三角函数的图像和性质题型归纳总结

1、三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y=A sin( co x+cp)或y=A cos( co x+(p)，A>0,3>0,要根 据y= sin x , y= cos x的整体性质求解。一、函数的奇偶性例1 f(x) = sin (x )(0< v )是R上的偶函数，则等于()B C , D 42【评注】由y sin x是奇函数，y cosx是偶函数可拓展得到关于三角函数射射勺重要结论：若yAsin(x)是奇函数，则k(k Z);若 y Asin( x(3)若 y Acos(x(4)若 y Acos( x

2、(5)若 y A tan(x 变式1 .已知aR，B 1 C )是偶函数，则)是奇函数，则)是偶函数，则)是奇函数，则函数 f (x) sin x I1 D - 1k +£k 2(kk (kZ);k2(kZ). a |为奇函 数，Z)；Z)；则a等变式 2,设 R，则 “0” 是 “f(x) cos(x )(xA充分不必要条件B 必要不充分条C 充要条件R)为偶函数”的()变式3.设f (x)sin(x) 其中。，则f (x)是偶函数的充要条件是()A. f (0) 1 B . f (0) 0 C . f '(0) 1 D . f '(0) 0例 2.设 f (x)

3、sin(2 x )(x R)，则 f(x)®()2A.最小正周期为的奇函数B .最小正周期为的偶函数C-最小正周期为的奇函数D .最小正周期为的偶函数22变式 1 .若 f(x) sin2 x 1 (x R)，则 f 仅)是()A.最小正周期为的奇函数B .最小正周期为的偶函数C-最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数既在(0, 2)递 增，y |sin2x| C -又是以为周期的偶函数的是()y |cos2x| D - y |sin x|变式2.下列函数 中，A. y cos2x B -二、函数的周期性例3,函数y sin(2 x )cos(2 x)的最小正周期为()66A

4、. B C - 2 D24评注】关于三角函数周期的几个重要结论：(1)函数 y Asin( x ) b, y Acos( x )的周期分别为 |2 |,|2函数V I Asin( x)I, y I Acos( x)l,yb, y A tan(| Atan( x(3)函数 y | A sin( xb |(b 0), y | A cos(x)b|(b)I的周期均为“2 0)的周期均为飞变式1 .函数 yA. ,1 Bsin(2x 6) cos(2 x )的最小正周期和最大值分别为() 2 ,1 D - 2,2变式2.若f(x) sin x(sin x cosx)lj f ( x)的最小正周期 是变

5、式 3.若 f(x) sin3x |sin3x|贝【J £依)是()A.最小正周期为的周期函数B .最小正周期为2的周期函数33C.最小正周期为2的周期函数D .非周期函数三、函数的单调性例4.函数ysin(2x)(x0,)的递增区间是()6a.o,b 7 3 12 12【评注】求三角函数的单调区间：3,56 D . %若函数 yAsin(x)(A0,0)则(1)函数的递增区间由函数的递减区间由若函数V A sin( 则 y Asin( x2k2kx2)中A0,2k (k232k (k20，可将函数变为Z)决定；Z)决定;y A sin( x )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函

6、数的增区对于函数Acos(x)和丫 间；A tan( x )单调性的讨论同上。变式1 .函数sinx f仅)在4yA.1 B cosx C- sinx变式 2.若 f(x) sin( x3内单调递增，则f(X)可以是()4cosx4)(。)在(，)上单调递增，则的取值范围是(2(oj D ，。0变式3.已知函数f (x)3sinx cos(x3)COS( X 3)( 0)求f ( X)的值域；若f (x)的最小正周,x 0, U (x)的单调递减区间.期为四、函数的对称性(对称轴、对称中心)例5.函数v sin(2 x)图象的对称轴方程可能是()A- X B - XC - X D - X6 1

7、26 12【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：(1)函数丫sinx的对称轴为xk2(叱),对称中心 (k ,0)( kZ);(2)国""ycos x的对称触为xk (kZ),对称中心(k2,0)(kZ);k 函数y tan x无对称轴，对称中心(2 , 0)( k Z );(4)函数 v Asin( x对称中心的求法：令x函数V Acos( x对称中心的求法：令x)b的对称轴的求法：令k (k办得x=k)b的对称轴的求法：令kxk(kZH"2(kz)；2k(kZ). W称中心为(.bMkZ)；xk(kZ),# x= (kZ);kk 2 (k Z )wx= 2

8、 (k Z),对称中心为2 ,b)(k Z)变式1 .已知函数ysin(x3)(0)的最小正周期为，则f (x)的图象()A.关于点(对称3C关于点(对称4变式2.函数y sin(xB .关于直线x对称4D .关于直线X对称3)的图象的一个对称中心是()33A. (,0)B .(39 c , (3Q)D ,(2,0)2x 2x变式3.函数f (x) sin 2x cos 2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是55变式4若函数y sinx 3 cosx的图象向右平移a个单位(a 0)后的图象关于y轴对称，则a 的最小值是()五、三角函数性质的综合思路提示】三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性

9、、对称性)中，对称性尤为重要；1)对称性奇偶性：若函数f( x)的图象关于y轴对称，则f (x)是偶函数;丁 ；相邻两个对称中心的距离为T ： 22若函数f( x)的图象关于原点对称，则f (x)是奇函数； 对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；4数特殊的,若 f(x) Asin( x),A 0 ,对称性单调性：在相邻的对称轴之间，函 f (x)单调；。函数f(X)在,2上单调，且0*2设 max| 11,2)，则 ,。4例 6.设 f (x) asin2x b cos2x, ab 0,若 f(x) f()对任 x R 成立，则117f()0;f()f()

10、；(3)f(x)不具奇偶性; 121052(4) f (x)的单调递增区间是k ,k2 (kZ)；63 存在经过点(a,b)的直线与函数f (x)的图象不相交.以上结论中正确的是.倒 7户“ f (x) 4cos( x )sin x cos(2 x )( 0)63求f (X)的值域；若f ( x)在区间3 "为增函数，求的最大值.的取值范围.2变式1 .已知函数f (X) 2sin x( 0)若f (x)在,上递增，求43例8,若f (x) sin( x 3)(0),f(6) f()且在(，)上有最小值无最大2值，皿题型2根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图

11、象，求函数解析式。思路提示】由图象求得y=A sin ( co x + cp) ( A>0 co>0)的解析式一般不唯一 ,只有限定<p的取值范即图象上升时围，才能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点与横轴的交点）为X0，第二点（即图象最高点）为x，第三点（即图象下降时与横轴的交点）为X，第四点（即图象最低点）为3，第五点2即图象上升时与横轴的交点）为例 9,函数 f (x) Asin(2 x )(A,R）部分图象如下图所示，则f （0）（）A. 1 B220,0)部分图象如下图所示、则f(0)变式2.f (x) Acos( x )部分图象如下图所示，f

12、(2)23,则 f(0)f ( x)的解析式。例10.已知函数f (X) Asin( x )(A 0, 0,| | )部分图象如下图所示，求变式 1 .已知 f (x) cos2( X )(为常数），如果存在正整数和实数使得函数f（X）的图象如图所示（图象经过点（1,0 ），求 的值.方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求函数解析式。3例11 .已知函数f(x)sin(x)(0,0)为R上的偶函数，点(,0)是其一对称心，4且函数在 血上单调,求函数f (x)的解析式。变式1 .已知函数f ( X)4sin( x )( 0,0且经过点(。,2)，求函数f (x)的解析式。)图象的相

13、邻两条对称轴的距离为23题型3：函数的值域（最值）【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、化归为 余弦函数的有界性，般是通过三角变换下列基本类型处理：(1)y asinx b at b,sin x t 1,1;(2)y asinxbcosx 2 c ab2 sin(x) c,tan(3)y 2 asinx bsinx cat2 bt y acos2 x bsinx c y at2 bt acos2x bsinx c2at 吃 bt(4)y a cosxsin x b(sin x cosx)c,sin x t 1,1;(a c),sin x t 1,1;(a c),sin x t 1,1;t

14、2ic a bt (a c),sin x cosx t 2, 2; a11 bt (a c),sin x cosxy acosx sin x b(sin x cosx) ct2, 2;(5)y asinx b与y asinx b根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可CSin X d ccosx d用不等式法求最值，更可用数形结合法求最%都必须要注意sin X、cosx的范围。例12,函数f(x) sin x cos x的最小值是()11A. 1 B.C. D.122变式1 .函数sinxcos(x)的值域为(f(x)A.2,2 B,3, 3C.1,1D,变式2.函数f(x) sin

15、2x 3sin x cosx在区间,上的最大值为(42A.1B.13 C322例13,函数f(x)A.7 B.2 34sin( x)32C.53sin(x)的最大值为(6D.4变式1.求函数f(x) COS(X 2)2cos2 2X的值域.变式2.求函数f cos(2x ) (x)2sin( x )sin( x 4)(x12 , 2 人填42例 14,求函数 f (x) 2cos 2x sin2x 4cos x 的最值.变式1.求函数f COS2 x sinx(|x|)的最小值.(x)4变式2,求函数fsiMx(x)a。盆x 5a 3(0 * 2)的最大值.变式3.若sin2 x cos x

16、a 0有实数解，试确定 a的取值范围变式4.若关于x的方程cos2xsinxa0在（0,上有解，则a的取值范围是（）55变式5若关于x的不等式cos2x sinxa0®0,上恒成立，求a的取值范围.）5下列结论中正确的是（）sin x 1 例15,对于函数f(x) sinx1(Ox sin xA.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值和最小值D.无最值变式1.求函数3 8sx的值域.2 sin x变式2.若4X2,求函数y tan2xtan3 x的最大值.0)的图象.y变为原来的a倍题型4：三角函数图象变换思路提示】由函数V sin x的图象变换为函数y A sin( x

17、) b(A,途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)向左平移个单位X,，屈期y sin x y sin(x ) y sin( x )向上平移b个单位y Asin( x ) y Asin( x ) b ；途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。x变为原来的向左平移个单位y sin xsin x向上平移b个单y Asin( h 位y A sin( x平移口 左加右 上加卜减不至管、y变为原来的A倍ysin( x)b.、b的正负，注意先弄清楚由谁平移到2倍(纵坐标不变)，例16.把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是()变式1 .为得到函数y C0S(2x )的图象，只需将函数y sin 2x的图象(A.向左平移5个单位 12C.向左平移§个单位 63B.向右平移5个单位 12D.向右平移5个单位 6变式2.已知f (x) sin(x),g(x) cos(x ),则 f ( x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.是由g(x)的图象向左平移个单位得到的2D.是由g( x)的图象向右平移个单位得到的21例17.函 数 f