泰勒级数_中文

1、安徽工业大学n!毕业设计(论文)说明书外文文献翻译泰勒级数出自维基百科，自由的百科全书，对于其他系列扩展概念，见系列(数学)。在数学中，泰勒级数是一个具有代表性的利用单点的导数来实现无穷计算的函 数。泰勒级数的概念是由英国数学家布鲁克 泰勒在1715年正式提出。如果泰勒级数 在零点展开，则该级数称为麦克劳林级数。科林麦克劳林是苏格兰数学家，他在 18世纪针对该级数做了广泛的使用，泰勒级数便以他的名字命名。一般，通过使用其泰勒级数的有限项来逼近一个函数。泰勒定理给出针对该逼近 的误差估计。一个函数的任何有限数量的泰勒级数被称为泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是该函数的泰勒多项式的无限逼近。一个函数

2、可能不等于它的泰勒级数，即使 在每一个点其泰勒级数都收敛。如果一个函数等于其在一个开放的区间(或在复平面 上的盘)的泰勒级数，贝U它是已知的解析函数。定义泰勒级数的实(复)函数f(x)在实(复)数a的领域上是无限可微的幕级数:3f(a)晋(x-a)于(x-a)2 拧(X")3 上1!2!3!这也可以写成更简洁的形式：cdZn =0其中n!表示n的阶乘,f(n)(a)表示f在a点的n阶导数。f的零阶导数是它本身,(x - a)°和0!的值都为1，在a = 0的情况下，该级数也称为麦克劳林级数例子对于任何多项式的麦克劳林级数都是该多项式本身。(1 -x) '，| x|：

3、 1的麦克劳林级数就是如下的集合级数：231 x x x 上因此x4在a =1上的泰勒级数为：1-(x-1) (x-1)2 -(1-x)3 上对上面的麦克劳林级数积分，得到log(1-x) (log为自然对数的符号)的麦克劳林级 数为：而log(x)在a =1上对应的泰勒级数就为:1 2 1 3 1 4 (x-1) (x-1) (x-1) (X-1) 上234指数函数ex在a=0处的泰勒级数为：共 页 第1 页安徽工业大学毕业设计(论文)说明书1234523451 x x x1 x - X x x .1!2!3!4!5!2624120上面的展开式成立，因为ex的导数关于x仍为ex而且e

4、6; =1，这使得项(x-0)n以n!为 分母的项，在无穷项和式中每一项式子都成立。I历史|希腊哲学家齐诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能丨的结论一一芝诺悖论。后来，亚里士多德提出了一个对于这个悖论比较哲学化的表丨述，但以当时的数学知识显然还不能够直接解答这个问题，德谟克利特和阿基米德开丨始思考这一问题。根据阿基米德的穷尽法，将一个无穷级数逐步的截段，实现了有限I的结果。；进入14世纪，MdhavaofSagamgrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。 虽I然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级I数，这些级数包括正弦，余弦，正切，

5、和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉邦的天I文与数学学家在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。装到了 17世纪，詹姆斯格雷戈 (James Gregory同样继续着这方面的研究并且发I表了若干麦克劳林级数。1715年，布鲁克泰勒 (Brook Taylor) 4提出了一个常用I的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级I数。麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林级数来命名的。他在18世纪发表了I泰勒级数的特例。订I解析函数I如果f(x)是一个在以b为中心的开区间上的收敛的幕级数，就称它在该区间上解I析。因此对该区间里的每一个 x，f为如下的幕

6、级数：CO”f(x)=52 an(x b)n线n=0I对上式对x求n阶导数，然后令x = b.f(n) (b) aann!I该幕级数的展开式与泰勒级数一致， 所以一个函数在以b为中心的开区间上是解I析的，当且仅当，它的泰勒级数在该区间上的任何一点收敛于它的函数值。I如果f(x)在任意一处都等于它的泰勒级数的和，那么就称它为全纯函数。多项I式、指数函数ex、正弦余弦三角函数、就是全纯函数的一些例子；而对数函数、正切I函数和反正切函数则是非全纯函数的特例。对于非全纯函数，在离 a较远的x处其泰I勒级数是不收敛的。如果函数值和它的全部的导数在某一点上的值都知道了， 那么泰I勒级数就可以用来估计整函数

7、在任何一点的值。I解析函数的泰勒级数应用有：1、级数的部分和(泰勒多项式)可以当作整函数的近似值，如果取了足够多的 项，那么这个近似值就可以近似得到；2、级数可以逐项积分与逐项微分，因此比较简单；3、 在复平面的开区间上解析函数延伸到正则函数是唯一的，这也使得复变函数论共 页 第2 页安徽工业大学毕业设计（论文）说明书可行；4、级数可以用来计算函数值，用数字表示（常将多项式写成切比雪夫形式然后用 Clenshaw算法估算）；5、幕级数可以容易的做代数运算，例如，欧拉公式就是由泰勒级数展开式和指数 函数所推断出的，这个结果在谐波分析领域中非常重要的；6禾用泰勒级数的前几项的近似为难以解决的限制域

8、问题提供了可能，这种方法经常被用在物理领域。近似和收敛下图是精确的正弦函数围绕零点的图形，粉红色曲线表示级数为7的多项式357X 丄X x sin x ： x 3!5!7!在这个近似中的误差在于没有多于|x9 |/9!的项，尤其是当-仆:x ： 1时，误差小于0.000003。与此相反，下图是自然对数log（1 x）和一些它在0点周围的泰勒级数。共 页 第3 页安徽工业大学毕业设计(论文)说明书这些近似收敛只在函数图象 -1 mx叮区域上，而出了这个区域的更高级泰勒级 数更糟糕，这类似于龙格现象。由于函数的逼近在它的n次泰勒级数上产生的误差叫做余数，记作函R(x)，泰勒定理会被受限制在这个余数

9、，Taylor定理可以获得一个有界的余项 一般地，泰勒级数不需要完全收敛，实际上，函数的泰勒级数收敛集在费雷歇空间的 光滑函数中称作贫集。甚至如果函数f的泰勒级数的确收敛，它的极限不一定等于函- 丄/X2 亠0数值，例如函数f(x)二e 'X-u在x=0处就是无穷可微的，而且在x=0处都可导， l_0,x = 0因此，f(x)在x =0处的泰勒级数恒等于0。但是，f(x)不是零函数，所以它不等于 泰勒级数在零点的函数值。在实分析中，这个函数表明了存在无穷可微函数f (x)的泰勒级数不等于函数f (x)的值，即使它们收敛。相比之下，在复分析中不存在全纯函数f (z)的泰勒级数收敛于不同于

10、f(z)的值的一点。在虚轴上，复函数e'不近似于0当z近似于0的时 候，它的泰勒级数在0点也没有定义。更一般地，在实轴上，任何实数或虚数序列在无穷可微函数的泰勒级数中都能当作系数，这也是波雷尔引理的一个结论，因此，泰勒级数的收敛半径就能等于0。甚至存在定义在实轴上的无穷可微函数的泰勒级数收敛半径为 0。一些函数不能写成泰勒级数因为它们存在奇点，这这种情况下，如果允许变量 x 有负次幕，还是可以得到级数展开，见劳伦级数。例如：f(x)二e"就能写成劳伦级数。概括对于任何有界连续函数在(0,：)上，有一种概括：泰勒级数收敛于函数本身，使 用有限差分的积分学，特别地，根据艾纳希尔有

11、以下定理：对于任意t 0，有nnlimIhf = f (a t)，这里'h是n次有限差分因子，步长为h。级数是精确h心 n! h共 页 第4 页安徽工业大学毕业设计(论文)说明书的泰勒级数，除了均差代替微分：级数在形式上类似于牛顿级数。当函数f在a点解析，级数中的项收敛到泰勒级数中的项， 在这种意义下生成的泰勒级数通常， 对无穷 序列，相应的幕级数具有唯一性，下面的公式定义了这个幕级数：lln二x u n_u , ae 、n =o n!j -0 j!uai j所以在特殊情况下:f(a+t)=收/巾瓦 f (jh)(t/h)hTj=0J!级数右边的是f(a x)的期待值，这里x是泊松分布

12、随机变量，取jh的概率为 e少(t/h)J/j!，因此有如下式子：f (a t) lim f (a x)dR/hh(x) hj十J-20大数定律阐释了这个式子的正确性。麦克劳林级数的一些常见函数列表还列出数学系列几个重要的麦克劳林级数如下，所有的展开式的x都是有效参数： n23指数函数：ev -1 x 对于任意x都满足；对数函数:log(1 -x)二-二n=1n出 n!2!3!:nlog(1 x)八(1)n 1三,1 沁乞1n #n有穷几何级数:xmt1 -xm八 xn,x = 1,m N0n =0无穷几何级数:11 -xQ0八 xn,|x|：1n =0m:_无穷几何级数的几种变形：xn,|x

13、|：1和mN。1 X n=moO2 = ' nxn,|x I”： 1 (1X)n#平方根： 、1 X(T)(2n2! nxn = 1 丄 x -1 X2 丄 X3丄 X4 上，| x |一 1n占(12n)(n!) 42816128二项级数(包括G =1/2时的平方根和a = -1时的无穷级数)：(1 + x)a=£似Xn n Jin 丿对任意的|X卜：1和虚数成立，它的广义二项式系数为：k+1 G(G-1)A(G-n+1)k =in!共 页 第5 页安徽工业大学毕业设计(论文)说明书n35三角函数：si nx上J x2n1=x-x x x：心(2n+1)!3!5! X :：

14、 ：(1)n 2nxx4 丁cosxx x-n(2n)!2!4!tanx 八：B2n(-4)n(1-4n)x2n 心(2n)!系数；E2n(-1)" 2nsecx =心(2n)!£(2n)!2n* 4arcsi nx n 2x ，x：1n卫 4 (n!) (2n+1)(2n)!兀兀兰 (2n)!2n*arccosxarcsi nxn 2x,x_135"F訂|x|込这里Bs为伯努利°° (_arcta n xxn卫 2n +12n：1x2n 1,x：1x3x5, x： ：3!5!241 X ,(2 n)!2!4!tanhx 八：Bx2n*心(2n

15、 +1)!00 x2narc tanh x，x：1心 2n +1兰伯特函数W : W0(0)八(7)n _ Fjx卜:1山 n!e在和展开式tanx和ta nh x中的比称为伯努利系数，在sec(x)展开式中的Ek称为欧拉系数。双曲函数：sinhxXn 卫(2n+1)!2ncosh x 二'二n =0,|x|< -357x2x17x, _ _ 二, x ：315315222 心4 (n!) (2n+1)泰勒级数的计算存在多种计算很多函数泰勒级数的方法，可以使用泰勒级数推广到系数的形式, 或者用置换、乘法除法的方法处理例1：计算函数的七阶麦克劳林多项式f (x) =log cosx

16、, x ：=(-二/2,二 / 2)首先将函数写成f (x)二 log(1 (cosx T)因此有如下自然对数(用大写的O注释)23x xAlog(1 x)二 xO(x )23和余弦函数共 页 第6 页安徽工业大学毕业设计(论文)说明书246“xxx8、cosx -1O(x )224720后面的级数展开项中有0常数项，使我们可以简单地将第二个级数替换到第一个中, 还能省略高于七次的常数项，只需要用大写的O注释：f (x) = log(1 (cosx -1)1 2134= (cosx-1) (cosx -1) (cosx-1) O(cosx-1)2 3246242x x x81 x x6 21

17、x / 43/ 8=(O(x )(O(x )(O(x )O(x )224720222432246466246x x x x X X 8、 X X X 8、 O(x )O(x )21245x,xx5,x7,上的系数都为0。_一 十o(x8)=22472084824由于余弦函数是偶函数，所以奇次项 例2:假设我们希望得到形如函数：g(x)二cosx又有如下展开式:234心丄 x . X . X .=1 Xn!2!3!4!24X , X ,cosx = 1 24!*、：1 nXn =0在零点的泰勒级数假设幕级数为：一二 Co c1x C2x2 C3x3cosx然后乘以分母再用余弦置换得：ex =(c

18、0 qx c2x2 c3x3 上)cosx2423X X=(c0 qx c2xC3X 上)(1)24!二c。-x2 x4 & -9x3 9x5 C2X2 -乞 x4 x6 qx3-2x5 纟 x7 上Co2424!24!24!合并同类项得：ex= c0'c1x(c-C°)x2 '(c3_9)x3 '(c4C-2)x4-224!2对照上面级数的系数，可得出假设的泰勒级数为：X X242XeC1cos X例3：在这里用到一个“间接展开”的方法来展开所给的函数，这个方法是因为 对函数进行了泰勒展开而被人们所知的。问题：将下面的函数展开为x的幕级数(1 x)e

19、X: n234我们知道ex的泰勒级数展开为exX 1 x - X Xy " x < :=山 n!2! 3! 4!共 页 第7 页安徽工业大学这样,毕业设计(论文)说明书:xn : xn 1 : xn : xn 1xxx入， 入入入(1 x)e =e xe1n兰n! n n!nn! nn!a=1 、n 4n xn!(n_1)! =1心G占用a=1n 4QO=zn =0xn,(：n:x ：=)泰勒级数作为定义古时候，代数函数根据代数方程定义，超越函数(包括上面提到的)由一些能支 持它们的性质定义，比如微分方程。例如，指数函数在任意一点的导数都等于它本身。 然而，更好地定义解析函数的

20、做法是：根据它的泰勒级数。在数学的很多领域泰勒级数常用来定义函数和运算符号。尤其是，当古代的对函数的定义被瓦解，比如，利用泰勒级数，可以使用矩阵和运算符来定义解析函数，如 指数函数和对数函数。泰勒级数在几个变量中普遍情况下泰勒级数可能会有大于一个变量的情况：T(x1,xn)H以)、(XdP)山 T nd =0在其他领域，例如形式分析，它能更方便直接地解答幕级数本身， 因此可以定义 一种微分方程的解答方法作为一种人们想解决的幕级数的解答方法。)(a1,上,ad)ndn,上 nd!(；:x1n ；:xdnd例如，某个函数含两个变量x, y，在(a,b)点上的二阶泰勒级数为f (x, y)叱 f (

21、a,b) +(xa) fx(a,b) +(y b) fy(a,b)1 2 2 (x -a) fxx(a,b) 2(X -a)(y -b) fxy(a,b) (y -b) fyy(a,b)在这里，下标注释表示各自的偏微分。一个含多个变量的标量函数的二阶泰勒级数展开式可以写成：T1t 2T(x) = f(a) (x-a) Df (a) (x -a) D f(a)(x-a)上2!2在这里Df (a)是f在x=a处的梯度，D f (a)为海塞矩阵，利用多个符号，多个变量的泰勒级数为：T(x) = v (xa) (f)(a)。 曲 a!这样就能更容易懂作为更简单地索引版本相对于本段中的第一个方程，单个变

22、量的情形也就能依次类推。举例：计算下面函数的(a,b)=(O,O)处的泰勒级数展开式f (x, y)二 exlog(1 y)共 页 第8 页安徽工业大学首先，计算所需的全部偏微分Xfx（a,b） =e log（1y） |（x,y）o,o）= 0,xfxx（a,b） =e log（1 y） |（x,y）o,o）= 0,泰勒级数为：fy(a,b)xe |ifyy (a, b)|(x,y)丄0,0) = -11十yT(x, y)二 f (a,b) (x a) fx(a,b) (y _a) fy(a,b)1(x -a)2 fxx(a,b) 2(x -a)( y -b) fxy(a,b) (y -b)2

23、 fyy(a,b)上 2!在这里就为：1 2 2T(x,y) =0 0(x-0) 1(y-0)0(x-0)2(x - 0)( y - 0) ( 1)( y - b)上2y=y xy _2又因为log（1 y）在|y|：1，所以得到:xy2e log（1 y）二y xy,|y|：12部分泰勒级数在部分和产生之后，一个关于泰勒级数展开能否部分出现的问题就产生了。Odibat和Shawagfeh在2007年回答了这个问题。根据Caputo部分导数，0 ： 1 , x 表示x趋向于右端，因此部分泰勒级数可以写成：f(x Vx)二 f (x) Dx f (x )(Vx):-c . 1)DxDxf(x )(Vx)2：-(2： T)毕业设计（论文）说明书请参见洛朗级数牛顿的分差内插 玛达瓦系列笔记1 A克莱恩，M.（1990年）数学思想从古代到现代。牛津大学出版社。35至37页。2A博耶、C.和Merzbach，美国（1991）数学史。约翰 威利父子公司。202-03 页。3A "牛顿及莱布尼茨微积分和天体力学在中世纪喀拉拉邦的史前