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文档简介
1、洛必达法则简介:法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1) lim f(x) = 0 及 limg(x) = 0 ;在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)丰0;精品资料 lim =1 ,7 g'(x)那么 limLlimLlim= l。a g(x) T g'(x)法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1) lim f (x) = 0 及 lim g(x ) = 0 ;f(x)lim匸厲=1 ,Ygx)(2)丑0 , f(x)和g(x)在(亠,A)与(A,母)上可导,且g'(x)丰0;那么 limd-'=lim 口= I。
2、Yg(x) Yg'(x)法则3 若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1) lim f(x)=及limg(x) = ;X;a在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)丰0;咕",那么lim仝)=lim匸区)=l。lim , XT g(x ) XT g Yx )利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:(1将上面公式中的 X7a , X7S换成XT +x7-s, XT a, XT a"洛必达法则也成立。2洛必达法则可处理0 比OC000 匸 X,1,0,一50 必::sc00吐着手求极限以前,首先要检查是否满足0,二,1
3、- ,0,-及型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。二.咼考题处理(1) 若a =0,求f(x)的单调区间;(2) 若当X >0时f(x) >0,求a的取值范围原解:(1)a=0时,f(x)=eX-1-X,f'(x)=eX-1.当 x(=,0)时,f '(X)<0;当x(0, XC)时,f'(x)a0.故f(x)在(二,0)单调减少,在(0)单调增加(II) f '(X)=eX -1 2ax由(I)X知e
4、>1 +x,当且仅当x=0时等号成立.故f '(X)>x 2ax =(1 -2a)x ,从而当1 2a >0,即 a <丄时,2f'(X)>0 (x>0),而 f(0) = 0,于是当x>0 时,f(x)>0.ex >1 +x(x工0)可得e:>1-x(xH0).从而当 a >2 时,2f'(X)ceX_1 +2a(e_1)=erex-1)(ex-2a),故当 x<(0,ln 2a)时,f '(x) c0,而 f (0) = 0,于是当 x亡(0,ln 2a)时,f (x)c0.综合得a的取
5、值范围为(y,1 V 2丿原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解:(II)当X = 0时,f(X)=0,对任意实数 a,均在f(X)>0 ;Xa _ X _ 1 当X aO时,f(X)>0等价于a <2一XXX,令 h(X ) = Xq -2e +x + 2(X A 0 ),XXX丄丄e _x T,xe _2e +x+2令 g(X )二 一2(x>0),则 g(X)=勺XX则 h '(X ) = XeX -Q +1, h"(x )= XgX >0知h(x )在(0,邑)上为增函数,h '(X)h '(0 )
6、= 0 ;知h(x )在(0,畑)上为增函数, h(x)>h(0)=0 ; /. g'(x)0 , g(x)在(0,址)上为增函数。Xa X 1由洛必达法 u知,lim2y+ X故a兰丄2综上,知a的取值范围为2 . (2011年全国新课标理)已知函数,曲线y = f(X)在点(1,f(1)处的切线方程为x + 2y-3 = 0。(I )求a、b的值;(n )如果当X A 0,且X 时,f(X)In x k>+-,求k的取值范围。X -1 Xccdnx)原解:(I ) f '(X)= x二 -(x+1)2_b2X由于直线x+2y-3=0的斜率为1-一一,且过点(1,
7、1),故12|f'(1-,I2b=1,1 a b 1一 -b = 一一l22解得 a = 1 , b = 1。(n)由(I )知 f(x)=* +1,所以x+1 Xf(X) 吐"壬(2in x"%2-1)。X T X 1 -xX考虑函数2h(x) =21 nx + (kT)(x,贝U h'(x)=X2(k-1)(x2 +1)+2x。X2(i)设 k <0 ,由 h'(x) =1)2(x B 知,当 X H1 时,h'(x) <0, h (X)递减。而 h(1)= 0 故X2当 (0,1)时,1h(x)>0,可得 wh(x)0
8、;当 XE( 1,+ 比)时,h( X) <0,可得2 h( X) >01-xIn X kIn X k从而当 x>0,且 XH1 时,f ( X)-(+ ) >0,即 f (X) >+-X-1 XX1 X(ii )设 0<k<1.由于(k 一 1 )(+ 11 x= (k 1)X2 +2x + k -1 的图像开口向2 1 1 ' 4(k 一1)0,对称轴 x=>1 当"(1,存)时,(k-1( x2+1) +2X>0'故h(X) >0,而 h( 1) =0,故当 ( 1,1 -k1)时,h(X) >0
9、,可得(X)<0,与题设矛盾。1-x2(iii)设 k>1.此时 X +1 >2x ,2 '(k -1)(x +1) + 2x >0= h(X) >0,而 h (1) =0,故当+处)时,h(X) >0,可得1 -X2h (X) <0,与题设矛盾。综合得,k的取值范围为(a,0原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下:2x In X另解:(II)由题设可得,当 x:>0,xH1时,k<+1恒成立。1 -X2xln x(x2 +1 )ln X -x2 +1In+1(XA0,X H1),则 g'(x) = 21
10、 -X令 g (x)=2 2(1-x2)2 2h(x)=(x +1 )l nx-x +1( x>0,xH1则h'(冷2lx n1X11h"(x ) = 2ln X +1 -p,易知 h"(x )=2ln x+1 -p在(0,兄)上为增函数,且XXh"(1 )=0 ;故当(0,1)时,h"(x )<0,当 X壬(1,)时,h”(x)A0 ;二h'(x )在(0,1)上为减函数,在(1,p )上为增函数;故 h'(x )> h'(1 )=0 h(x )在(0,畑)上为增函数V h(1 )=0.当 (0,1)时,h(x )v0,当( 1,+ 处)时,h(x 0当 (0,1)时,g'(x)<0,当 X 亡(1, +处)时,g'(x)A0二g(X 在 (0,1)上为减函数,在(1,咼)上为增函数1 +ln XX ln XI ln X(沪0丫 由洛必达法则知 lim g(x)=2lim
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