傅里叶级数和应用毕业论文

1、傅里叶级数及其应用专业：数学与应用数学班级:姓名:引言 31 傅立叶级数的计算 51.1 傅立叶级数的几何意义 51.2 傅里叶级数的敛散性问题 101.3 傅里叶级数的展开 111.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 161.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 192 傅里叶级数的相关定理及其应用 212.1 n元函数中值定理及其几何意义 212.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 283 微分中值定理在复数域上的推广 323.1 复数域上的中值定理 323.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 36结论 39致谢 40参考文献 41摘要为了更好地认识和应用微分中值定理，使微

2、分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨.首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了 n 元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样

3、借助构造的“辅助函数”把 n 元函数转化为一元函数， 进而给出了四个定理的证明， 并通过几个典型例题验证了 n 元函数微分中值定理的可用性最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性关键词：n 元函数； 微分中值定理；几何意义； 复数域AbstractIn order to understand and make better use of the differential mean valuetheorem which can play a largest role in applicati

4、on, we explore the generalization and the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and complex field based on the comprehension and masteryof the differential mean value theorem in textbook.At first, according to thedifferential mean value theorem of one-variable fu

5、nction, we give the uniform ofRolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we complement the differential mean value theorem of two-variable functionin textbook following one- variable function, give theexpressions of Rolle theorem, Cauchy mean value th

6、eorem, Taylor mean value theorem of two-variable function, constitute auxiliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theoremof two-variable function. Later, we givethe expressionsof theRolletheorem,Lagrange theorem, Cauchy mean v

7、aluetheorem, Taylormeanvaluetheoremof n- variable function by comparingthe differentialmeanvaluetheorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting auxiliary function, we change n-variable function into one-variablefunction and give the proof of four theorems. Chec

8、k the availability of the differential mean value theorem by some typical examples. At last, proceed fromthe differential mean value theorem of two-variablefunction, we give the expressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theoremin complex field and check the availability of th

9、e differential mean value theorem by some typical examples at the same time.Keywords:n-variable function; differential meanvalue theorem; geometric significance;complex field引言微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的

10、内容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具， 需要把它的应用范围加以扩展， 使之能够在n 元微分学即 n 1 维空间以及复数域上得以使用本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系， 试图找出统一的中值公式， 通过这个公式全面认识这四个定理 其次，对照一元函数

11、微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义第二部分中， 对比一元函数与二元函数微分中值定理， 给出 n 元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明1 傅立叶级数自然界中周期现象的数学描述就是

12、周期函数最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数y asinwt或余弦函数y acoswt表示.但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示因此，傅里叶级数就应运而生傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题 傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着1.1 一元函数中值定理及其几何意义从“几何”的角度来看待傅里叶

13、级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上考虑一个简单的二维平面的例子. 如下图所示， 给定两个向量u 和 v ， 从 u的末端出发作到v所在直线的垂线，得到一个跟v同向的新向量p.这个过程 就称作u到v所在直线的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。图中的 系数c是p跟v的比例，也就是u在v轴上的“坐标”.可以用尺规作图来完成 投影这个动作，问题是：如果给定的向量u 和 v 都是代数形式的，怎么用代数的方法求 c ？图片1 ：向量u到V所在直线的投影知道u cv这个向量是“正交”于v的，用数学语言表达就是（

14、u cv）Tv 0.马上就可以得到c的表达式如下:T u V c TV V如下图所示，现在引进一组正交基V1,V2,那么u可以展开成以下形式u c1Vl c2 V2图片2：向量u在正交基Vi,V2上的展开从图上来看，式其实说的是可以把u “投影”到V1和V2这两个坐标轴上, G和C2就是u的新“坐标”.问题是：怎么求G和C2呢？利用之前关于投影的讨 论，可以直接得出答案，直接利用 式就可以得到如下的表达式：TTu v1u v2c ； c ；M v1v2 v2如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了， 也就是

15、把式中的v换成新坐标轴就好了 .这些东西跟傅里叶级数有什么关 系？给定一个周期是21的周期函数f x ,它的傅里叶级数为：n xa0an cos bn sinn 1l其中系数表达式如下:a0ani f x dxJ2l1 f n x f x cosdxl, n 1lbn1n x .f x sindx1il,n从几何角度来看，f组成的“正交基”来展开,x可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）X .一 x _ 2 x 2 x ,1,cos ，sin ，cos,sin , l l l l从几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻

16、松的记住，想忘记都难了.还可以尝试着用不同的角度去看待同一个问题， 这样做会发现更多的简便方法和问题.1.2 傅里叶级数的敛散性问题定义1若函数f x在区间a,b除有限个第一类剪短点外皆连续，则称 函数f x在a,b逐段连续. 若函数f x与它的导函数f x都逐段连续，则称函数f x在a,b逐段光滑.显然，逐段光滑的函数是可积的.1.2.1 相关定理定理1 若f x是n元函数f在凸区域R上以2为周期的在，逐段 光滑的函数，则函数f x的傅里叶级数在R收敛，其和函数式 1-f x 0 f x 0,即x ,有21 , 八 - a0.-f x 0 f x 0an cosnx bnsin nx .2

17、2 n 1这就是一元函数的罗尔定理的公式nfxi x10i1x1, x20x2 ,L , xn0xnxi0 n特别地，当 n 1 时，fxix10x1,x20x2,L,xn0xnxi0变为i1x x0 ，所以， fx00 f x0x x0x x0 x x00,0.1 即f c 0 ， c x0 ,x n 元函数罗尔定理的几何意义：在n 1 维空间里，闭区域D 上有连续超曲面 y f x10,x20,L ,xn0 ， 超曲面上每一点都存在超切平面， 且在超曲面的底面与x1x2L xn 1面平行， 则超曲面上至少有一点 C 1, 2,L , n, f 1, 2,L , n ， 使得过该点的超切平面

18、平行于x1x2 L xn 1面上连续，定理2 （n元函数拉格朗日定理）设n元函数f在凸区域D R在 D 的所有内点都可微，对D 内任意两点，P1x10x1 ,x20x2 ,L ,xn0xn ，P2 x10 ,x20 ,L ,xn0D ，0,1 ，使得f x10x1, x20x2,L ,xn0xnx10 ,x20 ,L ,xn0nfxi x10i1x1 ,x20x2 ,L , xn0xnxi (2-1)证明 令 tf x10t x1, x20t x2 L xn0t xn ，t10,1 ，使得它是定义在0,1 上的一元函数， 由定理中的条件知 t 在 0,1 上连续， 在 0,1由复合函数的求导法

19、则fXXixi0X1 , X20X2,L,Xn0XnX1 Lf X10X1，X20X2，L ,Xn0Xn Xn.nfXi i 1X1，X20X10X2，LXi, X20，Xn0XnX2,L ,Xn0XnXi ,0,1 .f X10,X20,L ,Xn0 .所以,X1, X20X2,L ,Xn0Xnf X10 , X20 ,L ,Xn0nfXi 为0X1, X20X2,L ,Xn0i 1特别地，当n 1,则由（2-1）式有f x f X0f x0 xX0这就是一元函数的拉格朗日中值公式.n元函数拉格朗日定理的几何意义：在1维空间里，闭区域D上有连续超曲面 y f X10，X20,L ,x超曲面上

20、每一点都存在超切平面， 超曲面被超平面所切得面，则超曲面上至少有一点C 1，2L n，f 1，2，L , n ,使得过该点 的超切曲面平行于面定理3 （n元函数柯西中值定理） 设n元函数f和g在凸开域D Rn上连续，在D内关于各个变元具有连续的偏导数，对D内任意两点P1（X10,X20,Xn）,nP2(X10X1, X20X2,L,Xn0Xn)D,9为的。 X1，, Xn0Xn)Xi0,则有f(X10g(X10i 1X1，L ,Xn0Xn)f(X10,L ,Xn0 )X1 ,L , Xn0Xn ) g(X10,L , Xn0)fx(x10xn) xii 1ngXi(X10X1,L , Xn0i

21、 1，(0Xn) Xi1).证明首先证明g(X10X1 , Xn0Xn) g(X10,Xn0) 0,用反证法.假设g(X10X1, ,Xn0Xn) g(X10,Xn0)0g(Xl0Xi,xn )g(Xl0,根据n元函数的罗尔定理,(0,1),使得与已知条件g，X10i 1其次作辅助函数 f (X10 t X1,f(X10X1, ,Xn0g(X10X1, ,Xn0gXi(X101X1, ,Xn0,Xn0t Xn)X1,Xn0Xn) XiXn) Xi0矛盾.f(X10, Xn0)Xn) f(X10, ,Xn0)r /.-；g(X10 t X1,Xn) g(X10, Xn0)其中0 t 1.由定理中

22、的条件知在0,1上连续,(0) 0,根据一元函数的罗尔定理，存在 (0数的求导法则n()fXi (X10X1, Xn0Xn) Xii 1f(X10g(X10X1,L , Xn0Xn )f (X10,L , Xn0)X1,L ,Xn0Xn) g(X10,L , Xn。),Xn0 t Xn)g(X10,在(0,1)内可微,1)使得 ()0ng (X10X1,L , Xn0i 1又()0.所以,f(X10X1,Xn0g(X10X1,Xn0Xn) f(X10,Xn。)Xn) g(X10, Xn0),Xn0 ),0,Xn) Xi nfXi(Xi0Xi,Xn0Xn) Xj，(0i).gXi(Xi0Xi,

23、,Xn0Xn) Xii i函数在一点的导数表示的是曲线在这点的切线，一元函数微分中值定理 表示的是过一点的切线与割线的位置关系. 那么当函数变为n元函数时，中值 定理又对应着怎样的几何意义呢?通过对一元函数泰勒中值定理与二元函数泰勒中值定理的探讨，不难有 这样的问题：在n元函数与高阶导数有怎样的关系， 泰勒中值定理又会变成怎 样的形式呢?定理4 (n元函数的泰勒中值定理)设函数U f(Xi,X2,L ,Xn)在点且具有一阶及二阶连续偏导数,P0(Xi0,X20,L ,Xn0)的某一邻域U R内连续,(Xi0Xi , X20X2,L ,Xn0 Xn) U(P。)，则(0,1),使得f(Xi0Xi

24、 , X20X2, Xn0Xn)n f (Xi0,X20,L , Xn0)f (X)0, X20,L ,Xn0)- Xi其中Ri2!2 f(Xi0Xi,X20X2, ,Xn0Xn)Xi XjXi证明考虑函数(t)f(Xi0 t Xi , X20 t X2,Xn0 t Xn)(0) f(Xi0, X20,Xn。),(i)f(Xi0Xi,X20X2,Xn0Xn ).由于函数U f(Xi,X2, ,Xn)在点P0(Xi0,X20, ,Xn0)的某一邻域U(P。)内连续,并且具有一阶及二阶连续偏导数，从而复合函数(t)f(Xi0tXi,X20tX2,Xn0tXn)在t 0的邻域内对t有连续的一阶及二阶

25、导数.由一元函数的泰勒公式可以得(0)1(0)t(2!t)t2, 0(2-2)因为(t)x10t x1 , X20t X2,L ,Xn0 t Xn Xi(t)n d1 dtf(Xi0 t Xi , X20 t X2,L ,Xn0 t Xn)Xi2f X10 t K,X20 t X2,L ,Xn0 t XnX XjXj所以,(0),(t)(0),fX101 n2! i 1(0)f X10,X20,L ,Xn0Xi2f X10t X1,X20t X2,L ,Xn0t XnX XjXiXj(t)代入(2-2)式后再令t 1 ,便得到泰勒公式X2，L ,Xn0 Xf (X10,X20,Xn0)n 2n

26、 f X10X1 , X20f X10, X20 ,L , Xn0XiR,X XjX2,L , Xn0XnXiXj 如果设函数 uf (X1,X2, ,Xn)在点 P0(X10, X20,Xn)的某一邻域且具有n 1阶连续偏导数,(X10X1, X20X2,Xn0 Xn) U(P0),U(P0)内连续则 (0,1),使得f X10X1 , X20X2,L,Xn0Xn其中Rn日余项.因为f xl0 , X20 , L , xn0k i k!f (xi0, x20 , L , xno)x f xi0,x20,L ,xn0Rn ,证明n if X0xi, L , xn0xn作辅助函数(0) f(xi

27、o,x20,ddtxi这称为拉格朗(t) f,xn0),f(xi0xio(1)x1 , x20f(xi0t 4 , x20txif (xi0 , x20,L , xn0)xixi, x20x2,xn0x2, ,Xn0 t Xn) Xixif xi0txi,L ,xn0d2dt2用数学归纳法可以得到n (k)(t)i i由一元泰勒公式(0)将（0）f (xi0，x20，式得Xi0Xi,Lf(Xw，Lf (xi0,x20,L xn0)f (xi0 , x20 , L , xn0)(0)xif(xi0xi,L ,xn0xif(xi0t xi，L ,xn0xn)i,2, ,n).?! (0)，xn0

28、)xnin!f(xi0(n)(0)i(n i)!(n(0(2-3)xi , x20 x2,xn0xn ),(n)(0)代入(2-3)f (xl0 , X20 ,L , xn0)f(xi0，L ，xn0)2! i 1f (X10 , X20 , L ,Xn0) XiXif ( x10 ,L , xn0) L1 f ( X10 , X20 , L , Xn0)n! i 1XinX f X10,L ,Xn0Rn ,n 1f(X10, X20,L ,Xn0)XiXi f X10X1,L , Xn0Xn ) (01) 2.2利用n元函数微分中值定理研究函数的性质例2.1 设n元函数f在凸开域DRn上可微

29、，D上取定一点Po(Xio,X2o, ,4)且P(X10X1,X20X2 , Xn0Xn )D ,有fXi( P) 0, i1,2, n ,则 P D ,有f(P) C (常数)，即f(P)是常数函数.证明 n元函数f在D上满足n元函数的拉格朗日定理的条件，根据 n元函数的拉格朗日定理,(0,1),使得f ( X10X1, X20X2 ,因为点 P1(X10X1,X20fX X10X1 , X201X2,L ,Xn0Xn Xi .X2,Xn0Xn)所以，fXi(P1) 0.即f (X10X1 , X20X2, ,XnoXn)f (X10 , X20 ,Xn0 ) 取 f(X10,X20, ,X

30、n0) C ,f(P)C ,即f(P)是常数函数.例2.2 若n元函数f和g在凸开域DRn上连续，在D内关于各个变元,Xn0Xn)f(X10,X20, , Xn)具有连续的偏导数，D上取定一点P0(X10,X20, ,Xn0),且对任意的点P(X10X1 , X20nX2 ,L , Xn0Xn ) D ,fXi (P)g%(P), i 1,2,L ,n.而且 gX(X10X1,L ,Xn0Xn)i 1不为零.则P D ,有f(P) g(P) C,其中C是常数，0证明因为n元函数f和g在D满足n元函数的柯西定理的条件，则f(X10X1,Xn0Xn)f(X10, Xn )g(X10X1, Xn0X

31、n)g(X10,Xn)nfx(XX1,L ,Xn0Xn) Xii 1ngXi(X10X1,L ,Xn0,(01).Xn) Xi又 P (X10X1,Xn0Xn) D,所以,fX(R)gXi(R), i 1,2, ,n .即所以,即 f(P)g(P)f(P。)设 f(P。)例2.3P|(Xi0, X20,f(X10X1,中 i 1,2,L证明nfXi(P1) Xii 1ngxi(P1) Xi .i 1f(X10X1,L , Xn0g(Xi0X1,L , Xn0g(P。) .Xn )Xn )g(P。)C ,则 P D ,有 f(P)证明：设,Xn0), F2(X10,Xn0Xn)f(Xi0,L 人

32、)g(Xio,L , Xn。).n元函数f在凸开域Dg(P) C ,其中C是常数.X1,X20X2,L ,Xn0Xn)f(X10, Xn0 ),且fx(P)Rn上可微，对D内任意两点a, P D ( a是常数且a 0)其nXi i 10.因为n元函数f在D上满足n元函数的罗尔定理的条件，所以,(0,1),使得nf Xi (x10X1, Xn0 Xn ) Xi 0 )i 1由已知条件，点 P3(Xi0Xi, ,XnoXn) D ,有 f* (2)a, i 1,2, ,n所以，nna xi 0, axi0 .i 1i 1n因此，xi0 .i 1例 2.4 若 f(x, y,z) sin xsin

33、ysin z ,证明对某(0,1)有- cos sinsin sin cossin sin sin cos 8334643466346D的所D ,根证明 三元函数f (x, y, z) sin xsin ysin z在凸开域 D R3上连续，在有内点都可微，则对D内任意两点弓国,乙)，P,(x1x1,y1%,乙乙)据n元函数的拉格朗日定理，(0,1),使得f(x1x1，y1y1,Z1Z1)f(x1,y1,z1)f x(x1x1 ,y1y1,z1z1 )x1f y (x1x1 ,y1y1, z1Z1)y1fz(x1x,1y1,Z1z1) z1 .即sin(x1x1)sin(y1y1)sin(z1

34、z1) sin x1sin y1sin z1cos(x1x1)sin(y1y1)sin(z1z1) x1sin(x1x1)cos(y1y1)sin(z1z1) y1sin(x1x1)sin(y1y1)cos(z1z1) z1；,z1 则sin x1 sin y1 sin z1sin(x1 一)sin(y1 一)sin(z1 一)346cos(x1一)sin(y1一)sin(z1一) 一3463sin(xi)cos( yi)sin( zi一)一3464sin(x1 一 )sin( y1 一 )cos(z1 一346取 xiyi zi 0,则sin sin sin cos sin sin sin

35、cos346334643sin sin cos,6346即cos sin sinsin cos sinsin sin83346434663例2.5 若在区域D Rn内f的诸偏导数fxi(P) (i i,2, 函数f在D内连续.证明 假设 |fxi(P)| M , P D, i i,2, ,n .任取 PP P (xixi,x2x2, ,xnxn),与连接P及P P的直线段(设P | P |充分小)全部包含在 的拉格朗日定理，得 n|f(P P) f(P)| |fXi(PP) xi |i i n1 fxi(PP)l 1 xi | nM |i inM / n( x)2 , 0i.i i于是，0,/

36、nM ,使得当P | P| 时，有1 f(P P) f(P)l .)6-一 sin 一 461 cos .46,n)存在且有界，则D ,设D内，则由n元函数P|所以，函数f在点P连续.由P的任意性知，函数f在D内连续.例2.6 将函数f(x,y,z) x3 y3 z3 3xyz在点1,1,1展成泰勒公式.解 f (1,1,1) 0 fx(1,1,1)fy (1,1,1)fz(1,1,1) 0 ，f xx (1,1,1)f yy (1,1,1)fzz(1,1,1) 6， fxy(1,1,1) f yz (1,1,1)f zx (1,1,1)3，fx3 (1,1,1)f y3 (1,1,1)fz3

37、 (1,1,1) 6， fxyz(1,1,1)3 ，fxy2(1,1,1)fyz2(1,1,1)fzx2(1,1,1)f yx2 (1,1,1)fzy2(1,1,1)fxz2(1,1,1)0，且高于3阶的偏导数都恒为0.于是，由n元函数的泰勒公式，有f(x, y,z) x3 y3 z3 3xyz 3(x 1)2 (y 1)2(z 1)2 (x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)(x 1)3 (y 1)3 (z 1)3 3(x 1)(y 1)(z 1) 小结 n 元函数微分中值定理的表述形式与二元函数中值定理的形式类似， 都是函数值与各偏导数和增量乘积的关系 在证明上也是

38、采用了构造 “辅助函数”的方法在实数域中，微分中值定理联系了函数与导数，无论是一元函数、二元函数还是 n 元函数， 微分中值定理都对研究函数性质有重要的辅助作用， 那么如果函数定义在复数域中，微分中值定理还适用吗？3 微分中值定理在复数域上的推广由于二元函数在固定某个变量为暂时常量下可以看作一元函数，再由偏导数的定义，我们可先将一元微分中值定理推广到二元实函数上而二元实函数与复函数都是以有序数对为自变量的函数，它们之间有着密切的联系，因此在有关性质上也应该有着密切联系，所以又可利用二元实函数的微分中值定理，将实数域上的微分中值定理推广到复数域上，得到解析函数的微分中值定理，为应用导数研究解析函

39、数的性质提供了新工具，构建了有用的平3.1 复数域上的中值定理引理1 (可微的充要条件)设函数f z u x, y iv x, y在区域D内一点z x iy可微的充要条件是：(1)二元函数u x, y、v x, y在点x, y可微；(2)ux,y、vx,y在点x,y满足C. R方程，即，,，x y y x上述条件满足时，fz在点z x iy的导数可以表示为下列形式之一：工u . vv . uf z i ix x y yu. uv. vi i -.xyyx证明 设f z在D内一点z可微，则f z f z z z,其中是 随z 0而趋于零的复数.若令 f z i, z x i y , f z ui

40、v,贝 Ufz f z zz 可写成u i v x y i x y 1i2,这里i Re x , 2 Im z是zdz2 y 2的高阶无穷小.比较上式两端的实、虚部，即得uxy 1,vxy 2 .由数学分析二元函数的微分定义即知,u x,y与v x, y在点x, y可微，且UxVy ,UyVx .由u x, y与v x, y的可微性即知，在点x, y有u ux x uv yxy JV vx x vy y 2 .其中i与2是，L的高阶无穷小.再由C. R.方程，可设Ux Vy,UyVx.于是，有f u i v x y 1 i x y 2i x i y 1 i 2 .所以，lim i .即 z 0

41、 z U . VV . uf z i i i x xy yu.uV. Vii .xyyx定理1 （费马定理）设函数f z ux，y iV x，y在定义域内一点z0 x0 iy0 的某领域U z0内有定义，并且在z0处可导，若对任意z x iy U z0有u x0,y0u x, y 或u x0,y0u x, y ,v x0,y0v x, y 或 v x0,y0v x, y .则必有f z00.证明根据引理可知函数u x,y和函数vx,y在点x0,y0可微，且f z04 x0,y0ivxx0,y0 . 要使 fz00, 只需 川x0, y00,vxx0,y00.先证uxx0,y0 0.由于ux,

42、y在定义域内一点x0, y0可微，则u x, y在该点u x,y在点x0,y0的邻域内的任一点关于每一个自变量的偏导数存在.又因为x, y有u Xo,you x, y 或u Xo,yo u x, y .故 ux x0, y00 同理可证vx x0 , y00 定理 2 （罗尔定理） 若 f z u x,y iv x,y 满足下列条件：(1)在有界闭区域D上连续;(2)在D内解析；(3) f Zi fZ2,其中Zi,Z2为 D 内的两定点ZiXiiyi , z?x?iy?.则至少存在一点z0x0 iy0 使得 f z00 证明 由解析函数的定义知 f Z 在 D 内任意一点 x, y 可导， 根

43、据引理得到u x, y 和 v x, y 在 D 内任一点x, y 可微，且 f Z u x, yiv x, y 的求导公式为f Z ux ivx vyiuy f Zi fZ2，其中Zi,Z2为 D 内的两定点Zixiiyi ，Z2x2iy2 并且uxi,yiux2,y2 ， vxi, yi vx2, y2 令 F x, y u x, y v x, y ，则函数 F x, y 在有界闭区域D 上连续，在D 内可微，并且有 F xi, yiF x2,y2 则至少有一点 x0,y0 D ，使得0Fx x0 , y00 ， Fy x0 , y0因为Fx x0,y0ux x0,所以，ux x0, y0

44、根据引理可知 ux vy, uyu x x 0, y0y0 vx x0 , y0 ， Fy x0 , y0vx x0 , y 00 ， u y x0 , y 0Vx,于是，有vy x0, y00 ， uy x0, y0uy x0, y0Vy x0, y0 Vy x0,y00 Vx x0,y00 所以,f zUx X0,y0iVx X0,y00 .定理3 (拉格朗日定理)若复函数f z u x, y iv x, y满足下列条件:(1)在有界闭区域D上连续;(2)在D内解析；(3)4与Z2是D内的两个定点zi则至少存在一点Z0 D ,使得f 4证明 令F z f z f Zi Z2连续，在D内解析

45、，并且F z1 F z2 , F z根据罗尔定理可得至少存在一点z0F z f zz2 f z2f z1z2 4z zi ,则函数F z在有界闭域D上 zif z2f 4f z 214 ziD,使得f z2f zic0 .z2 zi定理4 (柯西中值定理)若函数f z与g z满足下列条件:(i)复函数f z与g z在有界闭区域D上连续;复函数f z与g z在D内解析；f z与g z在D内不同时为零；g zig z2 , zi与z2是D内的两个定点ziz2.则至少存在一点z0D ,使得工f z2f.g 4g z 2gzi证明做辅助函数z g ziF z f z f zi-f-z2f-z- gg

46、z2g zi易见F在D内满足罗尔定理，故存在zoD,使得z00 f zg z0f z2f zig z2g ziFzfz0因为g Zo0 ,所以，有微分中值定理不仅在实数域内建立了函数与导数的桥梁，在复数域内也适用联系函数与导数.这使中值定理在函数性态研究中有了更全面的理论和更广泛的应用.3.2利用复数域内中值定理研究函数性质例3.1设函数f z在复数域D内解析，并且z D ,有f z 0 ,证明f z在D内为常数.证明任取D内的两个互异的点zi和z2,若心含于D.与拉格朗日中值定理可得f z1f z24z2由已知条件，f z 0.所以，f ziz总含于D ,在D中取有限个点0zi, nz2,使

47、线段j i j含于D中j 1,2,f z1f 1 f n f z2所以，fz在D内为常数.例3.2若函数f和g在复数域D上连续，在D内解析，D内任取一点“， 使得Zo z D且有f Zo g Z0 .则z D ,有f(z) g(z) C ,其中C是常数.证明 函数f和g在复数域D上连续，在D内解析，D内取有两互异点zo和 Zo z .即点Zo和点的点Zo z的连线在D内.根据柯西中值定理，得f Zo -f Zo Z f z g Zo g Zo Z g Z其中z在D内.因为f z g Z ,所以，f Zo f Zo Z g Zo g Zo Z .即 f Zo g Zo f Zo Z g Zo Z .取 f Zo