全国各地高考文科数学试题分类汇编立体几何专题含答案详解

1、2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何一、选择填空题12014·福建卷3 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D1 【答案】A22014·浙江卷3 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()图1­1A72 cm3 B90 cm3 C108 cm3 D138 cm3 【答案】B32014·四川卷4 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1­1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)()A3 B2 C. D1【答案】D42014

2、·辽宁卷4 已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【答案】B52014·陕西卷5将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D 【答案】C62014·浙江卷6 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则m D若mn，n，则m【答案】C72014·全国卷4 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B.C.D. 【答案】B8

3、2014·新课标全国卷6 如图1­1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图1­1A. B.C. D. 【答案】C92014·湖北卷10 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取

4、为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.B.C.D.【答案】B102014·新课标全国卷7 正三棱柱ABC ­ A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A ­ B1DC1的体积为()A3 B.C1 D.【答案】C112014·安徽卷8 一个多面体的三视图如图1­2所示，则该多面体的体积是()图1­2A.B. C6 D7【答案】A132014·辽宁卷7 某几何体三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为()图1­2A8B8C8D82【答案】C142014

5、3;重庆卷7 某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的体积为()图1­2A12 B18 C24 D30【答案】C162014·湖南卷8 一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图1­2A1 B2 C3 D4 【答案】B172014·全国卷10 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D. 【答案】A192014·江苏卷8 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积

6、相等，且，则的值是_【答案】222014·天津卷10 一个几何体的三视图如图1­2所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3. 【答案】202014·北京卷11 某三棱锥的三视图如图1­3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_【答案】2图1­3212014·山东卷13 一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_【答案】12三、解答题1 2014·安徽卷19 如图1­5所示，四棱锥P ­ ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，

7、AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.图1­5(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积解： (1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，所

8、以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K是OB的中点再由POGK得GKPO，所以G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3，故四边形GEFH的面积S·GK×318.22014·重庆卷20 如图1­4所示四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥P­ABMO的体积图1­4解：(1)证明：如

9、图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，则AOOB.因为BAD，所以OBAB·sinOAB2sin1.又因为BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OB·BM·cosOBM122×1××cos，所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.(2)由(1)可得，OAAB·cosOAB2×cos.设POa，由PO底面ABCD，知POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.又POM也是直角三角

10、形，故PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2AB2BM22AB·BM·cosABM222×2××cos.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，解得a或a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMB·AO·OB·BM·OM××1××.所以四棱锥P­ABMO的体积V四棱锥P­ABMO·S四边形ABMO·PO××.32014·陕西卷17 四面体

11、ABCD及其三视图如图1­4所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.图1­4(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形解：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V××2×2×1.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH 平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC，ADBC，EFFG，

12、四边形EFGH是矩形42014·湖南卷18 如图1­3所示，已知二面角­MN­的大小为60°，菱形ABCD在面内，A，B两点在棱MN上，BAD60°，E是AB的中点，DO面，垂足为O.图1­3(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值解：(1)证明：如图，因为DO，AB，所以DOAB.连接BD，由题设知，ABD 是正三角形，又E是AB的中点，所以DEAB.而DODED，故AB平面ODE.(2)因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角由(1)知，AB平面

13、ODE，所以ABOE.又DEAB，于是DEO是二面角­MN­的平面角，从而DEO60°.不妨设AB2，则AD2，易知DE.在RtDOE中，DODE·sin 60°.连接AO，在RtAOD中，cosADO.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.52014·北京卷17 如图1­5，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点图1­5(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥E­ABC的体积解

14、：(1)证明：在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FGAC，且FGAC，EC1A1C1.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥E ­ ABC的体积VSABC·AA1&

15、#215;××1×2.72014·江苏卷16 如图1­4所示，在三棱锥P ­ ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.解：（1）为中点 DEPA平面DEF，DE平面DEFPA平面DEF（2）为中点 为中点 ，DEEF，DE平面ABCDE平面BDE， 平面BDE平面ABC92014·新课标全国卷18 如图1­3，四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：P

16、B平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥P ­ ABD的体积V，求A到平面PBC的距离解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB，EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)V××PA×AB×ADAB，由V，可得AB.作AHPB交PB于点H，由题设知BC平面PAB，所以BCAH，因为PBBCB，所以AH平面PBC，又AH，所以点A到平面PBC的距离为.102014·广东卷18 如图1­2所示，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，A

17、B1，BCPC2，作如图1­3折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥M ­ CDE的体积图1­2图1­3112014·山东卷18 如图1­4所示，四棱锥P­ABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点图1­4(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，

18、AEABBC，所以O为AC的中点又在PAC中，F为PC的中点，所以APOF，又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知，EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.122014·江西卷19 如图1­1所示，三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若AB2，AC，BC，问AA1为何值时，三棱柱ABC ­ A1B1C1体

19、积最大，并求此最大值解：(1)证明：由AA1BC知BB1BC.又BB1A1B，故BB1平面BCA1，所以BB1A1C.又BB1CC1，所以A1CCC1.(2)方法一：设AA1x.在RtA1BB1中，A1B.同理，A1C.在A1BC中，cosBA1C，sinBA1C，所以SA1BCA1B·A1C·sinBA1C.从而三棱柱ABC ­ A1B1C1的体积VS直·lSA1BC·AA1.因为x，所以当x，即AA1时，体积V取到最大值.(2)方法二：过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由AA1BC，A1DBC，得BC平面AA1D，故BCAD.又BAC

20、90°，所以SABCAD·BCAB·AC，得AD.设AA1x.在RtAA1D中，A1D，SA1BCA1D·BC.从而三棱柱ABC ­ A1B1C1的体积VS直·lSA1BC·AA1.因为x，所以当x，即AA1时，体积V取到最大值.132014·辽宁卷19 如图1­4所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥D ­BCG的体积附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为

21、高解：(1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD，同理BGAD.又BGCGG，所以AD平面BGC.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOCB，交CB延长线于点O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOAB·sin 60°，所以V三棱锥D ­BCGV三棱锥G ­BCD·SDBC·h×·BD·BC·sin 120°·.142014·全

22、国新课标卷19 如图1­4，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160°，BC1，求三棱柱ABC ­ A1B1C1的高解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，由于BC1AOO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，且AOODO，故BC平面AOD，所以

23、OHBC.又OHAD，且ADBCD，所以OH平面ABC.因为CBB160°，所以CBB1为等边三角形，又BC1，可得OD.因为ACAB1，所以OAB1C.由OH·ADOD·OA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC ­ A1B1C1的高为.172014·浙江卷20 如图1­5，在四棱锥A­BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90°，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：AC平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值解：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC，由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE.(2)在直角梯形BCDE中，由BDBC，DC2，得BDBC.又平面ABC平面BCDE，所以BD平面ABC.作EFBD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF平面ABC.所以EAF是直线AE与平面ABC所成的角在RtBEF中，由EB1，EBF，得