人教A版选修4-4第1讲4柱坐标系与球坐标系简介

1、四柱坐标系与球坐标系简介学习目标 1. 了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.知识点一柱坐标系思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制?答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.梳理柱坐标系的概念（1）定义：建立空间直角坐标系 Oxyz,设P是空间任意一点，它在平面 Oxy上的射影为 Q用（p , 0 ）（ p 0,0 w。 0,0 w。2兀，z R.x= c cos 0 ,（2）空间点P的直角坐标（x, y, z）与柱坐标（p, 0 , z）之

2、间的变换公式为y= p sin 9 2z= z.知识点二球坐标系思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和 一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示.答案可以.梳理球坐标系的概念（1）定义：建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点，连接OP，记|OP| =r, OP与Oz轴正向所夹的角为设P在Oxy平面上的射影为 Q Ox轴按逆时针方向旋转到OQ寸所转过的最小正角为0 .这样点P的位置就可以用有序数组（r , 7,。）表示.这样，空间的点与有序数组（r , 4, 0 ）之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系

3、（或空间极坐标系）,有序数组（r , （）, 0 ）叫做点 P的球坐标，记作P（r ,（H。）,其中 r 白0,0 w w 兀,0w e jx + y2 = .02 +12 =1.兀, 兀x= 0, y0,0 = 2.点 M的柱坐标为 1, , 2 .x= c cos 0 , (2)由变换公式y= p sin 0 ,得Z=Z,兀兀x= 2cos = 0, y= 2sin = 2,故点N的直角坐标为(0,2,3).类型二球坐标与直角坐标的互化例2 (1)已知点P的球坐标为 4,4 ,求它的直角坐标;(2)已知点M的直角坐标为(一2, 2, 2山)，求它的球坐标.解(1)由变换公式，得x= rsi

4、n 6 cos 0 = 4sin -7-cos：= 2.44y= rsin 6 sin 0 = 4sin 7-sin -= 2. 44z = rcos（）= 4cos 34 = - 2m.故其直角坐标为(2,2 , 2柩.(2)由坐标变换公式，可得r = Rx2+y2+z2 =- 2 2+ -2 2+ -22 2 = 4.得 cos()=2，=一乎,又 tan 0 = y= 1 x从而知M点的球坐标为 4,5 714反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ,。，0 ),利用变换公式x = rsi n （）cos 0 ,y = rsin （）sin 0 , 求出 r 40 即可

5、；也可以利用r2=x2+y2+z2, tan 0 =-, cos（j）= .来求,xrz = rcos （）,要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚跟踪训练2把下列各点的球坐标化为直角坐标.(1) 2,牛,；;(2)板全/解设点的直角坐标为(x, y, z).(1) (r , 4, 0 )= 2, 9, 5 ,()和0所在的位置.x = rsin（）cos 0 = 2sin3兀 cos45兀7 =T，y = rsin （）sin 0 = 2sin3兀 sin45兀彳一1z = rcos（）= 2cos3兀4 （ 1, 1, 一。2）为所求.I- 7t 7t（2） . （r , 。，0 ）=

6、46, 了，-,x = rsin （）cos 0 = 46sin兀 兀3/65cos 7= 4，y = rsin （）sin 0 = sinsin 3z = rcos（）= 46cos66T=-2,平,乎,乎为所求.类型三求点的坐标例3 已知正四棱柱 ABCaABCD,底面ABCD力长为1,高AA为y6,建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点 C的直角坐标，柱坐标及球坐标.解点Cl的直角坐标为（1,1 ,4），设 Ci 的柱坐标为（p , 0 ,16） , p = x2+ y2 = 2J2., tan 0 = y=1, 0 =x4所以。的柱坐标为啦, /,，6 ,设。的球坐标为（r ,

7、（）, 0 ）,其中 r0,0（f） % , 0 0 2tt ,由 x = rsin （）cos 0 , y = rsin （）sin 0 , z = rcos（）,得 r = 0,0 w力w兀，0 0 =,彳， ,兀 兀.C的球坐标为小，,.A的直角坐标为（0,0，恫，A的柱坐标为（0,0 ,、/6）,A的球坐标为（郃,0,0）.则Q点的坐标为（）兀1 .在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为2, , 3 , P在xOy平面上的射影为 QA. （2,0,3）B.（啦，蛆，0）厂 兀厂 兀C. V2, 1, 3D.42, , 0答案 B2 .设点M的直角坐标为（2,0,2）,则点M的柱坐标为（）A

8、. （2,0,2）B. （2,兀，2）C.（近，0,2）D.（42,兀，2）答案 A3 .在球坐标系中，方程 r =2表示空间的（）A.球B.球面C.圆D,直线答案 B兀4点P的柱坐标为4, -6, 3 ,则点P到原点的距离为 .答案 5解析 x= c cos 0 = 4cos_6_= 2/3, y= p sin 0 = 4sin = 2.即点 P 的直角坐标为 距离为2 273- 0 2+ 2-0 2+ 3-0 2 =5.5.已知点 M的直角坐标为（1,2,3）,球坐标为（r ,。），则tan。, tan 0 = 答案为5 2解析如图所示，tan 312 =*,tane=y=2. 平 z 3

9、x1.空间点的坐标的确定（1）空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即 （x, y, z）.（2）空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即 （p ,。， z）.（3）空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角。，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角以及点到原点的距离组成的，即 （r ,。，。）.注意求坐标的顺序为到原点的距离r；与z轴正方向所成的角 （）；与x轴正方向所成的角0 .2,柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一 点P的位置可以用有序数组（p ,。， z）表示，

10、（p ,。）是点P在Oxy平面上的射影 Q的极坐标, 空间直角坐标系中的竖坐标.、选择题1.点P的柱坐标是4,3 ,则其直角坐标为（A. （2用 2衣，3）C. （-2/，-2啦，3）答案 CB. （-2娟，22, 3）D. （25，2 3）2.设点M的直角坐标为（一1-1,啦）,则它的球坐标为（A. 2714B. 25兀VC. 25 714714D. 2714答案3.在直角坐标系中,（1,1,1）关于z轴对称点的柱坐标为（A.也 34, 1B. V2, -4, 1C. & 545 1D.啦,74L, 1答案 C解析（1,1,1）关于z轴的对称点为（一1, 1,1）,它的柱坐标为啦，T，14

11、.空间直角坐标系 Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是（兀兀A. 1,三,2B. 2,0兀D. 3,百，兀 兀C.3, 了，不答案 A-一，,兀，,一一,解析 由P（ p ,。，z）,当。=万时，点P在平面yOz内.5 .已知点 M的球坐标为 4,彳，,则点M到Oz轴的距离为（）A. 2 2B. 2C. 2D. 4答案 A解析设点M的直角坐标为（x , y, z）.（r , （）, 0 ） = 4, y, -4- ,x = rsincos 0 = 4sinTcos 34L= - 2,=rsin （）sin 0 = 4sin -4-sin= 2,z = rcos，点M的直角坐标为（一

12、2,2,2 72），点M到Oz轴的距离为 寸2 2+ 22 = 2陋.兀6.在柱坐标系中，点P的坐标为2, y, 1 ,则点P的直角坐标为（）A.（事，-1,1）B.（季,1,1）C. （T,m，1）D. （1 ,m，1）答案 D解析枉坐标2, , 1对应的点的直角坐标是2cos -3, 2sin万，1 ,即（1 , 43, 1）.二、填空题7 .已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为2, 2T-,乖，且点M在坐标轴Oy上的射影为N,则|MN| =3答案 ,6解析 设点M在平面xOy上的射影为P,连接PN 则PN为线段MN平面xOy上的射影.因为MNL直线 Oy, MPL平面xOy, 所以PN直线O

13、y,所以 |OP| = p = 2, |PN| = P cos -yr- = 1 , 3在 RtAMNF, / MPN= 90 ,所以 |MN| =W|PM| 2+|PN| 2 =，m 2+ 12 =乖.f ,兀8 .在极坐标系中，由三条直线 0 = 0, 0 = , p cos 0 + p sin 0 = 1围成图形的面积是 答案一4解析如图，一、,兀兀3- 3 3-x/3由题意知 |OA| =|OB| = 1, Z POO y, / PAO 了，|PC| = |CA|故所求面积为兀 9 .已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为 2, , 5 ,则|OM| =.答案 3解析因为（p ,。，z

14、） = 2, 45 ,设点M的直角坐标为（x , y, z）,则x2 + y2= p 2=4,所以 |OM| = x2+ y2+ z2 = ,4+ m2 = 3.10 .已知点Pi的球坐标是 4,彳，-,P2的柱坐标是 2,三，1 ,则尸目| =236答案 ,21解析 因为点P1的球坐标是4,小，5；,23xPl4 .54sin cos , 23 54sin sin , 23Zp1 4cos一,12经计算得Pi（2, 一 2串,0）,兀因为p2的柱坐标是2 b 1 ,所以x2yp2ZP22cos 一, 62sin_ 经计算得 P2（V3, 1,1） .6，1,所以 |P 1P2I =2-/3 2+ -2-1 2+ 0-1 ：2= 721.三、解答题0 = -4 , r = x2+ y2+z2=12+ 12+2 2=11 .设点M的直角坐标为(1,1 ,柩,求点M的柱坐标与球坐标.解