洛必达法则解决问题

1、洛必达法则简介:法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1) lim f(x) = 0 及 limg(x) = 0 ；在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)丰0;精品资料 lim =1 ,7 g'(x)那么 limLlimLlim= l。a g(x) T g'(x)法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1) lim f (x) = 0 及 lim g(x ) = 0 ；f(x)lim匸厲=1 ,Ygx)(2)丑0 , f(x)和g(x)在(亠,A)与(A,母)上可导，且g'(x)丰0;那么 limd-'=lim 口= I。

2、Yg(x) Yg'(x)法则3 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1) lim f(x)=及limg(x) = ；X；a在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)丰0;咕"，那么lim仝)=lim匸区)=l。lim , XT g(x ) XT g Yx )利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:(1将上面公式中的 X7a , X7S换成XT +x7-s, XT a, XT a"洛必达法则也成立。2洛必达法则可处理0 比OC000 匸 X，1，0，一50 必：:sc00吐着手求极限以前，首先要检查是否满足0，二，1

3、- ，0，-及型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二.咼考题处理（1） 若a =0，求f（x）的单调区间;（2） 若当X >0时f（x） >0，求a的取值范围原解：（1）a=0时，f（x）=eX-1-X，f'(x)=eX-1.当 x（=,0）时，f '（X）<0；当x（0, XC）时，f'（x）a0.故f（x）在（二,0）单调减少，在（0）单调增加(II) f '(X)=eX -1 2ax由（I）X知e

4、>1 +x，当且仅当x=0时等号成立.故f '(X)>x 2ax =(1 -2a)x ,从而当1 2a >0，即 a <丄时,2f'(X)>0 (x>0)，而 f(0) = 0,于是当x>0 时，f(x)>0.ex >1 +x(x工0)可得e:>1-x(xH0).从而当 a >2 时,2f'(X)ceX_1 +2a(e_1)=erex-1)(ex-2a),故当 x<(0,ln 2a)时，f '(x) c0,而 f (0) = 0，于是当 x亡(0,ln 2a)时，f (x)c0.综合得a的取

5、值范围为（y,1 V 2丿原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下:另解：（II）当X = 0时，f（X）=0，对任意实数 a,均在f（X）>0 ；Xa _ X _ 1 当X aO时，f(X)>0等价于a <2一XXX，令 h(X ) = Xq -2e +x + 2(X A 0 )，XXX丄丄e _x T,xe _2e +x+2令 g(X )二 一2(x>0)，则 g(X)=勺XX则 h '(X ) = XeX -Q +1， h"(x )= XgX >0知h（x ）在（0,邑）上为增函数，h '（X）h '（0 ）

6、= 0 ;知h（x ）在（0,畑）上为增函数， h(x)>h(0)=0 ; /. g'(x)0 , g(x)在(0,址)上为增函数。Xa X 1由洛必达法 u知，lim2y+ X故a兰丄2综上，知a的取值范围为2 . （2011年全国新课标理）已知函数，曲线y = f（X）在点（1,f（1）处的切线方程为x + 2y-3 = 0。（I ）求a、b的值;（n ）如果当X A 0，且X 时，f（X）In x k>+-，求k的取值范围。X -1 Xccdnx)原解：(I ) f '(X)= x二 -(x+1)2_b2X由于直线x+2y-3=0的斜率为1-一一,且过点(1,

7、1),故12|f'(1-,I2b=1,1 a b 1一 -b = 一一l22解得 a = 1 , b = 1。(n)由(I )知 f(x)=* +1，所以x+1 Xf(X) 吐"壬(2in x"%2-1)。X T X 1 -xX考虑函数2h(x) =21 nx + (kT)(x，贝U h'(x)=X2(k-1)(x2 +1)+2x。X2(i)设 k <0 ,由 h'(x) =1)2(x B 知，当 X H1 时，h'(x) <0, h (X)递减。而 h(1)= 0 故X2当 (0,1)时,1h（x）>0，可得 wh（x）0

8、；当 XE( 1，+ 比)时，h( X) <0，可得2 h( X) >01-xIn X kIn X k从而当 x>0,且 XH1 时，f ( X)-(+ ) >0，即 f (X) >+-X-1 XX1 X(ii )设 0<k<1.由于(k 一 1 )(+ 11 x= (k 1)X2 +2x + k -1 的图像开口向2 1 1 ' 4（k 一1）0，对称轴 x=>1 当"（1，存）时，（k-1（ x2+1） +2X>0'故h(X) >0,而 h（ 1） =0，故当 （ 1，1 -k1）时，h（X） >0

9、，可得（X）<0,与题设矛盾。1-x2(iii)设 k>1.此时 X +1 >2x ,2 '(k -1)(x +1) + 2x >0= h(X) >0,而 h (1) =0,故当+处）时，h（X） >0，可得1 -X2h （X） <0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（a，0原解在处理第（II）时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下:2x In X另解：(II)由题设可得，当 x:>0,xH1时，k<+1恒成立。1 -X2xln x(x2 +1 )ln X -x2 +1In+1(XA0,X H1)，则 g'(x) = 21

10、 -X令 g (x)=2 2(1-x2)2 2h(x)=(x +1 )l nx-x +1( x>0,xH1则h'（冷2lx n1X11h"(x ) = 2ln X +1 -p，易知 h"(x )=2ln x+1 -p在(0,兄)上为增函数，且XXh"(1 )=0 ；故当(0,1)时，h"(x )<0，当 X壬(1，)时，h”(x)A0 ；二h'（x ）在（0,1）上为减函数，在(1,p )上为增函数；故 h'(x )> h'(1 )=0 h（x ）在（0,畑）上为增函数V h(1 )=0.当 （0,1）时，h（x ）v0，当（ 1，+ 处）时，h（x 0当 （0,1）时，g'（x）<0，当 X 亡（1, +处）时，g'（x）A0二g（X 在 （0,1）上为减函数，在（1,咼）上为增函数1 +ln XX ln XI ln X(沪0丫 由洛必达法则知 lim g(x)=2lim