利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题75847

1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)0； (3)，那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)0； (3)，那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心邻域内

2、，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)0； (3)，那么=。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的xa，x换成x+，x-，洛必达法则也成立。洛必达法则可处理，型。在着手求极限以前，首先要检查是否满足，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数。（1） 若，求的单调区间；（2） 若当时，求的取值范围原解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II

3、）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，故综上，知a的取值范围为。2（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。原解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。（i）设，由知，当时，h（x）递减。而

4、故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。令g(x)=(),则，再令()，则，易知在上为增函数，且；故当时，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0在上为增函数=0当时，当x（1，+）时，当时，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数由洛必达法则知，即k的取值范围为（-，0规律总结：对恒成立问题中的求