高考一轮数学复习x12离散型随机变量的期望与方差理同步练习名师解析

1、选修第1章第2节知能训练提升考点一：求离散型随机变量的期望1如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2、3、4、3、2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息总量为.(1)写出最大信息总量的分布列；(2)求最大信息总量的数学期望解：(1)由已知的取值为7、8、9、10.P(7)，P(8)，P(9)，P(10).的分布列为78910P(2)E()789108.4.2甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，.(1)求3人都没有投进的概率；(2)用表示乙投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望E.解：(1)记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投篮1次投进

2、”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A，则P(A1)，P(A2)，P(A3).P(A)P()P()P()P()1P(A1)1P(A2)1P(A3)(1)(1)(1)，3人都没有投进的概率为.(2)解法一：随机变量的可能值有0,1,2,3.则Enp3.解法二：的分布列为0123PE0123.考点二：求离散型随机变量的方差3某IT公司对其网络服务器开放的3个外网络端口的安全进行监控，以便在发现黑客入侵及时跟踪锁定今分析得知在今后某段时间段内，这3个网络端口各自将受到黑客入侵的概率均为0.1，在今后该时间段内，(1)恰有2个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？(2)求被

3、入侵的网络端口个数的概率分布及的数学期望与方差解：(1)设一个网络端口被入侵的事件为A，则P(A)0.1，P()0.9，各个网络端口被入侵的概率均为0.1且相互独立，故网络端口被入侵的事件相当于独立重复试验恰有2个网络端口受到黑客入侵的概率为P3(2)C0.120.90.027.(2)依题意得的(3,0.1)，其分布列为：0123P0.7290.2430.0270.001E30.10.3，D30.10.90.27.4(2010黄冈质量检测)某大学毕业生响应国家号召，到某村参加村委会主任应聘考核考核依次分为笔试、面试、试用共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则将被淘汰，三轮考

4、核都通过才能被正式录用设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为、，且各轮考核通过与否相互独立(1)求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率；(2)设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为，求的数学期望和方差解：(1)记“该大学毕业生通过笔试”为事件A，“该大学毕业生通过面试”为事件B，“该大学毕业生通过试用”为事件C.则P(A)，P(B)，P(C).那么该大学生未进入第三轮考核的概率是PP(A)P()P(A)P()1(1).(2)的可能取值为1,2,3.P(1)P()1P(A)，P(2)P(A)P(A)(1P(B)，P(3)P(AB)P(A)P(B)，或P(3)P(ABABC).的数学期望E123.的方

5、差D(1)2(2)2(3)2.考点三：期望与方差性质的应用5(1)设随机变量的分布列为P(k)(k1,2，8)，求E和E(32)；(2)设随机变量的分布列为P(k)(k1,2，n)，求E和D.解：(1)E1284.5，E(32)3E234.5215.5；(2)E(12n)，DE2(E)21222n2()2(n21)6最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，

6、基金风险小，应将10万元全部用来买基金据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，.第三种方案：李师傅的妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由解：若按方案一执行，设收益万元，则其分布列为42PE4(2)1万元若按方案二执行，设收益为万元，则其分布列为：201PE20(1)1万元若按方案三执行，收益y104%(15%)0.38万元由EEy.DE2(E)2164129.DE2(E)24()011.由上

7、知DD.这说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥所以，建议李师傅家选择方案二投资较为合理7某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序加工结果都为A级时，产品为一等品，其余为二等品陕西育才专修学院 陕西育才专修学院 吘莒咪(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；表1工序效率产品一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8(2)已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)条件下，求

8、、的分布列及E、E：表2等级利润产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2.5(万元)1.5(万元)(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表3所示，该工厂有工人40名，可用资金60万元设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)条件下，x，y为何值时，zxEyE最大？最大值是多少？(解答时须给出图示)表3项目用量产品工人(名)资金(万元)甲85乙210解：(1)P甲0.80.850.68.P乙0.750.80.6.(2)随机变量，的分布列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4E50.682.50.324.2，E2.50.61.50.42.1.(3)由题设知目标函数为zx

9、EyE4.2x2.1y.作出可行域(如图)：作直线l：4.2x2.1y0.将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M且与原点距离最大，此时z4.2x2.1y有最大值解方程组得x4，y4，即x4，y4时，z取最大值，z的最大值为25.2.8设排球队A与B进行比赛，若有一队胜四场则比赛结束(不出现平局)通常，若两队技术水平相差悬殊，则比赛需要的场数较少；若两队技术水平相当，则比赛需要场数较多试用你学过的概率统计知识解释这一现象解：设在每场比赛中，A胜B的概率为p，B胜A的概率为q1p(0p1)，进行n场比赛，可看作是进行n次独立重复试验，其中，A胜Bk场的概率为Cpkqnk.设比赛结束时

10、，比赛场数为随机变量，比赛至少要进行4场，4.又如果比赛进行了7场，两队中总有一队要胜4场，比赛结束，7，即的取值集合为4,5,6,7“k”表示比赛k场即决出胜负，即A在第k场取胜，在前k1场中又胜了3场，或者B在第k场取胜，在前k1场中又胜了3场，P(k)Cp4qk4Cq4pk4(k4,5,6,7).4567pp4q44pq(p3q3)10p2q2(p2q2)20p3q3(pq)E4(p4q4)20pq(p3q3)60p2q2(p2q2)140p3q3(pq)，又pq1，p2q212pq，p3q313pq，p4q414pq2p2q2，E20p3q38p2q24pq4.设tpqp(1p)(p)

11、2,0t.当t接近于0时，说明双方水平相差悬殊，当t接近于时，说明双方水平相当令Ef(t)20t3t24t4(t0，)，则f(t)60t216t40(t0，)，f(t)在0，上是增函数故当双方水平差距逐渐缩小时，比赛的平均场数逐渐增多特别地，当某队占绝对优势即t0时，E4，平均只需比赛4场；当两队水平一样时，即t，E5.813，平均需要比赛6场.高考链接1.(2009湖南)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的个数分别占总数的、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为

12、3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3，由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)，P(Bi)，P(Ci).(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P3！P(A1B2C3) 6P(A1)P(B2)P(C3)6.(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，B(3，)，且3，所以P(0)P(3)C()3，P(

13、1)P(2)C()2()，P(2)P(1)C()()2，P(3)P(0)C()3.故的分布列是0123P的数学期望E01232.解法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci).所以B(3，)，即P(k)C()k()3k，k0,1,2,3.故的分布列是0123P的数学期望E32.2(2009湖北)一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为

14、x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量xy，求的分布列和数学期望解：依题意，可取5,6,7,8,9,10,11，则有P(5)，P(6)，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，P(11).的分布列为567891011PE5678910118.3(2009全国卷)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记表示抽取的3名工人中女工人数，求的分布列及数学期望解：(1)

15、由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A).(3)的可能取值为0,1,2,3.Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i0,1,2.B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人Ai与B独立，i0,1,2.P(0)P(A0)P(A0)P()，P(1)P(A0BA1)P(A0)P(B)P(A1)P()，P(3)P(A2B)P(A2)P(B)，P(2)1P(0)P(1)P(3).故的分布列为0123PE0P(0)1P(1)2P(2)3P(

16、3).1.某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件 、2件次品，而质检部门每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过(1)求第一天产品通过检查的概率；(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分；通过1天、2天分别得1分、2分求该车间这两天的所得分的数学期望解：(1)随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，第一天通过检查的概率为P1.(2)第二天通过检查的概率为P2.两天的所得分的可取值分别为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).E0122高三(1)班和高三(2)班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；代表队中每名对员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；先胜两盘的队获胜，比