中学几何教材结构特征浅析

1、中学几何教材结构特征浅析 榆林师专学报综合版 一九九一年第一期 一的一些问题, .门. 中学几何教材结构特征浅析宋文檀, 作为一名中学几何教师构特征试作如下浅析, 如能把握现行中学几何教材结构特征。 , 对于处理好几何教学中 提高中学几何教学质量无疑有着积极的指导作用 本文就现行中学几何教材结 愿与同行探讨 一等方法编写而成的了公理化的思想, 、 中学几何教材与希尔伯特公理体系, 现行中学几何教材是以传统中学几何教材为基础 采取 “ 增加”。 、 “。 精减 ” 、 “ 渗透 ” 它属于试验几何与推理几何相结合的欧氏演绎体系同时也保留了欧几里德几何原本的基本特点。, 这个体系基本采用 但作为教

2、材的中学几何 与作为科学的欧氏几何在结构上究竟还有很大差别 正是由于希尔伯特公理体系的建立才使, 得欧几里德几何学理论有了严谨的公理体系部欧氏儿何, 而且利用希尔伯特公理体系可以规律地推出全必需首先了解希尔泊特公理体系。 因此 , 要研究中学几何教材的结构特征: 现 将希尔伯特公理体系列表简介如下 基本元素(点基本概念 、 直线 、 平面) 结合关系基本关系顺序关系 点在平面上 点在直线上一点介于两点之间 希尔伯特公理体系 一 合同关系两角合同 两线段合同 1 . ,结合公理(I一 工兀 讼 理2 顺序公理( 五l , 一 召45 . 合同公理(连续公理(平行公理( : 一 l 。 丁 , V

3、一I . Y), 希尔伯特公理体系使欧氏几何成为严谨的公理体系求单, 它不汉满意公理体系的三个基本要“ 即相容性 、 独立牲和完备性, , 而且在欧氏几何的全部公理系统中,其概念和陈述最为简“ 。 在希尔伯特公理体系中即就是”。 争论的基本对象是点在直线上”、 点”合同 、 直线”、 、 “ 平面 ” 以及它们之间”、 的一些基本关系 “ “ 点在平面上、 ” “、 一点在另两点之问 “ 线 段合同 , 、 “ 角合同 这些关系用结合 、 顺序 连续 平行五组公理制约着 。 一和一 二(一)公理特征 、 中学几何教材的结构特征。 现行中学几何教材有公理和概念两方面的特征 现行中学几何教 材的公

4、理体系是一个扩大了的公理体系不满意独立性和完备性1. , 它仅满意公理系统的相容性 , 。 中学几何教材公理过剩使其公理体系不独立在现行中学平面几何和立体几何教材中共有十五个公理(其中部分公理在中学教材里称, 。 为基本性质)两点的线中于已知直线, , 但有十个公理在希尔伯特公理体系中可经规律证明而推出。 。 如 “ 在全部连结 , 线段最短。 , 可由合同公理、 l 推得;“ ;“ “ 经过一点有一条而且只有一条直线垂直, ” 可由顺序公理。 合同公理推得;。 直线外一点与直线上各点连结的全部线段则两直线平行由此可见,、 中“ 垂线段最短 ” 可由顺序公理推出n; 同位角相等, ” “ 边角

5、边” 、 角边角”公理都可由合同公理。 一皿推得 等等, 。 中学几何教材中有为数不, 少的公理是可以证明但又未加证明当作公理使用的 也就是将一些较难证的定理作为公理, 扩大了公理体系 这样处理教材的目的主要是考虑到学生的接受能力, 在教学中既降低了而且也不影响学生的 学生学习的难度2. 同时又无损于他们对有关命题真实性的确信程度。 后继学习和推理能力的培育 所以教材这样处理是比较合适的, 。 中学几何教材公理不足, 使其公理体系不完备, 。 希尔伯特公理体系是一个完备的公理体系 这是我们熟知的1, 。 现行中学几何教材中公理互;、 体系虽扩大了但还没有提及希尔伯特公理体系中的顺序公理 一。

6、连续公理砰 , 在有些。 命题的证明中采用了直观承认的手法例1(初中几何教材第一册P定理: , 公理不完备这原来是欧几里德几何原本的缺点 现就教材中对定理或有关命题的证明借助直观之处举例说明如下. 112 例3), 在一个三角形中 , 假如两边不等 那么它们所对的角也不等 , 大边所对的角也较 大 。 中学几何教材中的证法是设ABc中AB>AC, : , 在较大的边AB上截取, , A AD , 使AD丫AD二 = AC , 连结CD (如右图所示) AC(辅助线的作法)二 . 乙人DC 乙ACD(等腰三角形的性质)、 乙ACB.,:. >乙ACD(角大小的定义) 乙ACB>

7、乙ADC(等量代换) 仔 、 乙ADC., >乙B(三角形的外角大于任一不相邻的内 角). 乙ACB>艺B(不等式的性质)、 这里作辅助线时在较大的边AB上截取AD 使AD:、 二 AC , D点的存在性用不等量公五: 理仅能给出直观解释结cD后, , 严格的证明要用到结合公理I, 工 3、: 和顺序公理 一 l, 。 至于连 只有证明线段CD在乙ACB 的内部时才能得出乙人CB>乙ACD 但课本对 一盯一 此采用了纯属默认的手法事实上线段CD在乙ACB的内部的证明也要用到顺序公理。 , n (巴士公理) , 但课本中又没有提出顺序公理。 。 例2(初中几何教材第一册P作已知

8、线段AB的垂直平分线中学几何课本中的作法是_. 125 基本作图那) : _ , . 、 . . 甲_ (l)、了 _ 。 分别以点一。刀. A和B”一一。 ,_。一二,1一。二一一,二为圆心弧交于C和D大于冬AB的长为半径作两弧相一一”一一一一一2”一一一、 , 。 . 、 r_ 、 ,I , , 。- - - 一 一 一 . - - - (2) 作直线CD 直线CD就是线段AB的垂直平分线一圆若通过另一圆内部一点和外部一点, 。 上述作法完全凭借直观断定交点C和D的存在性点存在性的证明面外任取一点, 。 实际上就是默认了命题。 “ 在一平面上, 则两圆必恰有两交点, ” 的真实性。 。 而

9、此命题中交 应以中学几何教材中没有提及的连续公理为前提 除以上所述外, 在中学 几何教材中采用直观承认的几何事实还有很多线段的中点了。 如在某直线或平面上任取一点, 在直线或平 这些点的存在性都应以中学几何教材中未提出的部分结合公理为很据;还有 、 角平分线的存在性与唯一性的证明都要用连续公理万, 在这里就不一一列举, 由以上分析可以看出中有些公理不独立, 现行中学几何教材把欧氏几何卜的定理列为公理, 一 因而公理体系。 而顺序公理连续公理和部分结合公理又未提出 使得公理体系不完备。 这种选出的公理既过剩又不足是现行中学几何教材体系的规律结构特征之一(二)概念特征 现行中学几何教材中的概念和其

10、它数学理论中 的概念一样都不是弧立的方法组成了一个完整的概念体系(不定义概念又称基本概念1. , 而是运用规律 。 中学几何教材中的概念包括定义概念和不定义概念两种。 、 原始概念或原名)。 定义概念 数学概念的产生与发展的途径是多方面的社会实践中, 但定义概念多数产生于人们的实践活动, , 在概, 人们通过对客观事物的感觉, 、 知觉后形成表象。, 再经过比较 、 分析, 、 抽象 、 括等一系列思维活动三条: 抽象出一类事物所具有而其它类事物所不具有的属性 即本质属性 从而形成了反映事物本氏属性的各种各样的概念1. 例如 中学几何教材中梯形的本质属性有。 四边形: , 2 . 一组对边平行

11、 , 3 . 另一组对边不平行在梯形的定义中将这三条本这里需要指出的是, 质属性概括为 有一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫梯形。 定是 义概念必需借助不定义概念和已定义概念来定义 它在中学几何教材概念中占了大多数 , 人们比较熟识的2. 不定义概念。 不定义概念是用以解释其它几何概念的基本概念 现行中学几何教材中 , 为便于学生理。 解几何概念把点看作是黑板面、 , 在不定义的概念中有一部分概念给出了直观性的描述(但不是定义)“ 例如“ , 线与线相交”所得 , 线和面分别用一根拉紧的线一张纸的折痕”和, “ 桌面 、 安静的水面”给以直观形象描述 等等 。 当然 , 这些直观描述也是在

12、人们对一些(下转第74页) 一哪一 月口d. 凡 图三 参周炳现等、,阅,粗”润,州., 考.”钾, 文198。)翻.;, 献 激光原理, 国防工业出版社(峭.姆,. ”. . . .,.”翎,.,翎”佣, . . 翎.阅. 昭”裸”招”姆, 甲渺端“衬 各 。 . “ 。 。 . 、 和 二“ 一 (上接第68页) 带有共性概念的长期观看后而得出的定义概念严格定义时非常繁复度、, 。 在中学几何教材中还有另一部分不定义概念。 , 这些下、 但学生借助图形或生活经验来理解却比较简单、 例如, 长不 重合 、 旋转 、 直线的同侧或异侧、 角的内部或外部,。 、 直线在平面内等 。 我们知道。 在希, 尔伯特公理体系中把点 线 、 面作为不定义概念 其它概念都有其严格定义, 由此可见 定义概念增多是中学几何教材体系的又一结构特征少中学几何教学内容、 以上笔者从两个方面分析了