2.2教师版等差数例(二)

1、洛阳市东方高中高二数学必修五学习单米 2 2.2等差数列(二)编制人:高一数学组 审核人:【使用说明】：1 .课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题.2 .课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.3 .找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决4 .课后认真完成反馈巩固学习单.【学习目标】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2,能运用等差数列的性质解决有关问题.自主研读学习单1 .灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有 关性质.2 .掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数 列的内涵和本质.一、知识要

2、点，记下疑难点：1 . 等差数列的通项公式： an= ai+ (n 1)d.2 .等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项等距离”的两项之和等于首末两项的和，即： a1 + an= a2 + an-1 =ak+an+1 k .3 .等差数列的性质一(1)右an是等差数列，且 k+1 = m+n(k、1、m、nC N ),则ak+a! = am +an.若an是等差数列，且公差为 d,则82n-1和a2n都是等H汨2d.(3)若an, bn分别是公差为d1, d2的等差数列,则数列pan+qbn( p、q是常数) 是公差为 Pd1 + qd2的等差数列.合作探究学习单等差数列的常用性质问

3、题 设等差数列an的首项为a1,公差为d,则有下列性质:(1)若 m+n= p+q(m, n, p, qCN*), WJ am+an= ap+aq.(2)若 m+n= 2k(m, n, k N ),贝U am + an = 2ak.请你给出证明.证明 (1)am= a1 + (m1)d, an = a1+(n1)d. am)+ an= 2a1 + (m+ n 2)d.同理，ap+ aq = 2a + (p+ q2)d, m+ n=p+q,am+ an = ap+aq.(2) - am)+ an = a1 + (m 1)d + a1 + (n 1)d=2a1+ (m+ n 2)d,2ak= 2a

4、i + (k 1)d = 2ai + (2k 2)d,又 m+ n = 2k,am+ an = 2ak.探究点一已知等差数列an、bn分别是公差为d和d；则由an及bn生成的新数列”具有以下性质，请你补充完整.an是等差数列，则ai ,a3,a5,仍成等差数列(首项不一定选ai),公差为2d ；下标成等差数列且公差为 m的项ak, ak+m, ak+2m, - (k, m N+)组成公差为 md 的等差数列；一数列入1a+b(入b是常数)是公差为 9的等差数列；数列an + bn仍是等差数列，公差为 d+d'；数歹入应+仙b(入仙是常数)仍是等差数列，公差为入肝 肉 .探究点二等差数列

5、与一次函数的联系 探究 由于等差数列an的通项公式an=dn+(aid),与一次函数对比可知，公 差d本质上是相应直线的斜率.如 am, an是等差数列an中的任意两项，由an = am+(nm)d,可知点(n, an)分布以 上为斜率，以ai d为纵截距的直线上.请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表d>0an为递增 数列an为常 数列d<0an为递减数歹【I【典型例题】例 1 在等差数列an中，已知 ai + a4+a7=39, a2+a5+a8=33,求 a3 + a6+a9 的化解 方法一: ai + a4+a7=(a+a7) + a4=3a4=39,

6、.a4=i3, a2 + a5 + a8 (a2 + a8) + a5 = 3a5 33. a5=ii, . d = a5a4= 2.: a3+a6+a9=(a3+ a9)+ a6 = 2a6+a6=3a6= 3(a5 + d)=3(ii 2)=27.方法二: ai + a4+ a7 = ai + (ai + 3d)+ (ai+ 6d)= 3ai+9d = 39, .ai +3d=13,a2+ a5+ a8 = (ai + d)+ (ai + 4d) + (ai + 7d)= 3ai+ 12d = 33. ai +4d=11,由联立ai +3d=13d= 2.，行 一ai +4d=11 ai=

7、19 - a3 + a6+ a9 = (ai + 2d) + (ai + 5d) + (ai + 8d) = 3ai+ 15d = 3M9+15X2) = 27.C!.小结：解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列an的性质:若 m+n=p+ q = 2w,则 am+an= ap+aq= 2aw(m, n, p, q, w都是正整数)；. 是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两 种方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练1已知等差数列an中，ai + a4+a7=15, a2a4a6 = 45,求此数列的通 项公式.解 因为 ai + a7=2a4, ai+

8、 a4+a7 = 3a4= 15,所以 a4=5.又因为 a2a4a6=45,所以 a2a6= 9,即(a4 2d)(a4 + 2d) = 9, (5-2d)(5+ 2d) =9,解得d=苣.若 d = 2, an=a4+(n 4)d = 2n3;若 d = 2, an=a4+(n 4)d = 2n3;例2三个数成等差数列，和为6,积为-24,求这三个数解 方法一 设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a, a+d,依题意得，3a= 6 且 a(a d)(a+d) = 24,所以 a = 2,代入 a(ad)(a+d) = 24化简得d2=16,于是d=M,故三个数为2,

9、2,6或6,2, -2.方法二设首项为a,公差为d,这三个数分别为a, a+ d,a + 2d,依题意得，3a+ 3d = 6 且 a(a+d)(a + 2d)= 24,所以 a = 2 d,代入 a(a+d)(a+2d)= 24,得 2(2 d)(2 + d) = 24,4 d2= 12,即d2=16,于是d=扫，三个数为2,2,6或6,2, -2.每小结：利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算.一般地有如 下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为 a,再用公差为d 向两边分别设项：- a-2d, a-d, a, a+d, a+ 2d,；当项数为偶数项时，你争我辩，争辩课堂

10、精彩你说我论，论说数学真谛5洛阳市东方高中高二数学必修五学习单可设中间两项为a-d, a+d,再以公差为2d向两边分别设项：- a 3d, a-d, a+d, a+3d,，这样可减少计算量.跟踪训练2四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2,首末两数的积为一8, 求这四个数.解 方法一 设这四个数为a 3d, a-d, a+d, a+3d(公差为2d).依题意，2a = 2,且(a 3d)(a+3d) = 8,即 a= 1, a29d2= 8, d2=1,-4=1 或 d= 1.又四个数成递增等差数列，所以 d>0,.d=1,故所求的四个数为一2,0,2,4.方法二 设这四个数为a, a

11、+ d, a+2d, a+3d(公差为d),依题意，2a+3d = 2,且 a(a+3d)= 8,把 a= 1 3d 代入 a(a+ 3d)= 8,得(1 2d)(1+|d)=8,即 14d2= 8,化简得d2 = 4,所以d = 2或一2.又四个数成递增等差数列，所以 d>0,所以d = 2, a= 2.故所求的四个数为一2,0,2,4.2an例3.已知数歹1an,满足a1 = 2, an+1=an;.an 21数列:是否为等差数列？说明理由.(2)求 an.1解(1)数列白是等差数列，理由如下： an2an1an + 2 11,a1 = 2, an+1 = 二=% + 一,'

12、an + 2an+12an 2 an',111一一一二二.an+1 an 21 111即力是首项为5=1,公差为d=1的等差数列.ana1 2211n 2(2)由上述可知 an=a1+(n1)d=2,，an = n.石小结： 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义： an+1 an = d(d为常数)，也可以用an+1 an=anan1(n方洲行判断.本题属于 生成数列 问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式.跟踪训练 3 正项数列an中，a1=1, an+1an= an + Jan.数列强是否为等差数列？说明理由.(2)求 an.解 (1)= an + 1

13、an+1= an+Van,an + 1 an= qan + 1 +，an,7 an + 1 一 401= 1 ,.乐是等差数列，公差为1.由(1)知后是等差数列，且d=1, an = afsii + (n 1)内=1 + (n 1) X=n, an=n2当堂检测：1.等差数列an中，a4 + a5=15, a7=12,则 a2等于(A )3-3A. 3 B. 3C.2D ' 22 .等差数列an中，已知a3=10, a8= 20,则公差d = -6.3 .已知等差数列an中,a2+a3+ao+ an = 36,求 a5+a8.解a2+ a3+ ao+ an= (a2+ an)+ (a3

14、+ ao)=(a5 + a8) + (a5 + a8) = 2(a5+ a8) = 36,二 a5+a8= 18.4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为 18,平方和为116, 求这三个数.解 设这三个数为a-d, a, a+d,由已知得a d +a+ a+ d =18a-d 2+a2+ a+d 2=116由得a=6,代入得d=受.该数列是递增数列，d>0,即d = 2.这三个数依次为4,6,8.课堂小结：1 .判断一个数列an是否是等差数列，关键是看 an+1 an是否是一个与n无关 的常数.2 .三个数成等差数列可设为：a-d, a, a+d或a, a+d, a+2d;

15、四个数成等 差数列可设为：a 3d, ad, a+d, a+3d或 a, a+d, a + 2d, a+ 3d.3 .在等差数列an中，首项ai与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的 问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关ai、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.反馈巩固学习单11 .在等差数歹！J an中，右 a2 + a4 + a6+ a8+aio=80,贝U a7一a8的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10答案 C解析 由 a2 + a4+a6 + a8 + a1o=5as = 80,11,c a6 16, a7 2a8 2(2a7

16、 a8)2(a6 + a8 a8) 2a6 8.2.已知数歹！J an为等差数歹!J且a1+a7+a13=4%则tan（a2+a12）的值为（A. .3D. -V33C. 一 23答案 D解析由等差数列的性质得a1 + a7 + a13=3a7=4Tt,.z ,、,，、. 8lS. tan(a2+ a12)= tan(2a7)= tan&3= tan；L- 3.33.已知等差数列an的公差为d(dw0)且a3+ae+aio+ ai3=32,若am = 8, 则m为()A. 12B. 8C. 6D . 4答案 B解析 由等差数列性质 a3 + a6+aio+ai3=(a3+ai3)+(a

17、6+aio)=2a8+2a8= 4a8 =32,；a8=8,又 dm= 8.4.如果等差数列an中，a3+a4+a5=i2,那么ai + a2+a7等于()A. 14B. 21C. 28D. 35答案 C解析 : a3+ a4+a5=3a4= 12, a4 4. ai + a2+ a3 + + a7 (ai + a7) + (a2+ a6) + (a3+ a5) + a4 7a4= 28.5.设公差为一2的等差数列an,如果ai+a4+a7+a97= 50,那么a3 + a6+a9+a99 等于()A. 182B. -78C. 148D. -82答案 D解析 a3+a6+ a9 + - + a

18、99=(ai + 2d) + (a4 + 2d) + (a7 + 2d) +- + (a97+ 2d)= (ai + a4+ + a97) + 2d>33= 50 +2X( 2) >33= 82.6.若数列an为等差数列，ap=q, aq=p（p旬,则ap+q为（）B. 0p+qD. 2A. p+qC. (p+q)答案 B解析p-q p-qT, ap+q= ap+qd=q+q><(1) = 0.7.若an是等差数列，ai5=8, a60=20,则 a75 =1答案 244斛析皿=行,. a75= a60+ 15d = 20 + 4= 24.8 .已知an为等差数列，ai

19、 + a3+a5= 105, a2+a4 + a6= 99,则 a20=答案1解析ai+ a3+a5= 105,3a3= 105, a3=35.:a2+ a4+ a6= 3a4= 99. a4= 33, d= a4 a3= - 2. a20=a4+ 16d=33+16X 2)= 1.一，1 9 .已知th等差数列，且 a4=6, a6 = 4,则a10=.an，'12答案?5，一111 111斛析短a4=46= 2d，即4万11- 1 1512所以藐=£+4d=4+6=不，所以a10= I.110 .已知万程(x22x+m)(x22x+n) = 0的四个根组成一个首项为4的等

20、差 数列，则|m n| =.1答案2解析 由题意设这4个根为5 7+d, +2d, 1 + 3d.4 444则4+4+ 3d =2,. d = 2, .这4个根依次为1 4, 4，7；n=4g=；73，你争我辩，争辩课堂精彩你说我论，论说数学真谛11洛阳市东方高中高二数学必修五学习单3 5 15157m= 4%=而或n=而，m=k1 . |m n|=2.11 .等差数列an的公差dwq试比较a4a9与a6a7的大小.解设 an= a1 + (n1)d,则 a4a9 a6a7= (a1 + 3d)(a1 + 8d) (a1 + 5d)(a1 + 6d)=(a2+ 11a1d + 24d2) (a2+ 11a1d+ 30d2)=6d2<0,所以 a4a9<a6a7.12 .已知等差数列an中，aI+a4 + a7=15,