)= X(k) + 0.5a(x(k-1)(0) (1)=(1 0.5a) x (k) ax (k -1) =bX(0)(k)=1 0.5a6.2.2 设一-1 0.5a1 0.5a刃为GM（1,1）模型时间响应序列，其中证明代

2、入所以(k) = b，得x(k -1)： xW(k _1)1 0.5a，且= (0)(1),?)(2),0)(n)-a (kJ)b；k =1,2, n(0) (0),x (k) =(- - - x (1) e 由定理6.2.1_a(2)(622)x(0)(k):X（k）(1) (k -1)的响应值?(k -1)，有(0)(o)/八b、(2)bb,bX(k)“- ： (x (1)-)e=： (： aab但:丄a1 0.5a a 1 0.5a(0)-X )e-a(k X(1)(k -1)=：;x(k -2) x(0)(k-1)=_ ： x(k _2) x(0)(k -1)=x(0) (k _1)_

3、： x(0)(k -1)=(1一： )x(k -1)定理 6.2.4GM(1,1)模型(0) (1)x (k) az (k) =b可以转化为护)(虻 J -.5ax(0) “)；k =3,4川 n(6.2.4)1+0.5a证 由定理6.2.3, 0)(k) = (1 - )x(k -1)，同时考虑到a1 0.5a1 -0.5a1 0.5a从而有定理 6.2.5GM(1,1)模型匕莓（0）1 0.5a(k-1);k=3,4|l|n(0) (1)X (k) az (k)二b可以转化为炉2x1篇x(0)(k -1);k =3,4|l| n(625)证 由 x0)(k) a z(1)(k) =b易得b

4、 _x(0)(k)z(k)1_0 5o代入10.5d，得1 0.5a1 -0.5a10.5a1 -0.5(b-x(k)z(k)1 0.5(b-x (k)、z(k)-0.5b 0.5x(k)z(1)(k) 0.5b-0.5x(k)注意到 Z(k) =0.5x(k) 0.5x(k 1) =x(k 1) O.5x(0)(k)从而有1 - 0.5a _ x(k -1) 0.5x(0)(k) - 0.5b 0.5x(0) (k)1 0.5a 一 x(k -1) 0.5x(k) 0.5b-0.5x(k)x(k 1) x(0)(k) 0.5bx(1)(k -1) 0.5bx(k) -0.5bx(1)(k -

5、1) 0.5b由此易知?）（kx（k 一1）;k = 3的Hn。定理6.2.6GM(1,1)模型(0) (1)X (k) az (k)二b可以转化为(626)?(o)(k) _ b - ax(k 一1)1 +0.5a证 由 x0)(k) a z(k)二 b和 z(k) =0.5x(k) 0.5x(1)(k -1) =x(k -1) 0.5x(0) (k)，可得x(0)(kaz(1)(ka x(1)(k -1) 0.5x(0)(k)=b - ax(k -1) - 0.5ax (k)即x(0) (k) 0.5aS0)(k)=(1 0.5a)?)(k) =b_ax(1)(k_1)从而*乞冒。定理 6

6、.2.7GM(1,1)模型(0) (1) X (k) az (k)二b可以转化为5?(0)(k)二J -0.5a 厂b _ax(0)(1) l1+0.5a 丿、1+0.5a 丿k =2,3, ,n(627)证由定理6.2.4，炉(k门需x%-1), 以 00)(k 1),x(0)(k 2),x(0) (k -3),|)(,x(0)代替x(0) (k-1),x(0)(k-2),x(0)(k-3),|H，x(0)(3)经k -2次迭代，可得琢捲心一1：卷I2(0) 1 .5a x (k-2)=1+0.5a 丿k /x(0) (2)(1)10.5a在式(6.2.6)中取k = 2,即有x(0) (2

7、)=匕- ax从而F、k_21 0.5a、10.5ab_ax(0)(1)j 1 + 0.5ak 二 2,3, ,n证 因GM(1,1)模型的白化方程的解具有指数形式，不妨设0)(k)二 Ce ，由定理定理 6.2.8GM(1,1)模型(0) (1)X (k) az (k)=b可以转化为(628)?0)(k)=x (3)e(kJW)，k =3,4山 n6.2.3，00)(k) = (1-： )x(0)(k -1)，从而有(0),x (k)x(0)(k-1)二e故 =1 n(1 -：)，在式 00)(k)二Cek 中取 k =3，有W (3) = Ce3 = Ce3ln(1 解得C =0)(3)

8、en2)故x(0) (k)=0)(3)e(k)-：)定理6.2.9若X(0)为准光滑序列，则其 GM(1,1)发展系数-a可表示为其中押 (k)X(k -1) a =1 +0.5p(k)(629)(0)x(k) (k) YX(k1)证明 由由 x(0)(k) az(1)(kb和 z(k) =x(k-1) 0.5x(0)(k)得(0)a_b_x(k)=z(1)(k) x (k 1)+0.5x(k)(0)b-x (k)71)(0)分子分母同时除以x(k1)，得(0)_ X (k) F(k)a=x(1)(k -1)x(1)(k-1) = x_Jk1 +0.5 P(k)(0)x (k)10.5 遵x(

9、) (k-1)由定理6.2.9可知，当b有限,x(1)(k_1)足够大时，GM(1,1)模型的发展系数-a主要取决于光滑比珥k)。例6.2.1设原始序列X(0) =(x(0)(1),x(0)(2)x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5)=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)试用下列三种GM(1,1)模型对X(0)进行模拟，并比较其模拟精度:(0) (1)1 X (k) az (k) =b2 x(0)(k)X(1)(k-1)(0):(0)d(k2)3 x (k) =(爲 x (1)e解1第一步：对 X (0)作1-AGO，得X (1)二(x(1) (1), x(1

10、) (2), x(1) (3), x(1) (4), x(1) (5)= (2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：对 X(0)作准光滑性检验。由(0)X ()(k) (k)二遵X (k1)得(3) ： 0.54, ：、(4) ： 0.36 0.5, ：、(5) ： 0.293时准光滑条件满足。第三步：检验X是否具有准指数规律。由(1),_(1)(k) 一 X (k) J(k)x (k -1)(1) (1)故可对X建立GM(1,1)模型。得(3) ：.1.54,；J (4) ：、1.36,(5) ：1.29当k3时，(k) 1,1.5 ,6 =0.5，准指数规律

11、满足,第四步：对X作紧邻均值生成。令(1) (1) (1)Z(k) =0.5x (k)0.5x (k -1)Z =(z(1) (2),z(1)(3),z(1)(4),z(1)(5)= (4.513,7.820,11.184,14.718)(1)l|-Z (1)|-Z (3)Z (4)(1)-Z(5)-4.513 rI-(0) 1xI3.278_7.8201，Y =(0)x3.337-11.184 1(0)x (4)3.390.-14.718 1_i i(0)x3.679-1111第五步：对参数列 召工a,bT进行最小二乘估计。得B)g_ 300驚第六步：确定模型(1) d x(1)0.0 3

12、753.0 6 53 6dt及时间响应式(1)(0) b?(k)=(x一；)ea_a(k) b0.0372 k(- = 85.276151e-82.402151第七步：求X的模拟值刃=(?(1) (1),:?(2), 5?(3),)?(1) (4), 5?(5)= (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)第八步：还原求出 x）的模拟值。由(0) (1) (1) (1) (1)? (k)=a ? (k)=? (k)? (k1)得刃(0)二(列)(1), ?(0) (2),列)(3),炉(4),妙(5)=(2.87403232033545,3.4817,3.61

13、36)第九步：检验误差。由表6.1.1可算出残差平方和P 2)1t(3)s = E = (2)，名(3) ,2(4) ,2(5) =0.01511欽4)工(5) 一平均相对误差1 5-1.6025%4心k表6.1.1误差检验表序 号实际数据X?(0) (2), ?(0) (3),)?(0) (4), ?(0) (5)=(3.2324,3.2324,3.3567,3.4820,3.6105)作误差检验：由表 6.1.2可得残差平方和TS =0.0156表6.1.2 误差检验表序 号实际数据X0）（k）模拟数据和）残差名(k) = x *) ?)(相对误差2(k)| X(0)(k)23.2783.

14、23240.04561.39%33.3373.35670.01970.59%43.3903.48200.0922.71%53.6793.61050.06851.86%平均相对误差1 5k =1.6375%4 k3 由 1 , 2 知 a - -0.0372,： - 0.0379,1： =3.1235，所以(0)-(0)a (k 2)0.0372(k_2)X(k) =(l ：；x )e=(31235 0.0379 2.874)e=3.23242460 .0372( k _2)e故? = (3.1144,3.2324,3.3549,3.4821,3.6141)表 6.1.3误差检验表实际数据模拟数据残差相对误差序 号(0)X (k)(0)?(k)欽k) =x(0)(k) xHk)& _1锹)1u k(0)X (k)23.2783.23240.04561.39%33.3373.35490.01790.54%43.3903.48210.09212.72%53.6