(整理)真空中的静电场.

1、精品文档第八章真空中的静电场基本要求一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。二、掌握反映静电场性质的两个基本定理高斯定理和环流定理的重要意义及其应用。三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。内容提要F 1q1q22 (r)40r r库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止(或低速)。二、电场和电场强度电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。电场强度的定义式EFq0 点电荷场强公式q2 (r) rr电场中某点的场强等于每个

2、电荷单独在该点1E40 场强叠加原理产生的场强的叠加(矢量和) 精品文档精品文档几种常见带电体的场强1、电荷线密度为 的无限长均匀带电直线外一点的场强E2 0a2、电荷面密度为 的无限大均匀带电平面外一点的场强E 20方向垂直于带电平面。3、带电Q、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布r<R 时， E =0r>R 时， E Q 2 r0 4 0rr<R 时，4、带电Q、体密度为 的均匀带电球体场强分布4 0R3Qr>R 时， E2 r04 0r高斯定理电场线（电力线）画法1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E 的单位面积的电场线的条

3、数等于该点 E 的大小。电场线的性质1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。电场强度通量eE d Ss电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S 的电场线的条高斯定理真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/ 0倍。qE dS S内S0高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。四、静电场的保守性环路定理静电力做功的特点电场力做的功只取决于被移动电荷的起点和终点的位置，与移动的路径无关。静电场的环路定理E d l

4、0上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保守力场。环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场 是无旋场。五、电势能、电势和电势差保守力做功和势能增量的关系Aa b = （WbWa）q0在电场中a、 b 两点电势能之差等于把q0自 a点移至 b 点过程中电场力所做的功。bbWa WbF d l q0E dlaa电势能选标准点（势能零点），且取 W 标 =0， q0在电场中某点 a 的电势能为标Waq0 E dla即 q0自 a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属于 q 0和产生电场的源电荷系统共有。电势差

5、a、 b 两点的电势差即把单位正电荷自a b 过程中电场力做的功。Ua UbWaWbq0ba E dl精品文档电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标 准点”过程中电场力做的功。UaWaq0aE dl点电荷电势公式U q4 0r电势叠加原理电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加（代数和）。六、场强和电势的关系电势梯度等势面电势相等的点组成的面。等势面和电场线的关系等势面与电场线处处垂直；电场线从高电势处指向低电势处；等势面密处场强大。场强和电势梯度的微分关系E gradU 或 E U解题方法与例题分析在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下三种： 1. 用

6、点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的场强； 3. 已知或求出电势分布U 后，再由E gradU 求场强。熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介绍连续带电体的场强的求解方法积分法。用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。 在电场中某点的场强为各电荷元在

7、该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主要步骤如下：将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷，任一电荷元在空间某点场强为1 dqdE2 r040r由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强EdE1dq2 r04 0 r2选择适当的坐标系，把矢量积分E dE 化为分量积分式，如取直角坐标系，则Ex=dEx，Ey=d Ey ，Ez=dEz。根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电体。进行积分求得Ex 、 E y 、 Ez，再求出E 。精品文档在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小

8、厚度的圆盘（或球壳）所组成。 如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成，这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积分化为单重积分来做，使运算简化。2. 由高斯定理求场强用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高斯面使场强E 能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如下：分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯定理求解；选择适当的高斯面，使场强E 能提到积分号外面。如电场具有球对称性时，

9、高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面取轴垂直于平面并于平面对称的柱面；求出高斯面所包围的净电荷q，代入高斯定理的表示式求出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。3. 求电势分布U 后，由 E U 求场强因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。例 1 长 l 厘米的直导线AB 均匀地分布着线密度为 的电荷。求：（ 1） 在导线的延长线上与导线一端B 相距 R 处 P 点的场强；（ 2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距

10、R 处 Q 点的场强。精品文档解 （ 1 ）如图8 1（ a）所示，取A点为坐标原点，向右为x轴正方向。直导线上任一dx线元到 A点距离为x，其电场强度为E 1 dx dE24 0 （l x R）而各段在P 处产生场强方向相同（沿x 轴正方向），故总场强为EPdE1ldx24 0 0 (l x R)精品文档l1 11()4 0 (l x R) 04 0 R R l方向沿 x 轴正方向。（ 2）若以导线AB 中心为坐标原点，如图8 1 （ b）所示。dx 线元在 Q 点产生的电场为dE 12 dx 2 （方向如图所示）4 0 （x R ）由于对称性，其叠加场强沿y 正方向，水平方向相互抵消。在

11、Q 点的场强为l2EQdE cos40dxRl2(x2 R2) (x2 R2)122 R 2 dxR x 232224 0 0(x2 R2) 22 0 R (R x )0l14 0R R2 l 2212方向沿 y 轴正方向。l 为无限长时，由上式可求得场强为E /(2 0 R ) 。例 2 一带电细线弯成半径为R 的半圆形，其电荷线密度为= 0sin，式中 为半径 R 与 x 轴所成的夹角， 0为一常数，如图8 2 所示， 试求环心O 处的电场强度。解 在 处取电荷元，其电量为dq0dl0Rsin d它在 O 点处产生的场强为dq0 sin ddE 24 0R24 0R在x、 y 轴上的两个分

12、量dExdE cos ， dEy dEs i nEx 0 sin cos d 04 0R 0020E ysin d4 0R 08 0R所以E ExiEyj 0 jx y 8 0R例 3 利用带电量为Q、半径为R的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强公式Ex 3 推导一半径为R、 电荷面4 0 R2x2 2密度为 的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步推导电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强。解 设盘心 O 点处为原点，x 轴沿轴线方向，如图8 3 所示，在任意半径r 处取一宽为dr 的圆环，其电量dq 2 rdrxdqdE34 0 r2 x2 2x rdr320 r x 2dE x

13、R rdr 320 0 r2 x232x 1 R x1 12 0 r2 x2 02 0 x R2 x2当 R 时，即为“无限大”带电平面x2x 20例 4 如图84 所示，一厚为a 的无限大带电平板，电荷体密度 = kx （0xa），k 为一正值常数。求：（ 1 ）板外两侧任一点M1、M2的电场强度大小；（2）板内任一点M 的电场强度；（3）场强最小的点在何处。解 （ 1 ） 在 x处取厚为dx的平板，此平板带电量dq dx Sdq dxSdx kxdx dE202020a kx dxE02 0ka2402）板内任一点M 左侧产生的场强方向沿x 轴正向E1kx020dxkx240M 右侧产生的

14、场强方向沿x 轴负向所以3）E2 akxdxx2 0kx2 E40ka2k a2x240x2k4040222x aE = 0 时场强最小，即2x2 a2 0xa 2例5如图8 5 所示，圆锥体底面半径为R，高为H ，均匀8 5带电，电荷体密度为，求顶点A 处的场强。解 在离顶点A 为 x 处选厚为dx 的薄圆盘，此圆盘半径为r。由图知xHrR rx此薄圆盘的带电量dq dVr 2dx电荷面密度=电量/面积=r 2dxdxr利用例 3 均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果E x120 x1x2 R2可得此薄圆盘在A 点的场强dE 2 01xr2 R21 H H 2 R2 dx20HE 0201H

15、H 2 R2dx8 6HH120 R H此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来计算。例 6 半径为R、长为的均匀带电圆柱体，电荷体密度为0 ，求圆柱体轴线上O点的场强。设 O 点离圆柱体近端的距离为b，如图8 6 所示。解 用积分法求解这题目时，如取点电荷为积分元，则要用三重积分。但是我们取圆盘为积分元，用圆盘在轴线上一点产生的精品文档精品文档场强的公式，只要计算定积分就可以求得圆柱体轴线上一点的场强。如图8 6 取坐标，距O 点的距离y处，一厚度为dy 的圆盘在 O 点产生的场强的大小dE = dE 120精品文档方向与 Y 轴相反， 式中 是厚度为dy 的圆盘上的电荷面密度，和圆柱体的电荷密

16、度0 的关系0 R2dy= 0dy所以有dE = dE bb20d0y1R2yy2b 0dyb 20b 0 ydy2 0 R2y例7于 x= a/2=R2( b)2R2 b2 20如图 8 7( a)所示，在XY平面内有与Y轴平行、位和 x= a/2 处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷密度分别为 和 ， 求 Z 轴上任一电场强度。点的ZY2Xa)精品文档2 aZza2EEo aX2b)图8 7解 过 Z 轴上任一点(0，0， z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图8 7( b)所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为E 1/(2 0r)式中正负号分别表示场

17、强方向沿径向朝外和朝里，如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为a/2E 2E cos0r r2a220(a 4z )方向如图所示或用矢量表示2a i0(a2 4z2)例 8 真空中有一高h=20cm、底面半径R=10cm 的圆锥体。在其顶点与底面中心的中点上置一q =10-6C 的点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场强度通量。a)b)8 8解 以顶点与底面圆心的中点为球心，r R2 (h/2)2 为半径做一球面。可以看出，通过圆锥侧面的电通量等于通过整个球面的电通量减去通过以圆锥底面为底的球冠面的电通量。整个球面的电通量为0 q/ 0通过球冠面的电通量10S/S0q 2 r(r 2h/2)0

18、 4rqh/212 0R2(h/2)2式中S为球冠面面积S=2 r(r h/2)， S0为整球面积。通过圆锥侧面的电通量201q qqh02 04 0 R2 (h/2)2qh/2421 0.6 104 N m2/C2 0R2 (h/2)2二、求电势的方法在普通物理学范围内，求解静电场电势的基本方法通常有以下两种：1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强；2. 已知或求出场强分布E 后，再由UP= P E dl 求电势。熟练掌握求解静精品文档电场电势的这两种方法是对学好电磁学大有裨益的。1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强把带电体看为由许多电荷元组成的，带电体在电场中某点产生的电势为各电

19、荷元在该点产是的点势dU 的叠加，即U= dU用积分求电势的步骤和用积分求场强相同，只是U = dU 是一个标量积分，不用取分量式。2. 已知或求出场强分布E 后，再由U P = p Edr ，求电势对有限大小的带电体，通常选无限远为电势的零点，所以有UP=Edrp用上式求电势时应注意：选择适当的路径，因为上述积分与路径无关，我们取积分路径时，总是设法选取使积分计算比较简便的路径；对于在积分路径上不同区域内场强的函数形式不同的情况，积分必须分段进行。如从r 到 R 范围内的场强为E1(r)，从R到“无穷远”处场强为E2(r)，则P 点的电势UP( r)= r E 1(r)dr+ R E 2(r

20、)dr对能用高斯定理求场强的问题，用这种方法求电势比较方便。例 9 一根长为L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为，试求在圆心O 点的电势。解 半圆形导线半径：R LO 点电势由电势迭加原理求解。精品文档精品文档dUdq4 0Rdq dldU 0dl4 0R40R 4 0精品文档8 9例 10 如图8 9 所示，两个均匀带电的同心球面，半径分别为R1 和 R2，带电量分别为q1 和 q2。求场强和电势的分布。解 （ 1 ）对称性分析：场强沿径向；离球心O 距离相等处，场强的大小相同。可见场强具有球对称性可以用高斯定理求 场强。（ 2）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。当

21、 r>R 2时，取半径为r 的高斯面S1，如图所示。由高斯定理E dS q1 q2s10因为场有上述的对称性，所以E dS E 4 r2 q1 q2s10解得E q1q224 0r定理R1 <r<R 2时，取半径为r 的高斯面S2，如图所示。由高斯E dSS2E dS E 4 r2 q1S20解出Eq14 0r 2当 r<R 1 时，取半径为r 的高斯面S3，如图所示。由高斯定理S E dS 0因场强是球对称的，则有2S E dS E 4 r 0所以E=0从上面计算的结果得到场强的分布为q1q22,4 0rq14 0r2 ,rR2R1r R2rR1知道了场强分布，可以从

22、电势的定义出发求出空间的电势分r>R 2时q1 q2q1 q2U E dr2 drrr 4 0r4 0rR1<r<R 2时U rEdrrR2 q1 2dr Rq1 q22drrr 4 0rR2 4 0rq111 q1 q2q1q24 0 r R24 0 R24 0r 4 0R2r<R 1 时R1R2q1q1 q 2U E dr 0 dr2 dr2 drrrR1 4 0r 2R2 4 0r 2q1q240 R140 R2q111q1q240R1R240 R2当然，也可以用电势叠加原理来求电势的分布，把空间各点 的电势看为两个带电球壳在空间产生的电势的叠加，求得的结果 和从

23、电势定义出发求得的结果相同。如果我们对一个均匀带电球 面在空间产生的电势分布的函数关系比较熟悉，那么用后一种解 法是比较方便的。一、填空题1、两个正点电荷所带电量分别为q1 和 q2，当它们相距r 时，两电荷之间相互作用力为F=。 若 q1+q2=Q， 欲使两电荷间的作用力最大，则它们所带电量之比q1： q2=。2、 四个点电荷到坐标原点O 的距离均为d， 如图 8 10 所示，则 O 点的电场强度E=。图8 10图 8 113、 真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面，其中一块的面电荷密度为+, 另一块的面电荷密度为+2，两极板间的电场强度大小为。4、半径为R，均匀带电Q 的球面，若取无穷远

24、处为零电势，则球心处的电势V0=；球面外离球心r 处的电势Vr=。 若在此球面挖去一小面积 S（连同其上电荷），Q， 通过一个侧面的D. Q6则球心处的电势V0=。1、 边长为 a 的正方体中心放置一个电荷 A. Q ； B. Q ； C. Q ； 422、 如图8 11 所示， 闭合面 S内有一点电荷q, P 为 S面上一q'，若将 q' 移到 S面外另一点B 处，P 点的场强不变；P 点的场强改变；点，S面外A点有一点电荷则下述正确的是： A.S 面的电通量改变，B.S 面的电通量不变，C.S 面的电通量和P 点的场强都不变；D.S面的电通量和P点的场强都改变。3、 关于电

25、场强度定义式E= F/q0， 指出下列说法中的正确者： A. 场强 E 的大小与检验电荷q0的电量成反比；B. 对场中某点，检验电荷受力F 与 q0的比值不因q0而变；C. 检验电荷受力F 的方向就是场强E 的方向；D.若场中某点不放检验电荷q0，则F=0，从而E=0。4、电场强度定义式E= F/q0, 这一定义的适用范围是： A. 点电荷产生的电场；B. 静电场；C. 匀强电场；D. 任何电场。5、在SI 制中，电场强度的量纲是： A. I 1MLT 1； B. I 1MLT 2； C. I 1MLT 3；D. IMLT 3。6、若将负点电荷q 从电场中的a 点移到 b 点，如图8 12所示，则下述正确的是： A. 电场力作负功；B. 电场强度Ea<E b；C. 电势能减小；D. 电势Va<V b。7、一电量为-Q 的点电荷位于圆心O 处，A、 B、 C、 D 为同一圆上的四个点，如图8 13 所示。现将一实验电荷从A 点分别移到B、 C、 D 各点，则： A. 从 A 到 B，电场力做功最大；B. 从 A 到 C，电场力做功最大；C. 从 A 到 D ，电场力做功最大；D.从 A到各点，电场力做功相等。三、判断题（）1 、闭合曲面内的电荷的代数和为零，闭合曲面上任一点的场强一定为零。（）2、 闭合曲面上各点的场强为零，闭合曲面内一定