各类刚体转动惯量公式的推导

1、各类刚体的转动惯量的证明1转轴通过圆环中心与环面垂宜的转动惯量=mR2.在圆环上取一质元，其质量为dm = Adi,川为圆弧元，兄为线密度（A= ）o该2nR质元对中心垂直轴Z的元转动惯量力二R2dm = AR2dl,圆环对该轴的转动惯量为J = jdJ = AR2dl = 2兀AF? = mR22转轴沿圆环宜径的转动惯量丿=.2在関坏上靠近转轴的一处取一质7idm 其弧长为川，质元与恻心的连线和转轴Z的夹角（微夹角）为圆环的线密度A=,其中dl= Rd。， 2虽dm = Adi =Rd 6 = d 0ItiR Ik该质元的转动惯彊为dJ = (Asin 6>)36>= sin3

2、OdO2龙Ik班（上竺竺）曲=（空L理cos20）前2龙24龙 4龙则圆环対该转轴的转动惯最为J匹一匹cos2G）d"4龙 4龙rnR23#D-3 转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量=.#1_4刀用=O7ZR =0 2 2在圆盘上取一半径为厂.宽度为力的细圆坏圆盘的质最面密度为7= 企，该圆环 的元而积为dS = 2dr，岡坏的质量为dm = adS = 2adr.该圆环对转轴的转动惯量为必二r2dm = 2和加则整个閲盘的转动惯最为J = dJ = 2o7U3dr =丄 ovz;，o2dm兀氏一尸）在開筒上取一微截圆筒.其质量为dm,再在该微截閲筒上取一宽度为力半径为厂的 元圆

3、筒，记取得的元圆筒质量为咖（由微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元I员1筒看成质最为dm和如 的圆坏）I员1坏的面密度t =元圆筒的面积dS = 2drrR元圆筒的质量dM = adS = loTudr 元圆筒对Z轴的转动惯最为（2兀ardCF =2勿衍广|o-(/?3-r)(A2 +尸）#=+ r2）O7r（R2 -则整个関筒的转动惯量为“(A3-r2),厂)=-dm2J = dJ =R J dm =（斤+厂）2厂7 7?5 转釉沿圆柱体几何轴的转动惯量7 =在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm,由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体 看成一圆盘。在圆盘上取一宽度为d厂.半径为广

4、的圆坏，记该圆坏的质最为dM 圆盘的dm圆环的面积为dS=2dr 9质量dM = odS = 2兀ord】閱环的转动惯最鮎,=FdM = landv#R _r>4 r J otzR Rr , =dmn22關盘的转动惯罠为dJ=jdJQ = 2a7U3dr = -ovzr4 2则整个関柱体的转动惯最为J = dJ = 6转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量八宁+罟在圆柱体上取一厚度为的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为必的微细长方 体，如上图。该微细长方体一端的坐标为(心二)，设该点与鬪心的连线同X轴的夹角为&, 圆柱体的半径为广,则有x =厂cos。,二=r sin0 o圆

5、柱体的密度为p ="L细微长方体的体积为dV = Izdxdy ,质量为dm = pdU = 2圧dxdy ,到转轴Z的距离为 Rg = x2 + y2则细长方体的转动惯量为")=Rg2dm = (x2 + y2)pdV = 2pr(x2 + y2)dxdy则整个细微圆柱体的转动惯呈为刃=JQ = jdJ0 = 2佟(x? +才妙功，将x = r cos,z = / sin 代入上式得力=£ 2pi sin0(r2 cos2 0 + y2)dxdy=Ipidy sin 0(y2 + r2 cos2 0)d (r cos&)=-2pi'2dysin2

6、 0(y + r2 cos2 0)d0亠f r l-cos2& r cos2& + lin cos4& + l由一倍角公式 <§siir 0-,cos* 0-,cos"2=2 2 2dJ=一20Qyf sin2+ r2 cos2 0)d0宀-> ,f01-COS2&/ r rC0S2&+l、c =_2阿彷+厂 )d02 .2 2 .2=一2 阿铀f (十 cos 2 &一 才 cos4&H&=-2阿迪_-sin2-sin4T8432=+ )dy4则整个圆柱体的转动惯量为L.4J = dJ =+ 罟)

7、L_丄 p卅l12-4mr2 ml?=+4127转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量八嚳I5#在棒上取一质元.质元的长度为必，距转轴Z的距离为X,设细棒的线密度为;I.则#n?兄=一，该质元的质量为dm = AdxI质元的转动惯量为刃=x2dm = Ax2dx则整个细棒的转动惯最为丿=宓=仍x?dx =护山爭8转轴通过细棒端点与棒垂宜的转动惯量为八学7#在棒上取一质元，质元的长度为dx,距转轴Z的距离为x,设细棒的线密度为;I,则2 = ,该质元的质量为dm =加厂/质元的转动惯量为力=x2dm = Ax2dx则整个细棒的转动惯量为=jdJ =久£ x2dx =-A13#9转轴通过球体

8、沿宜径的转动惯量为丿=弓二.y#如上图，在离球心距离为二处取一厚度为d二的圆盘，岡盘半径为阳。在関盘上取一宽度为dy,半径为y的圆环设球的密度为°,。二，则圆盘的质虽为%3dm =,阳2 ,圆盘的面密度为=在圆盘的圆环上取一长度为创的质元，则质元的质量叫=adS= adydl 质元的转动惯晟为矶=y2dmQ = q'2dydl则圆环的转动惯量为7。= jj0 = “ qf2dydl = lq'3dydm整个圆盘的转动惯量为力=J。=2a'3dy ='27ra'3dy =兰农=pd二2整个関球的转动惯量为8%15#10.转轴沿球壳直径的转动惯量丿

9、=#在球壳上取一闘心角为的關坏，球壳半径为厂，则闘环的宽度为衍&，设圆环的半 径为恐，圆环上一点与球心0连线同z轴的夹角为&，则Rg = rsin<9o 球的面密度为一新 在圆环上取一长度为川的质元，则质元的质量为= adS= ofdld0 质元的转动惯量为力o = Rg2dm0 = RgOdldO1门 8;ror 2mrCOS 0- COS& =3Jo 33圆环的转动惯量为力=“厶=Rgdddl = 2/ra°si£创& 则整个球壳的转动惯最为ml?J = 2;ror4siii3 刃& = 2/ra sin32兀a人11 转轴沿底面是正方形的长方体的几何轴的转动惯处丿=长方体底面边长均为L,高为h.在长方体沿转轴二方向取一长为宽为dx高为 h的细长方体，由于该细长方体横截面非常小，因此横截面上任意_处可看成一个坐标为 （X,二）的点。长方体的密度为“莎细长方体的转动半径为广=Jx，+ y2其质呈为dm0 = phdxdy则细长方体的转动惯量为矶=r2dm0 = （x2 + y»dxdy整个长方体的转动惯量为L L八 JJ （x，+y2）dxdy =HB（x2+ a&quo