最经典的乘法公式综合应用与拓展学生、教师两用版

1、八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(学生版)、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b22例：计算 1999 -2000 X 19982 2 2=a -2ab+b(1) 1032(2) 19822 2 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项a+b(或a-b)、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项 a2 b2 = (a b)2 - 2aba2 b2 = (a-b) 2+2ab2 2

2、2 2 (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b)=2 (a+b)例1 已知a b 2 , ab =1，求a2 b2的值。2例 2.已知 a b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a2 b2的值。2 2例 4 .已知 m+n=7, mn= 18,求 m mr+ n 的值.例 5(3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a+丄=5,求(1) a2+W , (2) (a丄)2的值.aaa1

3、1例7.已知x - =3，求x4 4的值。xx例&解下列各式(1)(2)(3)已知 a24b2=i3, ab=6,求(abj,(a_b j 的值。 已知(a4bj=7,(a_bj/，求 ab2, ab的值。已知a a_l-ab的值。(3)完全平方公式变用 3:几个数的和的平方推广几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。2 2 2 2(a+bP)=a+b*c +2ab+2bc+2ac公式的证明：(a命弋j彳a杭产了 弋ab ”2(a4b)c+c2=a22ab b22ac2bcc2-a2b2c22ab2bc2ac例.计算 (1) x2)14. 立方和与立方差公式(a+b)

4、(a 2-ab+b2) = a3+b33 22223=a +a b-a b-ab +ab +b2(2)(3m+n-pj33(a-b)(a2+ab+b2)= a-b=a3-a 2b+a2b-ab 2+ab2-b33 3a +b3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2)符号变化，(彳勺片x j_y2= x2-y22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b)分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，就是公式中的a, 就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则是公

5、式中的a,而就是公式中的b.(解略)练习 1计算：5x2 3y2 5x2 -3y2练习2计算： x -y z x -y z练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号例计算：(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x2”符号相反，因而是公式(a+b)( a-b)= a2-b2中的a,而则是公式中的b.解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号根据原式各项负号的异同 (看前面括号和后面括号 哪些项符号相同，哪些项符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形

6、成一个整体，据此分组）采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想例 1.计算：（a_b c_d）（_a_b_c_d）例 2 计算（2x+y-z+5）（2 x-y+z+5）.例3计算（1）(2)2 2例 4.计算：(a+b + c d ) +(b + c + da)例 5.计算：3x 2y-5z 1 -3x 2y-5z-12 2 2 2例 6 计算(a+b+c) +(a+b- c) +(a- b+c) +( b- a+c).例7.四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么?3. 公式的逆用 2 2例 1.计算：5a 7b - 8c 5a - 7b 8c例 2 计算(2a+3b)2-2(2

7、a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)24. 公式的连用例 1.计算：x y x_y x2 y2例4.计算:例2计算：1 -a a 1 a21 a41例3.计算：2 2 2 2(a-1/2) (a +1/4)(a+1/2)5. 创造条件后用公式（1）通过变形，创造条件后用公式1）改变顺序：调整各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显 例1、运用乘法公式计算：11 1a2（1）怎呻）（-即-3）；（ 2）（x-1/2）（x+1/4）（x+1/2）2）提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。如（2m-7n） （2m-7n）变为（2m+ 7n） （7n 2m

8、）后就可用平方差公式求解了例2.练习：(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1)3）先提公因数（式），再用公式求: (1)(4m+- ) (2m2-)变为 2(2n+-442m-)44）项数变化将某一项（某个数）变形：一分为二，通过创造条件分组。例 3 计算：（2x 3y 1）（ 2x 3y + 5）分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是可创造条件一“拆”数：1=2 3, 5=2 + 3,使用公式巧解例 4.计算：2x 3y 2 2x - 3y 6又如：(x+3y+2z) (x 3y+6z)变为(x+3y+4z 2z) (x 3y+4z+2z)后

9、再适当分组 就可以用乘法公式来解了.5) .先整体展开，再用公式例 5.计算：(a 2b)(a -2b 1)(a - 2b)11，再简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即 将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。解：原式=6) 其它变形技巧例 6:已知 x-y=2， y-z=2， x+z=14。求 x2-z2 的值。因为 x-y=2 , y-z=2，将两式相加得 x-z=4，所以 x -z = (x+z) (x-z)=14 X 4=56。常见的变形技巧(2)通过草船借箭后创造条件用公式248例 1 (3)计算(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1).2-1 )，则

10、可运用公分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项( 式，使问题化繁为简.248解：原式=(2-1)(2+1)(2+1)(2 +1)(2 +1)2248=(2 -1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)4 48=(2 -1)(2 +1)(2 +1)=(28-1 )( 28+1)16=2 -1例 2.计算：3 (381)(341)(321)(3 1)例3:判断(2+1 ) ( 22+1) (24+1)(22048+1 ) +1的个位数字是几?(3)乘法公式交替用例试证：(x z)(x2 _2xz z2)(x _ z)(x2 2xz z2) = (x2 _ z2)3八年级数学上册乘法公式

11、的综合应用与拓展(教师版)、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b22例：计算 1999 -2000 X 19982 2 2 2 2 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) =a -2ab+b例：运用公式简便计算(1) 1032(2) 19822 2 2 2(1) 103弋 100七)=100 +2x100x3 七 =106092 2 2 2(2) 198 弋 200-2)=200 _2x200 汉2 七 =392043. 完全平方公式(1)完全平方公式变用1:利用已知的两项求第三项a+b(或a-b)、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三

12、项(a+b)2、(a-b) 2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项 a2 b2 = (a b)2 - 2aba2 b2 = (a-b) 2+2ab (a-b) 2=(a+b) 2-4ab(a+b)2=(a-b) 2+4ab(2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b)=2 (a+b)例1 已知a b 2 , ab =1，求a2 b2的值。a2 b2=(a b)2 -2ab = 22 -2 1=2例 2已知 a b = 8 , ab = 2，求(a - b)2 的值。(a -b)2 = (a b)2 - 4ab =82 -4 2 = 5622

13、例3.已知a-b=4, ab = 5，求a b的值。a2+b2=(a_bf+2ab = 42+2P = 26例 4 .已知 m+n=7, mn= 18,求 mi-mn+ n2的值.2 2 2 2m-mn+ n=(m+n) 3m=7 3X( 18) =103.例 5 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2 的值.(x-2 y) 2=( x+2y) 2-8 xy=72-8 X 6=1 .例 6.已知 a+ 1 =5，求(1) a2+ ! , (2) (a- 1 ) 2的值.aaa答案：(1) 23;(2) 21 .)11例7.已知x -丄=3，求x4 J的值。xx1x即 x212 -9x

14、=11即 x42 =121xAx4 =119x例&解下列各式(1)(2)(3)已知 a24b2=i3, ab=6,求(abj,(a_b j 的值。 已知(a4bj=7,(a_bj/，求 ab2, ab的值。已知a a_l-ab的值。解：(1) (a北 2=a2北2+2ab=13£x6=25(ab j=a2北22ab=13_2汇6=12 2 2 2(2) a 2ab b =7a _2ab b =4得 2 a2 b2 =11，即 a2 b2110得4 ab=3，即2(3)由 a a_1 - a _b严2,2 /a b ,12 , 2ab a b 2 2(3)完全平方公式变用3:a

15、4得 a _b =_21 2 Jabij a b12几个数的和的平方推广几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ac2222公式的证明：a b c l. a b c ab 2abcc2 2 22 2 *2=a 2ab b 2ac 2bc c a b c 2ab 2bc 2ac例.计算(1) (x2$比 j(2) (3mn-pf4. 立方和与立方差公式(a+b)(a 2-ab+b2) = a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)= a3-b3322223322223=a +a b-a b-ab +ab +b= a -a b

16、+a b-ab +ab -b3.33.3=a +b= a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用2 2(1)位置变化，x y -y x -x -y(2)符号变化，(彳勺)("-y 片x y2= x2-y22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”例 1 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，就是公式中的a, 就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时，则是公式中的a,而就是公式中的b.(解略)练习 1计算：5x2 3y2 5x2 -3y2练习 2.计算：(xy 七x-yz )千 xy)_z练习 3.计算：Ixy

17、 z m Hxy- z m I - xy z m2/-Z-2zmm练习 4.计算：x ' y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号例计算：(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x2”符号相反，因而是公式(a+b)( a-b)= a2-b2中的a,而则是公式中的b.解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号根据原式各项负号的异同(看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项 符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，据此分组)采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想例 1.计算：(a-b c-d)(a-

18、b-c-d)例 2 计算(2x+y-z+5)(2 x-y+z+5).=(2 x+5)+( y-z) (2 x+5)-( y- z)例 3.计算(1) a 4b-3c a_4b-3c(2) 3x y_2 3x_y 2(1) 原式=&a,c y+4bfac y4bac j_(4b j=a2-6ac49c2_16b2(2) 原式 =3xy-2 jBx-(y-2 )=9x2_( y 2,y+4 严x2_y2+4y2 2例 4.计算：(a+b + c d ) +(b + c + da)例 5.计算：3x 2y - 5z 1 -3x 2y - 5z - 1 例 6 计算(a+b+c) 2+( a+

19、b- c)2+(a- b+c) 2+( b- a+c)2.例7.四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么?nn 1 n 2 n 3 1 -In n 3 卩n 1 n 2*12 2 2 2 2 2 2=汕 3n n 3n 2 1 二 n 3n 2 n 3n 1 二 n 3n 1.四个连续整数的积与 1的和必是一个完全平方数。3.公式的逆用2 2例 1.计算：5a 7b - 8c j5a - 7b 8c例 2 计算(2a+3b)2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)2 公式的连用4.2222224例 1.计算：x y x-y x y i 予 x -y x y x -

20、y2.计算:例3.计算:1-a a 1 a21 a412 2 2(a-1/2) (a +1/4)(a+1/2)例4.计算:-)(1+ 1 ) ( 1 1 )(223=1 X 3 X X 42 X 11 =丄 X H=卫22331010210 205.创造条件后用公式(1)通过变形，创造条件后用公式1)改变顺序：调整各项的排列顺序, 例2、运用乘法公式计算：1 11a(1) (一ab )(-b -);3 4431+ 1 ) XX ( 1 1)( 1+ 1)31010可以使公式的特征更加明显2(2) (x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)2) 提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以

21、避免负号多带来的麻烦。如(2m-7n) (2m-7n)变为(2m+7n) (7n 2m)后就可用平方差公式求解了练习：(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1)3) 先提公因数(式)，再用公式例2.求: (1)4x、4丿(4m+丄)(2m n )变为 2(2m+上2442m-丄)44) 项数变化 将某一项(某个数)变形：一分为二，通过创造条件分组。例 3 计算：(2x 3y 1)( 2x 3y + 5)分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是可 创造条件一“拆”数：1=2 3, 5=2 + 3,使用公式巧解例 4.计算：2x 3y 2 2x -3y 6又如：(x+3y+2z) (x 3y+6z)变为(x+3y+4z 2z) (x 3y+4z+2z)后再适当分组 就可以用乘法公式来解了.5) .先整体展开，再用公式例 5.计算：(a 2b)(a _2b