一次关于圆锥曲线高考题争议后的思考

1、次关于圆锥曲线咼考题争议后的思考李永胜(发表于数学教学 2008.1)在一次高三模拟考试中我们考了“ 2006上海高考数学试题(理)第20题:在平面直角坐标系xOy中，直线I与抛物线y(ty2 b) yy t yy bt® y?) .此时直线I过点(3,0)或(1,0)，故逆命 2x相交于A、B两点.(1)求证：“如果直线I过点T(3,0)，那么OA OB 3 ”是真命题.(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由”这道原题，当时在我们老师中对本题第(2)问的参考答案“例如：取抛1 -2物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时，OA OB 3，直线AB的方程

2、是y -(X 1)，23而T(3,0)不在直线AB上，故逆命题是假命题.”的解法和学生“设直线I :X ty b,代入抛物线 y2 2x，消去 x 得 y2 2ty 2b 0 .设 A(X1, yj，B(x2, y2)，则 y1 y2 2t，% y?2b .因为 0A 0B x1x2'y胡2 (tyi b)b2 y1y22bt2 bt 2t b2 2bb22b，令 b2 2b 3，得 b 3或 b题是假命题”的解法发生了一次争议,有的老师欣赏参考答案的解法一一简洁明了，而有的老师赞赏学生的解法一一通俗易懂。本人对不同的解法并没有更 多的在意，而是从不同解法中隐约感觉本题的条件和结论之间

3、存在着某种关系。于是笔者紧接着对近几年的有关抛物线的高考试题进行了收集，并通过几何画板制作课件进行了直观演示，最后发现了在抛物线中类似于本题的条件和结论 之间确实存在着一些和谐的充要关系。本人就这个问题进行了深刻的探究和严 密的论证如下:探究1:在考题的前提条件下，由(1)、(2)两问解答可知，直线I过点T(3,0) 是OA OB 3的充分不必要条件。这里的条件和结论中的“3”是巧合还是必然?我把点T(3,0)改为了 T(4,0)，结果得到了 OA OB 8，从而上面只是一种“巧合”但是直线I过定点T(m,O)时，点T的横坐标m与OA OB的值有什么联系呢？为此本人利用几何画板制作课件进行了如

4、下演示探究。课件制作I:(1)用几何画板绘制出抛物线y2 2px(p 0)图象，同时绘制出点pF( ,0), P( p,0) 2(2p,0) o2(2)在x轴上任取一点T (m,0) (m0),再在抛物线上任取一点A并计算点A的横纵坐标Xa、杯。选中点A和T构造直线I ,然后计算出直线I和抛物线C的交点B的横纵坐标Xb、yB，最后绘制出点Bo (如图1)(3)计算 0A OB xA xB yA yB o点A(如图2),点击动画点A按钮，观察有什么变化？拖动点 T,观察又有什么变化?然后选择点 A,制作动画按钮动画)c = 1 1SH1Xb = 2.51A1.363S廿W日=演示 I:当点击动画

5、点A按扭时，点OA OB Xa Xb yA yB的值不变(如图3、并与图2比较)；当拖动点 T 时，OA OB Xa Xb 和 Jb图2A、B的横纵坐标不断变化，而动B点曲I*'纭二 2.531 -53I1Mg = 1.1 7崔盯畑张=的值随之变化。i.3B图3由此可知，直线I过定点T时,OA OB为定值。因此下面以定理形式叙述结论如下:15定理1:在平面直角坐标系xOy中，设直线I与抛物线C： y22 px(p 0)交于A、B两点。则直线l过定点T(m,0) (m 0)是OA OB m22 pm的充分不必要条件。证明：(充分性)由题意可设直线l的方程为：x ky m，由ky m得2

6、pmy2 2k py 2 pm 0，设 A(X1,y1)， B(X2,y2)，则有 屮 y2 pm ,因为x1x22 2yy2，所以 X1X2 m2。4p所以OA OB x1x2 y1y2 m2 2pm，即证充分性成立。(不必要性)可以把引例作为一个特例说明必要性不成立。说明：其实当m 0时，定理1同样成立。探究2：在解答考题问题(2)时，其实参考答案的解法是通过举反例说明问题(1)的逆命题是假命题外，而学生的解法以由OA OB 3及题设条件具体解得直线I过定点是T(3,0)或T( 1,0)，从而说明问题(1)的逆命题是假命题。由此可以看出在考题题设条件下的条件“OA OB 3 ”是“直线I过

7、T(3,0)或T( 1,0) ”充分条件。这里的“ 3”和“-1”有什么关系，反之如何？下面再次利用课件进行演示说明。课件制作n：在上面制作好的课件基础上，点击点T,制作动画按钮，点击运动点T按钮，观察当点T沿x轴从右到左运动时，OA OB的值有什么变化?演示n：当点T沿x轴从右到左运动时，OA OB的值是正值，并逐渐递减(如图4,并与图3比较)；到点Q(2 p,0)时，OA OB 0 (如图5);然后OA OB的值变为负值，并逐渐递减(如图 6和图7);过点P(p,0)后OA OB值仍然是O的左边时,负值，但OA OB的值逐渐递增(如图8和图9);当运动在原点OA 0B的值又变为正值，并逐渐

8、递增(如图10和图11)。ae点fl松运动点T| .= 1 1 8Vfl=1 04/b = -1.24坯挟畑也=0£动B点A勒IsaFTi3c = 1.77鹿=-o阴/!图A00rA动画点列I运动点r=2：旳=-0 33A.ruiHKn1运直点T心/X /Mg = 035Vg =-0.661 92昭二-CIW3厂0.7图6A-0.32 + 图9动画点人I运动点Tx = 1.9：A亍加 出日=D.04孤冷*務旳1动画点AI运动直T|_Xa = 1 9G vt= 17X0J20 = 0.46 -2 4=图101.05S347+ 图11运动点T| 一険=1卫Y r ' Xg 0.7

9、6 血=1J 4 -探究3：从上面OA OB值的变化可以解释：为什么“由 OA OB 3可以得到直线I过T(3,0)或T( 1,0) ”两种情况的直观理由，因为当点T在点Q(2 p,0)右边或在原点O的左边运动时都可以使OA OB的值为正值。但这两个点的有怎样的关系呢?课件制作m：(1)制作如图3的课件后，双击点P为旋转中心，然后点击点T,用旋转变换作出关于点P的对称点T。(2)在抛物线上任取一点 A，并计算点A的横纵坐标Xa、目A。选中点A和T构造直线I，然后计算出直线I和抛物线C的交点B的横纵坐标Xb、Yb，最后绘制出点B。(3)分别计算OA OBXa XbYa按钮动画点A'(如图

10、12)，选择动画点A和动画点A'，制作系列动画按钮，依次点yB，然后点击动画点*1动B点fl'l 制作动画击动画按钮动画点A、动画点A'和系列动 画观察有什么变化？拖动点T，再次点击动画按钮动画点A、动画点A'和系列动画观察 又有什么变化？A，Ar-2 -图12T' 0沁乍R =演示m： 点击以上三个按钮中的任意一个按钮,Xa XbyA yB 和XaXb目A yB值都没有变化并且值相同(如图13且与图12比较)；当拖动点T时，点击以上三个按钮中的任意一个按钮,OA OB Xa Xb Ya Yb T1136A-I动B点h F 惑卜 丟列动B 图14r 0

11、心忖日=Ya Yb的值随之改变，图13和 OA OB XA XB'0 bVa-Ve 兰十-备'+#阳日' 0.53但是它们的值仍然相同(如图14且与图13比较)。进而得从以上的演示结果表明了点T(3,0)和T( 1,0)是关于点P对称的。到如下的定理:定理2:在平面直角坐标系xOy中，设直线I与抛物线C: y2 2px( p 0)交于 A、 B两点。则直线I过点T(m,O)或T(2p m,0) (m 0)是OA Ob m 2警，所以X1X2 b2。4p 2 pm的充要条件.证明：(充分性)(1)当T(m,O)时，由定理1可知成立。(2)当T(2 p m,0)时，由题意可

12、设直线I的方程为：Xky2p m ,X ky 2 p m 由 y2 2px2kpy 2p (2pm)设 A(Xi,yi),B(X2,y2)，则有yi y22p(2 pm),又因为 X1X22 2¥1 ¥24p2所以XiX22(2p m)2。22p(2pm) m 2 pm2pb 0，设 A(X1, y1), B(x2, y2),所以 OA OB x1x2 y1y2(2p m)2综合(1)、(2)即证充分性成立。(必要性)由题意可设直线I的方程为X kyX ky b22，可知，y 2kpyy 2px则有ym2pb，有因为X1X2OA OB.2X1X2 y1 y 2b2pb ,

13、又 OA OB2m 2 pm可得b22pb m22 pm ,即 b2 2pb m22pm 0所以b(2p)寸(2P)24 ( m2 2pm)即 b m或 b 2p m D故直线I过点T(m,0)或T(2p m,0)由演示n和定理2不难得到如下两个推论推论1:在平面直角坐标系x0y中，设直线I与抛物线C: y2 2px(p 0)交于A、B两点。则直线I过点T(p,0)是0A 0Bp2的充要条件.推论2:在平面直角坐标系xOy中，设直线I与抛物线C: y2 2px( p 0)交于A、B两点(A、B异于点0)。贝U直线I过点T(2p,0)是OA OB 0的充要条件.注记：利用定理2和推论2对2000

14、年北京春季高考数学试题(理)第 22题、2004年重庆高考数学试题第21题的第一小问、2005年广东高考试题第17 题的第(2)问和2007年江苏高考试题第19题第(1)问都提供很好的一种解 法。探究4：考题中的第(2)问在什么限制条件下能使这个逆命题是真命题?其实通过上面演示n、m不难看出，只要我们限制 A、B在x轴的异侧，考题 中的第(2)问的逆命题就成为了真命题。但还需要添加另外一个条件才能得到 直线I过点T(3,0)的充要条件为0A 0B 3。因此又得到如下的一个定理:定理3:在平面直角坐标系xOy中，设直线I与抛物线C: y2 2px( p 0)交于A、B两点。且A、B在x轴的异侧，

15、且 m 2p ,则直线I过点T(m,0)是0A 0B m22 pm的充要条件.此定理的充分性同定理1,而必要性可以直接从定理2 (探)式往下证明即可。因为当mA2p时，b 2p m 0。而A、B两点在x轴的异侧，b 0 ， 因此舍去b 2p m。故直线I过点T(m,0)。即证此定理成立。推论1:在平面直角坐标系xOy中，设直线I与抛物线C: y2 2px( p 0)交于A、B两点。且A、B在x轴的同侧，设m 0 ,则直线I过点T(m,0)是0A 0B m22 pm的充要条件.同上，当m 0时，b 2p m 0，而A、B在x轴的同侧，b 0,因此舍去b 2p m。故直线I过点T(m,0)。由定理3可以回答本文刚开始时对考题分析中提到“条件和结论中的3'是巧合？”，其实当m2 2pm m即m 2p 1时，这样的“巧合”就可以发生了，从而又得到了如下推论:推论2:在平面直角坐标系xOy中，设直线I与抛物线C: y22 px(P 0)交于A、B两点。且A、B在x轴的异侧，贝U “当且仅当m 2p1时”是“直线I过点T(m,0)是OA OB m的充要条件”对高考试题的探索是一件耐人寻味的事情，或一题多解，或追根索源，或变式推广，或开发试题的教学功效。本文利用几何画板对问题