因式分解专题复习及讲解很详细

1、WOR格式实用标准文档因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地 应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解 方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容 所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有 着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公 式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其

2、反向使用，即为因=aa2-b 2=(a+b)(a-b)1土b) 2 = a2 ± 2ab+b 2a± 2ab+b =：(a ±b)± 2ab+b(a22-ab+b2、3 3)=a +b(a+b)(aa3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)223 33 322(a-+ab+b )=(a-b)(aa-b a-b b)(a+ab+b )(a+b)(a-b)式分解中常用的公式，(1)例如：2-b 2F面再补充两个常用的公式:(5)a 2+b2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；*斗壬十3 3 32 2 2a +b +c -3abc=(a+b+

3、c)(a+b +c -ab-bc-ca)；例. 已知a , b, c是十帕 =ABC 的三边；且 a 2 b2c2 abbc ca ,贝U ABC的形状是()=二等腰三角等边三角A.直角三角形B形C形D等腰直角三角形解：ab2 c2ab bcca2a22b22c22ab2bc 2caab(a b) 2(b c) 2(c a)20 c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用专业资料整理WOR格式公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组

4、，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档*每组之间还有公因式!解：原式 =(am an )骑(bm 時 bn)= a(m n) b(m n)-=(m 営 n)( a 管 b)例2、分解因式：2ax 10 ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式=（2ax TOay ） （5by - bx）_b（ _55 y） 32a( x (x 5 y)( 2ay)1、_b)a2 ab+解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=（2ax -bx ）（ - 10ay 5by）x(2a _ b) _5 y(2a(2ab)(

5、 X 5 y)练习：分解因式（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因2 2式：x y ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因耳、” 十亠式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。ac bc爭xy x yb)(x 2-2 )+ /(ax-ay)y)(i il=(xxy)a( xy)y)(:-Jk(xxya)例4、分解因式：a -22ab-b2 -2.c一 +1解：原式=+(a 22abb2 )2 c4=1 -(ab) 22 cL+十.：. ni*°*c= (ab c)(a b )+' =+r "练习：分解因式3、2叶xx9 y 2

6、3 y4 、x22=2yz2 yz -综合练习：（2）（1）3x2x y2xy3y2 axbx 2 bxaxa b1（4） a(3) x 2 6xy9 y2 16a28a -2=, +6ab 12b9b 24a(5)a 4 2a32 a9（6）4a2 2x 4a yb 2 xb 2 y(7)x 2 2xyxzyz y2（8）a2 2a b 22b2ab 1（9）y( y2)(m1)(m1)（10）(ac)( a c)b(b2a)(11)a 2 (bb2c)(ac)2 c(a b)2abc333yb(12)c 3abc解：原式专业资料整理WOR格式四、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式(

7、x p)( x直接利用公式一£q）进行分解。X2（ p q）x pq特点：（1 ）二次项系数是1 ；（2）常数项是两个数的乘积；（3） 次项系数是常数项的两因数的和文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档思考：十字相乘有什么基本规律?例.已 °v a w知式，求符合条件的5，且a2x2a .为整数，若3x a能用十字相乘法分解因解析凡是能十字相乘的二次三项b2 _ 4ac >0而且是一个完全平方数。于是 9 8a为完全平方数，a 1式ax 2+bx+c，都要求式：x25x6分析:将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于由于6=2 X 3=(-2)X (-3)=1X

8、6=(-1)X (-6)X 3的分解适合，即2+3=5。迂=12解：x 2 5x 6 = x 2(2 3) x 2 3=(x2)( x 3)1例5、分解因5。,从中可以发现只有. 213X 2+1 X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个 因数的代数和要等于一次项的系数。牛 一例6、分解因式：2x7x6解：原式=x(1)2 ( 1)(6) x(-6) 1 -1=(x1)( x6)1-6*(-1 ) + (-6 )=-7练习5、分解因式(2(1)2 x14x24 )2 a15a36 (3) x 2 4x5练习 6、分解因式(1)2xx2(2) y 22 y15+ +

9、x210x 24D-1的二次三项式一一（二）二次项系数不为一ax 2 bx c条件：（1 ）aaa2C1专业资料整理WOR格式(2 ) c c1C2a2(3 ) b aiC2a2 c 1b a 1C2C282 C1文案大全专业资料整理WOR格式（三）二次项系数为1的齐次多项式例&分解因式:a 2 8ab 128b实用标准文档分解结果：2axbx c =( a 1 x C1 )(a 2 x ”2 )例7、分解因式：3x 2_11x 10分析：1-23-5(-6 ) +（-5 ）=11解：3x 211x10 = ( x2)(3x5)练习7、分解因式：（1) 5x27x6（2）3x 2 7

10、x 2U.X= + +(3)10 x 217 x3（4）6 y 211 y 10a的二次三项式，利用十字分析：将b看成常数，把原多项式看成关于 相乘法进行分解。1 8b1-16b8b+( -16b)= -8b-L-8解：a 28ab 128b 22=ab(16b)a8b ( 16b)=(a8b)(a16b)一榭，练习8、分解因式(1)2x3xy 2 y2 (2) m 26mn8n 2 a 2 ab6b2（四）二次项系数不1的齐次多项式x例 92x27 xy 6y2例102孑、xy3xy 21-2y把xy看作一个整体 1-12-3y1 -2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解

11、：原式=（x 2 y）（ 2x 3y）练习9、分解因式：（1） 15x2解：原式=(xy 1)( xy 2)7xy 4 y(2) a2 x 2 6ax 8专业资料整理WOR格式文案大全专业资料整理WOR格式五、换元法。例13、分解因式 （1)20052)( x 1)( x解：(1 )设 2005= a ，21)x(2005 22)( x 3)( x . 则原式=ax(a 2+ + *(ax1)( x a)+牛 (2005 x 1)(20056)-1)x2005）（2 ）型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式27x 6)( x2 5x 6) _x设x25x6 A，则

12、x 2 7x 6 A2 x) A x丰+原式=(A2=A22 Ax x(Ax) 2 =(x26x 6) 2=(x2x22 xy y )2 _ 一2 -丄练习13、分解因式（1）（x（2）（x3x 2)(4x（3）（a2 21) (a一宀 j idh4xy( x2 8x4( a2 23) 905)3) 2d一综合练习10、（1)8x67 x31(2) 12x 2 11xy15 y 2（3）（x y ) 2-3( x y) 10-(4) (a b)2- 4a 4b 住 3（5）222_ 22 _- 2 .H$ JU（6）x y+5x+ _ 一 y 6x_m4mn4n3m6n 2 + +-3（ 8）

13、*b（7）x24xy24 y2x 4 y 5( ab)223(a 22 )10(ab)2（9）4x2aUL10( 10)12( x y)y)4xyr6x 3y y _? 211(x 2y2 ) 2(x2思考：分解因c 2 )x实用标准文档2式:abcabcx2 (a2 b方法：提中间项例14、分解因式|j（1） 2 x4观察：此多项式的特点是关 于并且系数成“轴对称”。式! 26x 2x的降幕排列，少这种多项式属于“等距离多项每一项的次数依次解：原式专业资料整理WOR格式2xx原式= 2 2 2 2) 6 2 2x ( tt = x 2tt 101,文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档(

14、2 ) x42x 2t 5 t2x一2 5x5 V xx 2x 2 xx(x 1)2(2x4x32)解：原式原式=练习14、( 1 )2 = 2 xjF25='p 2x 十 1 |2 2x ( y2x(x6x42 4x2 _1 +一44xi 一12)23)4 y 3) =_x 21)(1 x+x2x3六、添项、拆项配方. 法。36x-x2(y 1)(3)=x+3x 11 2( x2 )7xx例15、分解因式C 1)x3*3x2 4+解法1 -拆Jfr .+项。解法2 -添项。原式3 一+ x 1 3x2 3原式=x 353x24x4x 43(4)(4x=:(x1)( x 2x 1)x1

15、)( x 1)=x(x 2 3x4)=:(x1)( x-h.=x(x:1)( x 4)4( x2x 1 3x*3)-1)=:(x1)( x 24x 4)41 " +(x1)( x 24x4)=:(x1)(x 2)2+ +_ *III+(x1)(x 2)2(2)963xxx3解:原式二母+flA才，(x!91)6(x1)( x 31)=1)( x(x36x3 1) ( x3 1)( x31) ( x 31)x31 1)363 I(x 1)( x x 1专业资料整理WOR格式(x 1)( x 21)( x6x2x33)练习15、分解因式(13(x 1)x9x8()4(x 2 1) 2 4

16、2(x1)22ax 1 a2(3)x4 7x21(4 )4xx文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档44x y(6 ) 2a 2b =*2a 2 c 2 牛 2b 2c 2 a4 _ b4 _ c4七、待定系数法例16、分解因式2 y)，则原多项式必定可分为-(x 3y m)( x -心 2 y n)_ +解：设- x +一 +6 =十 m)(-x 2 屮2xy6 y 2 x13 y ( x3y yn)x2xy .6 y 2 x 13 y 6- 可以分为(x分析：原式的前3项'x2 xy 6y 23y)( x(x 3y _m)( x 2 y_n) = x 2 xy _6 y 2 (

17、m n)x (3n2m) y _mnn)xmn+ = = +m n Tm2对比左右两边相同项的系数可得3n 2m13，解得n3mn - 6十+_原式=(x 3y2)( x 2 y 3):册+-+半丰2xy- 6y=(m例17、式(3n2m) yx2xy 6y 2 x 13y6 = x2x +2yrx5y 6能分解因式，并分解此多项式。+(2 )如果x 3ax2bx 8 _有两个因式为x1 和 x 2，求ab的值(1 )分析：前两项可以分解为=-(xy)( x y)，故此多项式分解的形式必为a)(. 1L(xyx !yb)< 一6 =a)(f w1j 一解：设x 2 y 2mx5 y

18、9;tai&-y xy- b)q 'F则 x 2 y 2mx5 y6 = x 2y (ab) x (b a) yabab mJIHLa2a 2比较对应的系数可得：ba 5，解得：b 3或b3ab6m1m1(1 )当m为何值时，多项o当+ +1时，原多项式可以分解;当m1时，原式=( xy 2)( x y 3);当m1时，原式=(xy 2)( x y 3)m3(2 )分析:ax 2 bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如x c的一次二项式专业资料整理WOR格式解：设 x 3 ax 2 bx 8 = (x 1)( x2)( x c)文案大全专业资

19、料整理WOR格式实用标准文档°+半+4：+卅.3c)宁贝V x 3 ax2bx|T8 =3x(3 c) x2 (2x2c+la3ca74 =Mb b23c解得b14 ,2c"8c一 4XM K a b =21练习17、( 1 )分解因式x -2 2二 3xy 10 y 锁 x 9y 2(2 )分解因式 x-2 3xy 2 y 2 5x- 7 y 6 p能分解成两个一次因(3 )已知：x2 2xy 3 y 2 6x 14 y 式p守且分解因斗 一 + 之积，求常数 式。为何值时，2 22352能分解成两个一4 kx xy ky x y 次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：

20、习题大全 经典：、填空题1.把一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做把这个多项式分解因式32分解因式：m -4m=-3.分解因式：x 2-4y 2= 4、分解因式:x2 4x 4=n _n- 因式_ 22的结果为+y)(x+y) (x十(x-y),则n的值5.-y为将x分解1 6、若x y5,xy 62，则x yxy 2=2x22_2 y2:= 。.二、选择题的公因式是7、多项式15m n5m n20nin3()(十 -戸-=(+ %A、5mn B 、5m2 n2 C5m 2n D5mn2&下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是专业资料整理WOR格式a、a 3 a 3 a9文案大全2

21、 2b 、a b a b a b专业资料整理WOR格式实用标准文档2 /32 a4a 5 a £ 4 5m 2m 3 m m 2 tm丿DF列多项式能分解因式的是y(B)x2+1 (C)x2 2+y+y(D)x2-4x+4211 .把（x y )(y x）分解因式为()A.( x-y )(x yB.(y -x )(xy 1)1)D.(y -x )(yx +1)C.( y-x)(y x)2-1)C、10.(A)x12.A.B.下列各个分解因式中正确的是2 210ab c + 6ac + 2ac = 2ac(a b ) 2( b a )2 =)5b 2+ 3c )2 ( a b+ 1(a

22、 b)C.x ( b + c a ) y ( a b c ) a + b c =b + c a)D.(a 2b )( 3a + b ) 5 ( 2b a )=( a 2b )( 11b 2a )13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式， 么k应为（A.2B.4 C.2y把下列各式分解因D.4y式:14、nxny15、4 m29n2m m16、218 x416x 217、a3 2a+2b ab 219、9( m n)2 216(m n)；专业资料整理WOR格式文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档五、解答题挖去一个边长 b =3.33cm20、如图，在一块边长 a=6.67cm的正方形

23、纸片中， 的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d 45cmD 弓 75cm,，外径长。的管道需要多少立方米的混凝土?3m利用分解因式计算浇制一节这样( 取3.14 ，结果保留2位有效数22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式21F 1 x +18x1 x(4) x168x1 xx 1文案大全专业资料整理WOR格式经典一.爱特教育实用标准文档因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几

24、点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解；（2） 若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、 待定系数法、试除法、

25、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 _例1.分解因式x 5 x 4 x 3 x 2 x 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把专业资料整理WOR格式文案大全专业资料整理WOR格式54x -_x x实用标准文档3和丄2 x-1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取分解;此时的六项式变成三项式， 解公因式后，再进一步也可把x - x4 ， 提取公因式后再进行分1分别看成一 x组，解一：原式54x3 x )(x 2x)1x3 (xTji|- _+2x1) ( x2x 1)一（x-1)(+32xx .1)4-+1)(x(x1)(

26、 x2十x2xB1)解二：原式=(5(xx 4 )(x 32x ) x)非圧2x1(_x4 (x1)(x1)x1)_( x1)( x4 x +1)* 常1)( x12x(x42x 2)1)(x(x1)( x2rx2x1)通过变形达到分解的目的i-hipid分解因式x例1.-3x2 4 -解一：将x 2拆丰_3成2x 22x ，则有原式 x 32x 2 (x 24)2x(x 2)(x2)( x2)一2)(+x1 1J x2x2)+_( x1)( x2) 2 c4解二：将常数 4拆成二EJO.1 3，则有原式 x 31( 3x 23)1)( x(x2x1) (x 1)(3x3)41)( x1I(x

27、24 x4)(x2.(x 1)( x2) 2专业资料整理WOR格式3. 在证明题中的应用的值一定是非负数例：求证：多项式(x 24)( x 210x 21) 100文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数2 -)(2一 +b-4-证明：xxx )注；410 211002)( x3)(_+=(x2)( xx17)1002)( x42)(f(x7)( xx3)10014)( x(x"5x25x6)100丁 II!+ =设y2x5x ，则 A(14)(亠壬8y 16 (y原式yy

28、 -6) 1002y无论y取何值都有(y 4) 20(x24)( x 210x.21)100勺值一定是非负数4)24. 因式分解中的转化思想例：分解因式：(a 2 b c) 3 (a b) 3 ( b c) 3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b， b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A， b+c=B， a+2b+c=A+B原式 一(AB)3 A 3 B 3A 3 3A 2B 3AB 2 + +3A 2B3AB 23AB (AB)333BAB3( a b)( bc)(a 2bc)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要专业资

29、料整理WOR格式文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档中考点拨"BC 中，三边_+6ab JObc =例 1.在 a,b,c满足 a 2 16b2c2 0-rfr s求证： a c 2b证明： a 2 16b2c26ab 10bc 0:.r+= +亠三 IBa26ab 9 bc2 10bc 25b20+4即(a 3b) 28.(c 5b)2 0c)(a 8b a2 b c)0.a b cI1F-,=>-即+ =a £b = ca 8bc 0于是有a2b c 0即 a c 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不r =十-=能丢分。L+1，则

30、1例2.已知：x2x3x4匚”3x 1 )( x-(解:3x1_ x211 )3xxx+1=1 2(x)(x)2 1xx212说明:利用等式化繁为2x1(x1 ) 22易。2xx -题型展示1. 若x为任意整数，求(7 x)( 3 x )(4 x2 ）的值不大于专业资料整理WOR格式证：100解：(7 x)(3 x)(4x 2 )100文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档-_(x _7)(X2)( x _3)( x _ 2) _ 100= -(x 2一5x _ 14)( x 2_ 5x+ 6) =100(x 5x_)8( x_ 5x)16一 "(x 2_5x 一4) 2 0(7

31、 -x)( _x2 rx)( 34 )100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等 变形成完全平方是一种常用的方法。2.+ +a 2 (a 1)(a2 2a) 2分解因式，并用分解结果计算62将+ 俺7 2 422。解：a2 a2( a2+ +2 (a 1)a 2 2a 1 a)©12 / 2(aMRa) 2 (a2丄a) 2(a2a)2 2(aa 1)二c627 242 236(1 2 4321849)说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：()543；,苗210x13x10x8

32、x3x8()(ai 3)( a+ -223a 23a1)5()232xxy3y23x5y2()43x7 x 6专业资料整理WOR格式文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档2. 已知：x 二+y =6, xy =_1,求：x 二y 3 的值3. 矩形的周长 是28cm,两边 x,y3x使 x 2 y - - xy2- 0，求矩形的4.求证:n 3 5n是6的倍数。（其中n为整数）1）3 ，求a+b+c的值2 2 2a b c 1，a( 1bc1 ) ( 1 1) (1 c c a aa 2 b a 2 b2的大和4 小。6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较2 2c专业资料整理WOR格式文案大全专业资料整理WOR格式实用标准文档经典三：因式分解练习题精选一、填空：(30分)1、 若x 2+2(m _3)x +16是完全平方式，则m的值等于 。22 t-t r2、 x 号x 什m =( x _n)贝U m =n =3、2x3 y 2与12x 6