边值问题的分离变量方法

1、第四章边值问题的分离变量方法本章利用分离变量方法求解波动和扩散的边值问题。掌握分离变量思想方法是本章的关键。§ 4.1 Fourier 级数对定义在区间-I : x : l上的周期函数f (x)，可定义其Fourier级数，1 处nnxnxf (x) Ao ' (AncosBn sin )2 nAII这里，cosnx,sinVn,sinllimx .nnx ,小cos sin dx=0，丄IIIsin丄I=0, _1_2J|(构成了一个正交系，即I,mxnnx , ccos cos dx = 0,m= n, I Im二 xn二 xsin1 dx=0,m = n，- ll ,I

2、fm兀xn兀xcos cos dx = 1， a I I1 l . m二 x . n 二x ,-sin sin dx = 1。 l l li,n兀xcos_l其复数形式：1 lf (x)dx， BnsinlIf (x)dx。广Xe l f (x) dx。-l关于Fourier级数收敛主要有如下结论。 定理(点收敛定理)1“如果f(x)连续，f(x)分段连续，则aryzs'；2)如果f (x)， f (x)分段连续，则在连续点,1 旳.八f (x)Ao 二(代 cos Bn sin )；2 心II在不连续点,f (x ) f (x-)1 " J n二 xf .A0 亠 - (A

3、n cosBn sin22ndI般L2a,b中的Fourier理论简介：L2收敛，正交和完备。x 0,1，求其 Fourier变换。x 0,1(是否要进一步展开？)例对f(xj10解有两种选择:k 二ksin x或cos x。但不能展开成完整的IIFourier级数，因为，在0, l 上，cosx,sin丄-x不是正交系。ll(1)匸njrx2 nx2nf(x)BnSin，则 Bnsin f (x)dx 仁(-1)。ill 0 l4即 1 sinTt兀1 3兀1. (2n 1)兀x sin xsinl 3 l2n1lx山。(2)cdf (x)二' An cosn £则 An

4、=2 cos f (x)dx=l o l0-2 in -即 1 =1 - 0cos x 0cos ' x 0cos ' x，是平凡的情形。 lll关于(1)形式上的验证：4 二 13二 i1(2n -1)r:, tsin x sin xsinx 11)兀 l 3 l2n 1'_ 4 1lcos x cos X 11 ( cos 0 l l(2n"x )"dx1 sin x! cos0 sin xl.2n兀1 sin x1 2njl/llimdx = 2 lim 一l n ；：0n ；：2n二 00 sinx0l二 X cos3二 X 川 cosx )

5、|(dx ll2n：/lsin x 2 dx li m兀y 0xsin -2nsin x§4.2 维波动和扩散方程的分离变量方法 考虑波动方程Utt -c2Uxxu(0,t) =u(l,t) =0 u(x,0) =®(x),Ut(x,0)=屮(x)这里，将利用函数的无限线该方程可以通过周期奇延拓方法求得解，但是解的形式较复杂。性组合来表示解。波动方程具有变量分离形式u(x,t)二X (x)T(t)的解应该是什么？把该函数代入方程得,X(x)T (t) c2X (x)T(t) = 0 ,即X T2八，X c T其中是不依赖于x,t的常数。首先分别讨论乞0和0时，方程X X =

6、0X(0) =X(I) =0的解。1)若=0，则X(x) C2X，由边界条件，X三0 ；2)若 <0 ,则 X(x)=&e压 +5，由边界条件，X三0 ；3)方程有非零解，必须、I = k二，k _1 °记.k2ir2'k 二l2，则Xk(x)=CkSin . kx=cksin相应的T(t)为所以利用线性叠加Tk (t) = ak cos k cx bk sin、心 °(同时如果求导和无限和可交换)，贝U0u(x,t)=' (akcos ct bk sinct)sinkdll是方程的解。现在选取参数ak，bk，使解u(x,t)满足初始条件：u(

7、x,0) =(x),Ut(x,0) J (x)。od:(x)二 '、' ak sin x，'- (x)二bk1 lk 二 csink2I利用正交性 sin0门二Il洒叮皿十，因此，ak 彳(x)sin 平dx , b 2 l 0 l因此有限弦长固定边界的齐次方程的形式解为i(x)sin lk 二 x , dx °xk兀k兀u(x,t) 八 (ak cos at bk sinat)sink=1ll:2 l k-(-()sin_ d cos atkd l 0ll k：ak :k=1解的物理意义。上述解显然可以改写为k-xl2 i2 .' ( )sin0Fd

8、 sin+at)sinTx=G cos x g sin、，x，由此， g = 0 , c2 sin、I = 0，为使0u(x,t)= Nk cos( kt 玉)sink=iloak, sin -a2bk其中l , cos% =可见：该波动可以视为振动uk(x,t) =Nkcos(kt Tk)sinX , k - 1之叠加。而此振动uk(x,t)的频率和位相与位置 x无关，振幅则依赖于位置，特别在点Xkm=B, 0兰m兰k，k其振幅为零，这类振动称为驻波。基音(最低固有频率)： r cI ，这是叠加振动分量中的最低振动频率。该频率与振动的 初始条件无关，只与弦长和弦的材质有关。泛音：k“，其余叠

9、加振动分量中的振动频率是最低振动频率的整数倍。【end】同样方法可考虑一维齐次扩散方程的初边值问题 2ut = a uxx, t a 0,0 v x < I u(x,0)(x), u(0,t)=0,u(I,t)=0令 u(x,t) =X(x)T(t)，贝y xv-a2x T ,因此同样讨论，何时,X X =0，X(0) =O,X(I) =0方程有非零解。类似当 <0时，方程只有零解，只有当k=；2时，方程有非零解Xk(t)=akSin /.rX =akSinq a2t相应，Tk(t)=dkef ，即Uk(x,t) = Akesin寻找一般解使其满足初始条件:u(x,t)=為 uk(

10、x,t)Ake Ik=1k du(x,0) = (x)。这时，仍得2 1 k 二 aksin x (x)dx。0k 二sin 一，I【end】对很多齐次边界条件问题，分离变量法都能得到解的级数展开表示形式。例如,1)Dirichlet 条件：u(0,t) = u(l,t) = 0 ； ( XO 觀 0=2)Neumann 条件：ux(O,t) = ux(l,t) = 0 ； ( X 0 鳴丨03):uRobin 条件：一-a(x)u=0 ；( (X0琲0() XIcnp.:nOaXI - i )§4.3非齐次方程的分离变量方法 对一般的非齐次波动方程Utt =c2Uxx f (t,x

11、),0 ： x ： l,t 0u(O,t)=g(t),u(l,t) =h(t),u(x,O) = ：(x),Ut(x,O) J (x)利用叠加原理，可以把问题的解分解为振动的叠加。令U = V W ,< 2Vtt +Wtt =c (Vxx+Wxx) + f(t, x),0 vxcl,t>0 v(O,t) w(O,t)二g(t),v(l,t) w(l,t) =h(t) v(x,0) +w(x,0) =(x),vt(x,0) +wt(x,0)=申(x)选择w，使边界条件齐次化，即：w(O,t) = g(t), w(l,t) = h(t)。这类函数很多，例如,1w(x,t) =a(t)x

12、 b(t)，其中，a(t) h(t) - g(t), b(t) = g(t)。这样，问题转化为齐次边界问题Utt =c2Uxx + f(t,x),0 cxcl,t a0U(0,t)=U(l,t)=0出兀0)=科(x),Ut(x,O)=划(x)的求解。而该问题又可分解为u = v，w，(为方便起见，U等，仍记为u)，2vtt =c vxx - f (t,x),0 : x ： l,t 0 v(O,t) =v(l,t) =0v(x,0) =vt(x,0) =0和 u =v +w，f2| Wtt = C Wxx ,0 £ X £ l ,t > 0<w(0, t) =w(

13、l,t) = 0w(x,0) = W(x), Wt(x,0)=屮(x)第二个问题可用分离变量方法求解。 迓n兀第一个问题利用固有函数方法也可用分离变量方法解。设v(x,t) = 7 vn(t)sin x，这n¥l时边界条件自然满足，而初始条件，使vn(0) =vn(0) =0。为确定vn(t)，代入方程得魚 “n兀丄工n兀2n兀煮n兀vn (t)sin x=_ vn(t)() sin x 二 f(x,t)二 fn(t)sin xn 1ln 1lln dl即需cn 二vn ( )vn(t) = fn(t)l 。.MO)讦(0) =0n 二利用拉普拉斯变换方法：Vn(S)二丁-Fn(s)

14、，所以皿 s2+(n )2III tcmVn(t)-fn( )sin I (t- )d.。cn兀 0I总结一般步骤:1)2)3)4)5)处理的必须是齐次边界问题；对只有齐次边界的问题进行变量分离后得到常微分方程的定解问题；由常微分方程定解问题有非零解，确定特征值和特征函数序列；得到不考虑初始条件的解序列；进行无限线性组合；确定系数，使其满足初始条件。这样就能得到形式解，但是否是经典意义解则需验证。§ 4.4分离变量法的例子如何使用分离变量方法， 要通过练习才能熟练掌握。所以，这里再给出一些具体问题的解。L2ut =c uO vx cl,t >0例1热传导方程 u(x,0) =

15、(x)u(0,t) =0,ux(l,t)+hu(l,t) = 0解此问题的边界条件是混合的( Dirichlet和Robin )。- 2步骤一。不考虑初值条件的问题uc uxx,0 " x :：丨，t 0，寻找变量分离形式的解u(0,t)=0,ux(l,t) + hu(l,t)=0u(x,t) =X(x)T(t)。相应的常微分方程组:T X2-= =-'cT X。X(0) =0,X(l) =hX(l)步骤二。确定特征值和特征函数序列。为使方程X,=_人XX(0) =0,X (l) = -hX(l)有非零解，必须0 (论证过程与前类似)，则X (x)二 acos 一 x bsi

16、n . x。由 X(0) =0 即知：a = 0。再由 X (l) =-hX(l)得：bcosl =-hb、 sinl。可见，要使方程有非零解，必须tanI)=1I - I。所以特征值是方程hl，特征值序列为tan(； ' I) =、 I的解。该方程组有可列个根(由图显然，严格证明略) n, n _ 0。不能给出特征值序列的解析式，但它们满足等式：tan(、小=；：、,亞口 |。相应的特征函数序列Xn(x)=sin_0(不计相应的常数倍)，同时相应的Tn(t)二歹'用。因此，| c2tUn(x,t)二e_'n sin x， n _0。步骤三。选择适当的系数，无限线性组合

17、后，使其满足初始条件：2 _U(X,t)=E anUn(X,t)=E 3nCt Sin。n卫n卫由初始条件知：oO(x) = u(x,0) =、an sin nx。所以，n1 1 -COS2 n x|h22(hn)ll(x)sin、nxdx =an sin2、. nxdx00即得到an。注这里必须证明Xn(x)=sin , x, n_0是正交完备系。只证明正交性：直接计算有困难，因为'n没有显式解。但是对这类两次线性方程的解的正交性有一般的处理方法：Xn(X) nXn(X),Xm(X) mXm(X),所以，(XmXn -XnXm)、XnXm-XmXn =Cm-，n)Xn(X)Xm(X)

18、，因此ll(m - n) . Xn(X)Xm(X)dX 二(XmX. - X.Xm) dX = 0。00即得正交性。【end 厂2utt = c Uxx + A,0 c x v l,t > 0例2用分离变量方法求方程u(x,0) =0,ut(x,0) =0的解。u(0, t) = 0, u(l, t) = B解 这是非齐次边界，非齐次方程的情况。步骤一。把方程的边界齐次化。u(x,t) =v(x,t) w(x)，贝yvtt = c2 ( + w") + A,0 c x v l ,t a 0v(x,0) - -w(x),Vt(x,0) =0。| v(0, t) - -w(0), v(l,t)二 B - w(l)故令c2wA = 0w(0) = 0, w(l) = BA 2 Al即 w(x) 2 x 2 x。贝U2 c22 c2_ 2vtt 二 c Vg0 ： x ： l,t 0Al2 x,vt(x,0) =0。2c=0A 2v( x,0)2x2cv(0,t) =v(l,t)步骤二。分离变量后，相应的方程组为X=扎X 。X(o)=X(l)=0«c2T由方程 x 一确定特征值和特征函数序列:x（0） =X（l） =0fn