选修2-2第一章测试

1、(时间： 120 分钟，总分值： 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在 每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 )1.设函数y = f(x)在(a, b)上可导，那么f(x)在(a , b)上为增函 数是f '(x)>0的()A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 y = f(x)在(a , b)上 f'(x)>0 ? y = f(x)在(a, b)上是增 函 数，反之，y = f (x)在(a, b)上是增函数 ？ f '(x)?0/f ( x)>

2、0.答案 A2 .假设曲线y = f ( x)在点(X。, f ( X。)处的切线方程是 2x + y 1 = 0,那么()A. f '( xo)>OB . f '(xo)<0C . f'(xo)= 0D . f '( xo)不存在解析曲线y = f(x)在点(xo, f(xo)处的切线的斜率为f'(xo)= 2<o.答案 B15oB45°3曲线 y=3x32 在点(1， 3) 处切线的倾斜角为 ( )oA3o°ooC135°D15o°解析 y = x , k = tan a= y | x= 1

3、= ( 1) = 1,答案 B4 .曲线f(x) = x3 + x 2的一条切线平行于直线y = 4x 1,那么切点Po的坐标为()A. (0 , - 1)或(1,0)B . (1,0)或(1， 4)C . ( 1 , 4)或(0 , 2) D . (1,0)或(2,8)解析 设 P0(X0, y°)，贝0 f'(x0)= 3x20 + 1 = 4 ,2二 X0 = 1，二 X0 = 1，或 X0=1. P0的坐标为(1,0)或(一1 , 4). 答案B5.以下函数中，在(0 ,+ )上为增函数的是()23A. y = sin xB . y = x xC. y = xeXD

4、. y = x + ln(1 + x)解析对于 C,有 y ' =( xeX)' = ex+ xeX= ex( x + 1)>0.答6 .f(x)为偶函数,6f ( x)d x = 8,那么0f (X)dx等于6案C ()A. 0D . 166f(x)dx6,0)与(0,6)关于原点对称,C. 8f (x)dx = f(x)dx + 6解析 f(x)为偶函数，且(-=2 6f(x)dx = 2 X 8 = 16.0答案D7.函数f ( x)在其定义域内可导，y = f ( x)的图像如右图所 示，那么导函数y = f'(x)的图像为()解析由y = f(x)的图像

5、知，有两个极值点，y f (X)的 图 那么像与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D.答案D那么8.函数 f (x) = x3 3X1 2 9x, x ( f(x) 2,2),A .极大值 5，极小值为 27B .极大值5，极小值为11C .极大值5，无极小值D .极小值27，无极大值解析(X)=3x2 6x 93(X +1 )(x -3).当x<1时，f,(x) >0，当1<x<3 时,f'(x) <0.x1是f(x)的极大值点.且极大值为f ( 1) = 5，在(2,2)内无极小值.答案C9 .函数y = 2x3 + x2的单调递增区间是()1A.(

6、-m，3)U (0，+*)1B.(6,+*)1D .(-6)解析fy=6x2+2x = 2x (3x+ 1)，1令y'>0，得 x<3，或 x>0.1C (一*,3 )和(0 ,+*)函数y = 2x3 + x2的单调增区间为1(°°, 3)和(0 ,+* )答案C10 .由抛物线y = x2 - x，直线x = 1及x轴围成的图形 的面积为()B11 0x 212S2解析2(x2 如下图,11 311 2-x) d x =(3x 2X ) 2阴影局部的面积为S1 =1(x2 x)dx故所求的面积为S1 S2 = 1.答案 B11 .函数 f (

7、x)3 2=axbx2cx在苑=的处有极值，贝gacA一3C. 1D.3解析 f '(X)= 3ax2 2bx c,1 21依题意知，3a X() 2 2b X c = 0 ,aa即 3a + 2ab + C = 0 ,2b ac 3.112xy=e12.曲线在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成二的面积为(2e角形B.24eC.2eD.e21212x解析f (x)=2 ，曲线在点(4 ，e2) 处的切线的斜率答案 A 为11=f' (4) =2e2,切线方程为y e2=2e2(x 4).切线与x轴和y轴 的交点坐标分别为A(2,0) , B(0 , e2)，那么切线与坐标轴所

8、围成的三角1形OAB的面积为S = 2 X 2 >e2 = e2.答案 D二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.把 答案填在题中的横线上 )13 .函数f(x)在 R上可导，且 f ' (0) = 2. ? x , y R，假设函 数 f(x + y) = f(x)f(y)成立，那么 f(0) =.f(0) = 1.解析令 y = o，那么有 f (x)= f (x)f(o) f f (0) = 2 , f (x)不恒为 0 , 答案 114 积分 53x2dx = .解析3 4 5 6 7 3x8dx = = 53 23 =X3117.22答案1171

9、3 215 .假设函数 f ( x) = 3X3 f ' (1) x9 + 2x + 5，那么求实数m的值；求函数f(x)在区间( 一 <>,+oo )的极小值.解(x) = x2 4 = (x + 2)(x 2).令 f ' (x) = 0，得 x = 2,或 x = 2.故f(x)的增区间(一, 2)和(2 ,+兀)减区间为(一2,2).(1)当x = 2, f(x)取得极大值，8 28故 f( 一2) 一 3+ 8+ m3，m = 4.(2)由(1)得 f(x) = 13x3 4x + 4 , 解析 f '(X)= x2 2f ' (1) x

10、+ 2 , f' (1) = 1 2f' (1) + 2. f' (1) = 1.4. f'(x) = x2 2x + 2.2 f' (2) = 22 2 X 2 + 2 = 2.答案216 .一物体以初速度v =+ 6.5米/秒的速度自由落下,下落后第二个4s内经过的路程是.又当x = 2时，f(x)有极小值f(2)3.18(12 分) 用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的 框架，如果所制的容器的底面的长比宽多 0.5 米，那么高为多 少时容器的容 器最大？并求出它的最大容积解设容器底面宽为xm，那么长为(x + m,高为一 2x) m.由

11、错误 !解得 0<x<，设容器的容积为ym3，那么有3y = xx 2x =一 2x3+ + ,y =一 6x2 + + ,令 y '= 0，即6x2 + + =0 ,4解得x = 1，或x = 15舍去.在定义域0,内只有一个点x = 1使y '= 0，且x = 1是极大值 点，当x = 1时，y取得最大值为.此时容器的高为一 2= 1.2m. 因此，容器高为 1.2m 时容器 的容积最大，最大容积为 1.8m3. 19.(12 分)设函数 f(x) =2x3 3(a + 1)x 2 + 6ax(a R).(1) 当a = 1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数

12、；(2) 当 x1,3 时，假设 f( x) 的最小值为 4，求实数 a 的值解(1)证明：当 a = 1 时，f (x) = 2x3 6x2 + 6x，贝0 f z(x) 6x2 212x + 6 = 6( x 1) 2 > 0， f (x)为R上的单调增函数.(2)f'(x) = 6x2 6( a + 1) x + 6a=6( x 1)( x a) 当aW1寸，f ( x)在区间1,3上是单调增函数，此时在1,3 上的最小值为f(1) = 3a 1 ,5二 3a 1 = 4，二 a = 3>1(舍去); 当1<a<3时，f ( x)在(1 , a)上是减函数

13、，在区间(a, 3)上 是增函数，故在 1,3 上的最小值为 f(a)=2a33(a1)a26a2 =4.化简得(a + 1)( a 2) = 0，二 a = 1<1(舍去)，或 a =2； 当aA33寸，f ( x)在区间(1 , a)上是减函数，故f为最小值， 54 27( a + 1) + 18a = 4,22解得a = 292<3(舍去).综上可知， a=2.a20 . (2021 北京)(12 分)设函数 f ( x) = 3X3 + bx2 + cx +d( a>0)，且方程f'(x) 9x = 0的两根分别为1,4.当a = 3，且曲线y = f ( x

14、)过原点时，求f ( x)的解析式；(2)假设f (x)在(一3,+ )内无极值点，求a的取值范围. 解由 f ( x) = 3ax3 + bx2 + cx + d，得f '(x) = ax2 + 2bx + c ,. f '( x) 9x = ax2 + 2bx + c 9x = 0 的两根分别为 1,4 ，a + 2b + c 9 0,16a + 8b + c 36 0 ,2b+c60，(1) 当 a3 时,由 (*) 得8b+c+120,解得b =一 3, c 12.又曲线y = f ( x)过原点，二d 0.故 f( x)x33x2+12x.(2)由于 a>0，所

15、以“ f(x) 3ax3 + bx2 + cx + d 在( 8,+ ) 内 无极值点， 等价于“ f '(X) ax2 + 2bx + c>0在( 8, +8 ) 内恒成立.由 (*) 式得 2b=95a,c=4a.2又 (2b)2 4ac 9(a 1)( a 9),a>0,得 a 1,9 , 9 a 一 1 a - 9 < 0,即 a 的取值范围是 1,9 .21 . (12分)函数f ( x) ax3 + bx2的图像经过点 M(1,4), 曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+ 9y= 0 垂直.(1) 求实数 a,b 的值；(2) 假设函数f(x)在区间m

16、, m + 1上单调递增，求 m的取值 范围.解 Tf ( x) = ax3 + bx2的图像经过点 M(1,4),二 a + b = 4.又 f z(x) = 3ax2 + 2bx，贝01f z (1) = 3a + 2b，由条件 f '(一9) =- 1 ,得3a + 2b = 9由、解得 a = 1 , b = 3.3 2 2(2) f(x) = x3 + 3x2, f'(x) = 3x2 + 6x ,令 f z(x) = 3x2 + 6x>0，得 x> 0，或 x< 2 ,假设函数f ( x)在区间m ,m + 1 上单调递增，那么m, m + 1 ?

17、( °°, 2 U 0 ,+* ),二 m > 0，或 m + 1 W 2，即 m > 0，或 m < 3, 二 m 的取值范围是(一8, 3 U 0 ,+ ).22 . (2021 全国 I )(12 分)函数 f(x) = ( x + 1)ln x x + 1.(1) 假设xf '(x)W x2 + ax + 1，求a的取值范围；(2) 证明：(x 1) f (x) > 0.x+ 11解(1) f '(x)= x + ln x 1 = In x + x, xxxf '(x) = xln x + 1 , 题设 xf'(x)<x2 + ax + 1 等价于 Inx x< a.1令 g( x) = In x x，贝u g '(x) = x 1.x当 0<x<1 时，g'(x)>0 ;当x时，g(x) < 0 , x = 1是g(x)的最大值点，g( x) < g(1)综上，a的取值范围是1 ,)由知，g( x) < g=1,即 g( x) + 1 W 0，即 In x x + 1 W 0,当 0<x<1 时，f ( x) = ( x + 1)ln x x + 1=xln x