32同角三角函数的基本关系及诱导公式

1、第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系: :平方关系平方关系:_.:_.商数关系商数关系:_.:_.sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1sintancos=(2)(2)三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式: :组数组数一一二二三三四四五五六六角角2k+2k+( (kZkZ) )+-正弦正弦sinsin_ _余弦余弦coscos_正切正切tantan_ _22-sin-sin-sin-sinsinsincoscoscoscos-cos-coscoscos

2、-cos-cossinsin-sin-sintantan-tan-tan-tan-tan2.2.必备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记(1)sin(1)sin2 2=1-cos=1-cos2 2,cos,cos2 2=_.=_.1-sin1-sin2 2(2)(2)特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值角角0 0 3030 4545 6060 9090 120120 150150 180180角角的的弧度数弧度数0 0sinsin_1 1_0 0coscos_0 0_-1-1643223560 012223232121 132221212320 03333333.3.必用技法核心总结看一看

3、必用技法核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :统一法统一法, ,整体代换法整体代换法. .(2)(2)数学思想数学思想: :转化与化归的思想转化与化归的思想. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :三角函数诱导公式的记忆口诀三角函数诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变奇变偶不变, ,符号看象符号看象限限”. .【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)120(1)120角的正弦值是角的正弦值是 ，余弦值是，余弦值是 ( )( )(2)(2)同角三角函数关系式中的角同角三角函数关系式中的角是任意角是任意角.( ).( )(3)(3)六组诱导公式中的角六组

4、诱导公式中的角可以是任意角可以是任意角.( ).( )(4)(4)诱导公式的口诀诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”中的中的“符号符号”与与的大小无关的大小无关.( ).( )123.2【解析】【解析】(1)(1)错误错误.sin 120.sin 120=sin(180=sin(180-60-60)=sin 60)=sin 60= =cos 120cos 120=cos(180=cos(180-60-60)=-cos 60)=-cos 60= =(2)(2)错误错误. .在在tan = tan = 中中 +k +k，kZ.kZ.(3)(3)错误错误. .对于正、余弦的

5、诱导公式角对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角，而对于正切的可以为任意角，而对于正切的诱导公式诱导公式 kk，kZ.kZ.(4)(4)正确正确. .诱导公式的诱导公式的“符号看象限符号看象限”中的符号是把任意角中的符号是把任意角都看成锐都看成锐角时原函数值的符号，因而与角时原函数值的符号，因而与的大小无关的大小无关. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)3,21.2sin cos 222.2.教材改编教材改编 链接教材链接教材 练一练练一练(1)(1)(必修必修4P21T54P21T5改编改编) )已知已知f(x)=f(x)= 则则f(- )f(- )的值

6、为的值为( )( )A.0 B.1 C.-5 D.-9A.0 B.1 C.-5 D.-9【解析】【解析】选选C.f(- )=sin 0+2sin(- )-4cos(- )+3cos(-)=C.f(- )=sin 0+2sin(- )-4cos(- )+3cos(-)=0+20+2(-1)-4(-1)-40+30+3(-1)=-5.(-1)=-5.sin(x)2sin(x)4cos 2x4433cos(x),44422(2)(2)(必修必修4P22T34P22T3改编改编) )已知已知tan =-2,tan =-2,则则 =_.=_.【解析】【解析】原式原式= =答案答案: :-2-2223si

7、n cos sincos23tan 62.tan14 1 3.3.真题小试真题小试 感悟考题感悟考题 试一试试一试(1)(2015(1)(2015泰安模拟泰安模拟)sin 600)sin 600的值为的值为( )( )【解析】【解析】选选B.sin 600B.sin 600=sin(360=sin(360+240+240)=sin 240)=sin 240=sin(180=sin(180+ +6060)=-sin 60)=-sin 60= =1313A.B.C.D.22223.2(2)(2015(2)(2015梅州模拟梅州模拟) )已知已知为锐角，且为锐角，且tan(-)+3=0,tan(-)

8、+3=0,则则sin sin 的的值是值是( )( )【解析】【解析】选选B.B.方法一：由方法一：由tan(-)+3=0tan(-)+3=0得得tan =3tan =3，即，即sin =3cos ,sin =3cos ,所以所以sinsin2 2=9(1-sin=9(1-sin2 2),10sin),10sin2 2=9,sin=9,sin2 2=又因为又因为为锐角，所以为锐角，所以sin =sin =1333A.B.10C.7D.531075sin 3,cos 9.10310.10方法二：因为方法二：因为为锐角，且为锐角，且tan(-)+3=0,tan(-)+3=0,所以所以-tan +3

9、=0-tan +3=0即即tan =3.tan =3.在如图直角三角形中，令在如图直角三角形中，令A=A=，BC=3BC=3则则AC=1AC=1，故，故所以所以22AB3110.33sin 10.1010 考点考点1 1 诱导公式的应用诱导公式的应用【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015兰州模拟兰州模拟) )计算：计算：2sin( )+cos 12+2sin( )+cos 12+tan =_.tan =_.(2)(2)已知已知cos( -)= cos( -)= ，则，则sin(- )=_.sin(- )=_.(3)(2015(3)(2015淮南模拟淮南模拟) )已知已知f(x)=

10、f(x)=则则f( )=_.f( )=_.31674623233sin(2x) cos(x)2,11cos(3x) sin(x)2214【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用诱导公式化大角为小角，再求值利用诱导公式化大角为小角，再求值. .(2)(2)注意角注意角 -与与- - 的关系，用诱导公式转化求值的关系，用诱导公式转化求值. .(3)(3)利用诱导公式先化简，再求值利用诱导公式先化简，再求值. .623【规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式= =答案：答案：1 152sin( 6)cos 0tan(2)64 52sin1tan2sin()1 12sin1.6466 (2)(2)

11、因为因为所以所以答案：答案：2()()632 ，2sin()sin()326 2sin()cos().2663 23(3)(3)因为因为f(x)=f(x)=所以所以答案：答案：-1-1sin( x) sin xcos(x) sin6(x)22222sin xsin xtan x.cos xcos x sin(x)2 222121f()tan ()tan ( 5)444 22tan ()tan1.44 【互动探究】【互动探究】在本例题在本例题(2)(2)的条件下，求的条件下，求 的值的值. .【解析】【解析】5cos() sin()635cos() sin()6324cos() sin()cos

12、 ().62669 【规律方法】【规律方法】1.1.诱导公式的两个应用诱导公式的两个应用(1)(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. .(2)(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了. .2.2.含含22整数倍的诱导公式的应用整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有由终边相同的角的关系可知，在计算含有22的整数倍的三角函数式的整数倍的三角函数式中可直接将中可直接将22的整数倍去掉后再进行运算，如的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5-)= cos(5-)= cos(-)=-cos .cos(-)=

13、-cos .【变式训练】【变式训练】(2015(2015济宁模拟济宁模拟) )计算：计算：【解析】【解析】原式原式答案：答案：-1-12912sin()costan 4652215cos()sin _.3229122215sin()costan 4cos sin 6532 51243sin(4)costan 4cos(6)sin(6)653251243sincostan 0cos sin 65323sin() 0cos()sin 63211sincos 111.6322 【加固训练】【加固训练】1.(20151.(2015南昌模拟南昌模拟) )已知已知sin(x+ )= sin(x+ )= ，

14、则，则cos(x+ )cos(x+ )的值为的值为( )( )【解析】【解析】选选B.B.因为因为所以所以12137121122A.B.C.2D.233331sin(x)123，71cos(x)cos(x)sin(x).12212123 2.2.已知已知A= (kZ)A= (kZ)，则，则A A的值构成的集合是的值构成的集合是( )( )A.1A.1，-1,2-1,2，-2 B.-1,1-2 B.-1,1C.2C.2，-2 D.1-2 D.1，-1,0,2-1,0,2，-2-2【解析】【解析】选选C. C. 当当k k为偶数时，为偶数时，A=A=k k为奇数时，为奇数时，sin(k)cos(k

15、)sin cos sin cos 2sin cos ；sin cos A2.sin cos 3.(20143.(2014扬州模拟扬州模拟) )已知点已知点(tan ,sin(- )(tan ,sin(- )是角是角终边上一点，终边上一点，则则cos( +)=_.cos( +)=_.【解析】【解析】将将(tan ,sin(- )(tan ,sin(- )化简得：化简得：(1(1，- )- )，在第四象限，在第四象限，所以所以sin =sin =则则答案：答案：546525461222152,511()2 55cos()cos(2)sin .225 55考点考点2 2 同角三角函数关系式的应用同角

16、三角函数关系式的应用【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015青岛模拟青岛模拟) )已知已知是第四象限角，是第四象限角，sin =sin =则则tan =( )tan =( )(2)(2)化简：化简：(1+tan(1+tan2 2 )(1-sin )(1-sin2 2 )=_. )=_.(3)(2015(3)(2015银川模拟银川模拟) ) 若若tan = tan = ，则，则 =_=_，sinsin2 22sin cos =_.2sin cos =_.1213，551212A.B.C.D.13135543sin 4cos 5sin 2cos 【解题提示】【解题提示】(1)(1)先求

17、先求cos cos ，再求，再求tan tan ，注意角，注意角的范围的范围. .(2)(2)切化弦切化弦, ,注意应用公式的变形注意应用公式的变形. .(3)(3)第一个式子的分子分母都是关于第一个式子的分子分母都是关于sin sin ，cos cos 的一次式，第二的一次式，第二个式子的分母看成个式子的分母看成1 1，然后转化为，然后转化为sinsin2 2 +cos +cos2 2 ，此时分子分母都，此时分子分母都是关于是关于sin sin ，cos cos 的二次式，利用商数关系转化成关于的二次式，利用商数关系转化成关于tan tan 的的表达式求解表达式求解. .【规范解答】【规范解

18、答】(1)(1)选选C.C.因为因为是第四象限角，是第四象限角，sin =sin =所以所以cos =cos =故故tan =tan =(2)(2)原式原式= =答案：答案：1 11213，251 sin 13 ，sin 12.cos 5 22222sin (1)cos cos sin 1.cos (3)(3)答案：答案：44sin 4cos tan 483.45sin 2cos 5tan 275 ()23 222222sin2sin cos sin2sin cos sincos168tan2tan 893.161tan2519 88725【一题多解】【一题多解】解答本例题解答本例题(3)(3

19、)，你还知道几种解法？，你还知道几种解法？解答本题，还有以下两种解法：解答本题，还有以下两种解法：方法一：因为方法一：因为tan = tan = 所以所以sin =sin =所以所以sin 4cos 3 ，4cos 3，44cos 4cos 4sin 4cos 833.20205sin 2cos 7cos 2cos 23322222222168168cos cos sin 2sin cos 89393sin 2sin cos .1616sin cos25cos cos 199 方法二：因为方法二：因为tan = tan = 所以所以sin = cos sin = cos ，又因为又因为sins

20、in2 2 +cos +cos2 2 =1 =1，所以所以由由tan = 0,tan = 0,知知是二、四象限角是二、四象限角. .当当是第二象限角时，是第二象限角时，此时此时当当是第四象限角时，是第四象限角时，sin 4cos 3 ，43222216916cos cos 1 cos sin .92525 ，4343sin ,cos ,55 434sin 4cos 855.435sin 2cos 75255 43sin ,cos ,55 此时此时答案：答案：434sin 4cos 855.35sin 2cos 7425 222816898sin 2sin cos sin cos .325325

21、25 88725【规律方法】【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法同角三角函数关系式的应用方法(1)(1)利用利用sinsin2 2 +cos +cos2 2 =1 =1可实现可实现 的正弦、余弦的互化，利用的正弦、余弦的互化，利用 =tan =tan 可以实现角可以实现角 的弦切互化的弦切互化. .(2)(2)关系式的逆用及变形用：关系式的逆用及变形用：1=sin1=sin2 2 +cos +cos2 2 ，sinsin2 2 =1-cos =1-cos2 2 ，coscos2 2 =1-sin =1-sin2 2 . .(3)sin (3)sin ，cos cos 的齐次式的应用：分式中

22、分子与分母是关于的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin sin ，cos cos 的齐次式，或含有的齐次式，或含有sinsin2 2，coscos2 2及及sin cos sin cos 的式子求值时，的式子求值时，可将所求式子的分母看作可将所求式子的分母看作“1”1”，利用，利用“sinsin2 2coscos2 2=1”=1”代换后转化代换后转化为为“切切”后求解后求解. .sin cos 【变式训练】【变式训练】1.(20151.(2015长沙模拟长沙模拟) )化简：化简： =_.=_.【解析】【解析】原式原式= =答案：答案： sin 2xsin 2x11tan xtan x22

23、22sin xtan xsin xcos xcos xsin xtan x1sin xcos x()1cos x1sin xcos xsin 2x.2122.2.已知已知 则则sin xcos x+cossin xcos x+cos2 2x=_.x=_.【解析】【解析】由已知由已知, ,得得 解得解得tan x=2tan x=2，所以所以答案：答案：sin x3cos x53cos xsin x，tan x353tan x，22222sin xcos xcos xtan x13sin xcos xcos xsin xcos xtan x1535【加固训练】【加固训练】1.(20151.(201

24、5海口模拟海口模拟) ) 记记cos(-80cos(-80)=k)=k，那么，那么tan 100tan 100等于等于( )( )【解析】【解析】选选B.B.因为因为cos(-80cos(-80)=cos 80)=cos 80=k=k，所以所以sin 80sin 80= =所以所以tan 100tan 100=-tan 80=-tan 80= =22221k1kkkA.B.C.D.kk1k1k221 cos 801k . 2sin 801k.cos 80k 2.2.化简化简:cos:cos4 4-sin-sin4 4+1=+1=. .【解析】【解析】原式原式=(cos=(cos2 2-sin-

25、sin2 2)(cos)(cos2 2+sin+sin2 2)+1)+1=cos=cos2 2-sin-sin2 2+1+1=2cos=2cos2 2.答案答案: :2cos2cos2 2考点考点3 3诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用 知知考情考情利用诱导公式、同角三角函数关系式化简求值是高考的重点利用诱导公式、同角三角函数关系式化简求值是高考的重点, ,常常与三角恒等变换结合与三角恒等变换结合, ,达到化简的目的达到化简的目的, ,在高考中常以选择题、解答题在高考中常以选择题、解答题的形式出现的形式出现. .明明角度角度命题角度命题角度1 1：利用

26、诱导公式求值利用诱导公式求值【典例【典例3 3】(2014(2014安徽高考安徽高考) )设函数设函数f(x)(xR)f(x)(xR)满足满足f(x+)=f(x+)=f(x)+sin xf(x)+sin x，当，当0 x0 x时，时，f(x)=0,f(x)=0,则则f( )=( )f( )=( )【解题提示】【解题提示】由函数由函数f(x)f(x)满足的关系式，逐步降角，直到把满足的关系式，逐步降角，直到把 转化转化到区间到区间0 0，)上，再利用当上，再利用当0 x0 x时，时，f(x)=0f(x)=0求值求值. .236131A.B.C.0D.222236【规范解答】【规范解答】选选A.A

27、.由由f(x+)=f(x)+sin x,f(x+)=f(x)+sin x,得得f(x+2)=f(x+)+sin(x+)f(x+2)=f(x+)+sin(x+)=f(x)+sin x-sin x=f(x),=f(x)+sin x-sin x=f(x),所以所以f( )=f( )f( )=f( )=f( )=f( )=f( )=f( )=f( )+sin .=f( )+sin .因为当因为当0 x0 x时时,f(x)=0.,f(x)=0.所以所以2361126 1165656562311f()0.622 命题角度命题角度2 2：综合利用诱导公式和同角三角函数关系式求值综合利用诱导公式和同角三角函数

28、关系式求值 【典例【典例4 4】(2015(2015衡水模拟衡水模拟) )已知已知 且且- - ，则，则cos( -)cos( -)等于等于( )( )【解题提示】【解题提示】明确明确 +与与 -的关系是解题的关键，求值时要注的关系是解题的关键，求值时要注意角意角的范围的范围. .51cos()123 ，2122 2112 2A.B.C.D.333351212【规范解答】【规范解答】选选D.D.因为因为 所以所以cos( -)=cos( -)=sin =sin( +).sin =sin( +).因为因为- - ，所以，所以 + + 0cos( +)= 0，所以，所以所以所以5()()12122

29、 ，12()2125122712512.1251213521212 ，225512 2sin()1 cos ()1 ( ).121233 悟悟技法技法1.1.诱导公式用法的一般思路诱导公式用法的一般思路(1)(1)化大角为小角化大角为小角. .(2)(2)角中含有加减角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉的整数倍时，用公式去掉 的整数倍的整数倍. .2.2.常见的互余和互补的角常见的互余和互补的角(1)(1)常见的互余的角：常见的互余的角： -与与 +; +; +与与 -; +-; +与与 -等等. .(2)(2)常见的互补的角：常见的互补的角： +与与 -; +-; +与与 -等等. .222

30、334333664443.3.三角函数式化简的方向三角函数式化简的方向(1)(1)切化弦，统一名切化弦，统一名. .(2)(2)用诱导公式，统一角用诱导公式，统一角. .(3)(3)用因式分解将式子变形，化为最简用因式分解将式子变形，化为最简. .通通一类一类1.(20151.(2015合肥模拟合肥模拟) )设设f(x)=cos(-x)+2cos 2x+3cos 4x+4cos 5xf(x)=cos(-x)+2cos 2x+3cos 4x+4cos 5x，则则f( )=( )f( )=( )【解析】【解析】选选D.f( )=D.f( )= = =2379A. 1B.C.D.5222324810

31、cos()2cos3cos4cos333322cos2cos()3cos(2)4cos(2)3333 2cos2cos3cos4cos3333111123 ()45.2222 2.(20152.(2015汕头模拟汕头模拟) )已知已知sin(3-)=-2sin( +)sin(3-)=-2sin( +)，则，则sin cos sin cos 等于等于( )( )【解析】【解析】选选A.A.因为因为sin(3-)=sin(-)=-2sin( +)sin(3-)=sin(-)=-2sin( +)，所以所以sin =-2cos sin =-2cos ，所以，所以tan =-2tan =-2，所以所以2

32、22221A.B.C.D.55555或2222sin cos tan 2sin cos .sincostan15 3.(20153.(2015福州模拟福州模拟) )计算：计算： =_.=_.【解析】【解析】原式原式= = = =答案：答案：-1-13tan()cos(2)sin()2cos(3 )sin( 3) tan cos sin 2()2cos(3)sin(3) tan cos sin()tan cos cos 2cos sin cos sin tan cossincos 1.sincossin 巧思妙解巧思妙解5 5 巧用平方关系求值巧用平方关系求值【典例】【典例】(2015(2015西安模拟西安模拟) )已知已知sin +cos = sin +cos = ，(0(0，)，则则tan =_.tan =_.【常规解法】【常规解法】由由消去消去cos cos 整理得，整理得，25sin25sin2 2-5sin -12=0.-5sin -12=0.15221sin cos 5sincos1 ，解得解得sin = sin = 或或sin =sin =因为因为(0(0，)，所以所以sin =sin =又由又由sin sin cos = cos = 得，得，cos =cos =所以所以