三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

1、键入文字8正弦函数和余弦函数的图象y=sinx3.2yy=cosx22-12/3厂，田,2122正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象二、正弦函数y二sinx(x亡R)、余弦函数y=cosx(xeR)的性质：(1)定义域：都是Ro(2)值域：1、都是【11132、y=sinx,当x=2k霜+一(/Z)时，y取取大值1;当x=口2k-(k亡Z时，y取取小值-1;223、y-cosx,当x=20(kZ以y取最大值1,当x2k=融*江伞匚Z)时，y取最小值一1。例：(1)若函

2、数y=a-bsin(3xH)的最大值为一、最小值为。,则a=-_,b=1622(答：a=一,b1或b=-1);2函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x的集合是（3）周期性2.X o|.(答：0)；xD. y - cos4ysinx、y二cosx的最小正周期都是2璃f(x)_Asin(3x49)和f(x)nAcos(0x+cp)的最小正周期都是t例：若f(x)=sinH.,则f(1)f(2)+f(3)旬|卜+f(2003)3.下列函数中，最小正周期为江的是（）xA.ycos4xB.ysin2xC.y_sin2（4）奇偶性与对称性：1、正弦函数y=sinx（xeR）是奇函数，对称中心是耙|

3、keZ对称轴是直线x43+“仆它Z）；2、余弦函数是偶函数，对称中心是嘉、，对称轴是宜线xkkZ2y_cosx（xR）k-,0kZ娱<12（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。JPI例：（1）函数y=sinI-2x:的奇偶性是（答：偶函数）；2(2)已知函数f(x)=ax*bsin3x将1(a,b为常数)，且f(5)=7,贝1f(-5)=(答：一5);（5）单调性：rr133.33y=sinx在.2,2k+-，（kZ旷单调递士在忸篦上一,2k：+1（锌Z）单调递减；2222y二cosx在2k沉，2k+氯K枭Z）上单调递减，在2k江+

4、褥,2好+21k税上单调递增。特别提醒,别忘了kZ!函数y=sin2x的单调减区间是（）A.C.- 2k：+2k232kB.D.3 |k , k 一 一(k z)44:It It "|_kw , k£( (k z)44（5）研究函数y=Asin（中x*°）性质的方法：类比于研究y=sinx的性质，只需将y=Asin（整x*）中的婷看机y通过二sinx中的x，但在求yAsin（x户的附犒区间时，要特别注意A和的符号，化正。诱导公式先将如（1）函数y§in（2x+三）的递减区间是（答：k一一5超，k+三（k支）；31212（2）yJog1cos（，与的递减区

5、间是（答：6一4，6k+至（k乏）；23444（3）函数y=Asin（您）图象的画法：“五点法”一一设X3伸”令X=0,三,n,A,2工求出相应的x值，计算得出五点的坐标,22描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：（1）sinx1;（2）cosx一,（0:x；7）222.用五点法作函数y=2cos（x+9），xe0,2兀的简图36.形如y-=Asin（第x+卬）的函数：（1）几个物理量：A一振幅；f=1一频率（周期的倒数）；&T将位；3初相；T（2）函数y=Asin（®x睢。）表达式的确定：A由最

6、值确定；仍由周期确定；°由图象上的特殊点确例1、已知函数y=Asin（wx+（|）+b（A>0,|（|）|<兀，b为常数）的一段图象（如图）所示求函数的解析式；求这个函数的单调区间2 .函数y=Asin（x例）图象的画法“五点法”一一设X一历十qx,令X=0,三允,圣，2工求出相应的x值，计算得出五点的坐标,22描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。3 .函数y=Asin(x仔S)*k的图象与ysinx图象间的关系：函数y二sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左(甯>0)或向右(中<0)平移用|个单位得y=sin(x+8)的图象；函数y-sin(x

7、*惬图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的口，得到函数ysin(gx+修，的图象；函数y=sin(已x+)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y二Asin(ox+$的图象；函数y二AsinGx+妙)图象的横坐标不变，纵坐标向上(k>0)或向下(k<0),得到y=Asin(sx+0)+k的图象。要特别注意，若由y=sin(ox得到y=sin(&x+牝)的图象，则向左或向右平移应平移|一|个单位，a例：(1)函数y三2sin(2x一2)-1的图象经过怎样的变换才能得到y三sinx的图象？4要得到函数ycos(_X_2)的图象，只需把函数y=sinx的图象向平移个单位24

8、2课堂练习:1、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移三个单位，这样得到的曲线与y=3sinx的图象相同，那么y=f(x)的解析式为4()露黛A.f(x)=3sin(x-)B.f(x)=3sin(2x+)244C.f(x)=3sin(z+)D.f(x)=3sin(2x一一)2442. (2009山东卷理)将函数y二sin2x的图象向左平移上个单位,再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是4().A.y-cos2xB.y-2cos2xC.y-1sin(2x)D.y-2sin2x4(3)若函数 f x )一cos xs

9、in xx亡【Q 21)的图象与直线y二k有且仅有四个不同的交点，则k的取键入文字值范围是(答：1,7)(3)设函数f(x)Asin(3闿切(A车诙&0,畸e中的图象关于直线X.图对称，它的周期是223则A、f ( x)的图象过点(0,1 )2C、 f x的图象的一个对称中心是,.5露12B、f ( x)在区间严，2 上是减函数123D、f ( x)的最大值是A15(4)对于函数fxr2sin2x+工)给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线3x成她对称；图象可由函数y=2sin2x的图像向左平移霹个单位得到；图像向左平移等个12312单位，即得到函数y=2cos2x的图像。

10、其中正确结论是四、正切函数y=tanx的图象和性质：-3.yy=tanx一(1)定义域：x|后巴+k兀,kZo遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？2(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；(3)周期性：是周期函数且周期是它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数目变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如y=sin2x,y-sinx|的周期都是兀，但ysinxI+'cosx的周期为一，而2=JL+寸=tan3x|的同期2

11、不变y|2sixn(3)y|,x|2s,iyn|；626(4)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是(生1,0*Z),特别提醒：正(余)切型函数的对称2中心有两类：一类是图象与X轴的交点，另一类是渐近线与X轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。(5)单调性：正切函数在开区间/-±+k3生:+仁江)卜电Z)内都是增函数。但要注意在整个定22义域上不具有单调性。如下图：三角函数图象几何性质三角函数图象几何性质IIu-邻中心|X3-X4|=T/22邻轴|xX2|二T/2无穷对称中心：无穷对称轴y=AaMx3嵇由)y邻中心|X3-X4|=T/2无穷对称中心：O由y=A或-A确由

12、y=0或y无意义确士X=X1X=X.2邻渐近线|X1-X2|=T无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交，且相邻两交点的距离为一个周期！( )一 5 .k, k 11 (k Z)一 1212定珞p +- , k+-j(kZ )63一 x),则由y=0确定定课后作业：1、函数y=3sin(2x4一)的单调递减区间是6-5一A.k,k1(kZ)B.一1212FJT呢1C.k,k-江+一；(kZ)D.,36.2、已知函数f(x)=sin,g(x)=cos(2A.f(x)与g(x)都是奇函数B.f(x)与g(x)都是偶函数C.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函

13、数3、若函数y=2sin(8x+0)+1的图象关于直线x=三对称，则0的值为()6A.0B.C，k；t(kWZ)D,k%+(kWZ)n264、函数y=|sin_x的最小正周期是()I2A兀B.霭C.不25、函数y=cos(义)一的单调递减区间是()2k2kx + (keZ)53花2冗芯Ark常十:(keZ)Cr21c7r+；63-561rmVbdaku+kx+(keZ)D,2kx-r-2kit+(keZ)3n63：&6、已知函数f(x)=sin(Tix_三)_1,则下列命题正确的是()2A. f(x)是周期为1的奇函数B. f(x)是周期为2的偶函数C. f(x)是周期为1的非奇非偶函

14、数D. f(x)是周期为2的非奇非偶函数7、函数y=cos(2x_量%)是2A.奇函数非偶函数C.非奇非偶函数二、填空题：、已知函数=1sinx中(7y2A,偶函数非奇函数,既是奇函数又是偶函数0)的最小正周期为3辄，则A8、函数f(x)=11-8cosx-2sin2x的最大值是.9、函数函数y=lg(-sinx)的定义域是10、若x=上311、已知函数f(x)2是方程2cos(x+a户1的解,其中aE(0,2几)，则=ax3bsinx1(、为常数),且一abf(5)=7则f(一5)二12、给出下列命题：5一函数y-sin(22x)是偶函数；方程x="是函数y=sin(2x+584)的图象的一条对称轴方程若民、B是第一象限角，且a>B,则sina>sinB其中正确命题的序号是.(填序号)三.解答题：，13.已知a曲+西卜°,求证:83(日