常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析专题18直线和平

1、第18讲:直线和平面所成的角的求法【考纲要求】能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题。【基础知识】、直线与平面所成的角的定义平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和平面所成的锐角，如果这条直线垂直于平面，直线和平面所成角是直角，如果直线和平面平行或 直线在平面 内,直线和平面所成的角就是零度。二、直线和平面所成角的范围当直线在平面内或和平面平行时，直线和平面所成的角为 错误!未找到引用 源。，直线和 平面垂直时,直线和平面所成的角为 错误!未找到引用源。，斜线和平面 所成的角为 错误!未找 到引用源。所以直线和平面所成的角的范围错误!未找到引用源。三、直线和平面所成的角

2、的求法方法一:（几何法找错误!未找到引用源。作（定义法 错误!未找到引用源。证（定 义错误!未找到引用源。指错误!未找到引用源。求（解三角形，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形。方法二:（向量法 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。是直线 错误! 未找到引用源。的方向向量，错误!未找到引用源。是平面的法向量，错误!未找到 引用源。是直线和平面所成的角。=错误!未找到引用源。四、求直线和平面所成的角体现的是数学的转化的思想 ，就是把空间的角转化【方法讲评】 方法一 使用情景为平面的角，再利用解三角形的知识解答。几何袪直a和平面所成的角存在或比较容易作出找T作

3、t定义法）T证t定义）T指（B三代妙）例1如图，在五棱锥P ABCDE中，PA丄平面ABCDE , AB / CD ,错误!未找到引用源。ABC =45°, AB =2错误!未找到引用源。,BC腰三角形.（I求证：平面PCD丄平面PAC ;（U求直线PB与平面PCD所成角的大小；求四棱锥P ACDE的体积.解:（I证明：因为错误!未找到引用源。ABC =45°, AB =2所以在错误!未找到引用源。中,由余弦定理得:错误!未找到引用源。，解得错 误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，又PA丄平面ABCDE ,又PA错误!未找到引用源。，所以错误

4、!未找到引用源。，又AB / CD ,所以错误!未找到引用源。，又因为CD匚平面PCD-所以平面P丄平面血:1:1（U ）由t I ）知平面血L平面岛& 翩在平面月纭内，讨七A作AH ：-于a则AH_平面FCD,又 Mm 奶X平面FCD内，所以腼平行于所以点亠若平面PCD的距离等于盘B a平面PCD的距离，过点B作DO丄¥fF?CD于点仙WJZPBOhlhl樋求氟且AH=BO.又窗痢AZ即加。=3。爲磁直纯 拠与平面PCS所成角的大小为301另黑（11）因为为等睡三角形.所以错误!未找到引用源。又错误!未找到引用源。，所以点 错误!未找到引用源。到平面 错误!未找到引 用源。

5、的距离等于点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离.由错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。故错误!未找到引用源。边上的高为2,即点错误!未找到引用源。到平面的距 离,即点点错误!未找到引用源。到平面 错误!未找到引用源。的距离为2.设直线 错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成的角为 错误!未找到引用 源。，则错误!未找到引用源。又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。.（m由（I知错误!未找 到引用源。，所以错误!未找到引用源。又AC / ED ,所以四边形ACD E是直角梯形,

6、又容易求得 错误！未找到引用源。，AC=错误!未找到引用源。，所以四边形ACDE的面积为错误!未找到引用源。，所以四棱锥P ACDE的体积为 错误！未找到引用源。方法二向量法使用情景直线和平面所成的角不容易作出。BC解题步骤错误!未找到引用源。建立空间直角坐标系 错误!未找到引用源。求直线错误!未找到引用源。的方向向量错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。求平面的法向量 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。代入公式错误!未找到引用源。求出直线和平面所成的角 错误!未找到引用源。例 2 已知三棱锥 P -ABC 中,PA 丄 ABC , AB 丄 AC , PA=AC=?AB , N 为

7、 AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(I证明:CM丄SN ;(U求SN与平面CMN所成角的大小.证明:设PA=1,以A为原点，射线AB , AC , AP分别为x , y , z轴正向建立空间直角坐标系如图。则 P (0,0,1 , C (0,1,0 , B (2,0,0 , M (1,0, 12 , N (1,0,0 , S (1,0 . (I 111(1,1, , (, ,0 222CM SN =-=-,因为 110022CM SN ?=-+=,所以 CM 丄 SN (n 1(,1,0 2NC =-,设a=(x , y , z为平面CMN的一个法向量,则 10, 22

8、10. 2x y z x x y ?-+=? =?=cos , 2a SN=SN与平面CMN所成角为45 °【变式演练2】如图所示，已知P在正方体ABCD A B C的对角线BD '上,/ PDA=60(1求DP与CC所成角的大小；（2?-+=?令，得 a=(2,1,-2.因为错误!未找到引用源。Ml求DP与平面AA D 所成角的大小.【高考精选传真】1. t2012高考真題湖auffi 191 （本亠、題満分12分）如图1. ZACB-A?, BCT,过动点A作Q丄血 垂工D在线没眈上且异于点R 连接A民 沿Q将A 如折起.Z5D'C = 90' （如图2所

9、示）（I）当他的长为多少时，三樹I43CD的体积最大，（fl）当三棱锥4BCD的体和屍册，设点E, M分别中点，沈在图2图1第19题图【解析】（I解法1:在如图1所示的 ABC中，设（03 BD x x =<<,则3CD x =-.由AD BC丄,45ACB / =知, ADC为等腰直角三角形，所以3AD CD x =-.由折起前AD BC丄知,折起后（如图2 , AD DC丄,AD BD丄，且BD DC D =,所以AD丄平面BCD .又90BDC / =所以11(3 22BCD SBD CD x x ?=?=-.于是1111(3 (3 2(3(3 33212A BCD BCD

10、V AD S x x x x x x - ?=?=-?-=?-12(3 (3 21233x x x +-+-? ? w? ? ? ?1. t2O12高考真題湖北a 191 C本勺罰5分12分）如图I, ZAC3 = AS. 3C=3,过动点月作Q丄SC,垂;£0在裟没昶上且占汙点 连接刖沿显t&A迥?折起，使z£Ei>c=w （in图2所示）（I ）当阳的长为环时，三棱锥眉-孔D的最大；（H）当三棱锥斗5仞的体积量圈，设点民阳帰J为棱叱”中点”沈在,于是可得(0,0, 0 D , (1,0, 0 B , (0,2, 0 C , (0,0, 2 A , (0,1

11、, 1 M , 1(,1,0 2且(1,1, 1 BM =-.设(0,0 N 则1(,1,0 2EN X=.因为EN BM丄等价于OEN BM ?=,即11(,1,0 (1, 1, 1 1022X-X? -=+-=,故 12 入=,1(0, 0 2N .所以当1DN =（即N是CD的靠近点D的一个四等分点时，EN BM丄.设平面BMN的一个法向量为（,x y z =n，由 ,BN BM ?丄？丄？ n n 及 1(1, ,0 2BN =-,得 2, . y x z x =? =-?可取(1,2, 1 =-n .(,0 22EN =-, (1,2, 1 =-n，可得1|1|sin cos(90

12、|EN EN -?= ?n n 60 0 =.故EN与平面BMN所成角的大小为60.连接MN , ME ,由计算得NB NM EB EM =第19题解答图rr所以 NMB与 EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G ,连接EG , NG ,则BM丄平面EGN .在平面EGN中，过点E作EH GN丄于H ,则EH丄平面BMN .故ENH /是EN与平面BMN所成的角.在 EGN中，易得EG GN NE = EGN是正三角形,故60ENH / =即EN与平面BMN 所成角的大小为60.2、(2012高考真题四川理19如图，在三棱锥 P ABC -中，90APB / =, 6

13、0PAB / =, AB BC CA =,平面 PAB 丄 平面ABC。(n求二面角B AP C -的大小。(I求直线PC与平面ABC所成角的大小；-oooo.直线A 1B与平面BB 1C 1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示解析CD连接0C由已皿NOC尸为直线FC与平r.M的角P设AB的中点为D,连iSPD、CD. 因为 AB=BC=CA,SftU CD丄 AB.因为ZAFB = 9f ZR毎=6L,所以为等边三角形,故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan136分（2过D作DE AP丄于E ,连接CE.由已知可得,CD丄平面PAB.根据三垂线定理可知,CE丄PA ,所以,的平

14、面角 为二面角C AP B CED由（1 知,DE=3在 Rt CDE 中,tan 2=/ DECD CED故2arctan的大小为二面角C AP B【反馈训练】1设 ABC和 DBC所在两平面互相垂直，且AB =BC =BD =a ,/ CBA = / CBD =120°,则 AD 与平 面 BCD 所成的角为（A B °C °D °2.已知长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=4, CC 1=2,则直线 BC 1 和 平面DBB 1D 1所成角的正弦值A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错

15、误!未找到引用源。3. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为060,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（A. 21 B. 22 C. 3 D. 36 4.直线AB与直二面角aI P的两个半平面分别交于 A、B两点，且A、B错误!未找到引用源。I,如果直线AB与a P所成的角分别是0 1 0 2则0 1+0的取值范围是（A.0< 0 1+0 2<n B. 2=1错误!未找到引用源。C. 0 1+0错误!未找到引用源。D.0V 0 1+0错误!未找到引用源。5.已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为 AB

16、C的中心，则AB 1与底面ABC所成角的正弦值等于（A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错误!未找到引用源。6. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（A.90 °B.60 °.45 °.30 °7. 如图在体积为1的直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，/ACB=90 , AC=BC=1.求8. 如图,在平行四边形 ABCD中,AB=2BC, / ABC=120°。 E为线段AB的中点,将 ADE沿直线DE翻折成错误!未找

17、到引用源。，使平面错误!未找到引用源。丄平面BCD , F为线段错误味找到引用源。的中点。(I求证:BF /平面错误!未找到引用源。(n设M为线段DE的中点，求直线FM与平面 错误!未找到引用源。所成角的 余弦值。9. 如图四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD丄底面，点E在棱PB上.(I求证:平面AEC PDB丄平面;(U当PD =且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小._110.在直三棱往中，GAfCB=CCi=2» ZflCEO* E、F 分另(是 Bi、砒® 中CCtB1Al是Ai上一点，且配】丄EG.(I ) BB定豈G的位ft(n)求

18、育绕AC占平面EPG所咸角a的大小.11.如图所示已知AB丄平面ACD , DE丄平面ACD , ACD为等边三角形,AD =DE =2AB , F 为 CD 的中点.(1求证:AF /平面BCE ;(2求证:平面BCE丄平面CDE ;10-在直三按tt ADC- 是AAi上一点且M(3求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】(I证明:作MN / AB交AP于N ,连结DN ,则MN/ AB / CD ,且错误!未找到引用源。 错误！未找到引用源。 C M / ND , CM/平面PAD(nv CM / ND，二ND与平面ABCD所成的角为所求.侧面PA

19、D丄底面ABCD , ND在平面ABCD上的射影为AD/ AND为所求；/ PAD是正三角形,N是PA的中点 CM与底面所成的角为300延长AD、BC交于点E ,连结P、E .则PE为所求二面角的棱 且AD =DE =PD所以,/ APE =900, AP丄PE又AB丄AD ,平面PAD丄底面 ABCD AB丄平面PAE BP丄PE , / BPA为所求二面角的平面角tan / BPA =错误!未找到引用源。所以侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan 2解 如图所示.以D为原点，DA为单位长度建立空司直角坐标系B则0. 0）. CC =（0,0,1）.D，_在平面 KB" D &

20、#39; D 中，延长 DP交D'(1因为COS错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。所以错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。=45 °即DP与CC '所成的角为45 °(2平面AA D '的一个法向量是 错误!未找到引用源。=(0,1,0.因为cos错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。,所以错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。=60 : DP与平面AA D 所成的角为30 :【反馈训练详细解析】1【作AO丄CB的延长线，连OD ,则OD即为AD在平面BCD上的射影， AO =OD

21、 =2a , / ADO =45 °. C【解析】连结 A 1C 1交B 1D 1于点O ,则C 10丄平面DBB 1D 1.连结OB,则/ C 1B0即为所求.BC 1=错误!未找到引用源。=20,C1O=错误!未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，二sin/ C 1BO=错误味找到引用源。.故选C.3.C【解析】构造正方体如图所示，过点C作CO丄平面PAB ,垂足为O ,则O为正 ABP的中心，于是/CPO为PC与平面PAB所成的角。设PC=a则PO=a PD 332=，故 3cos =/ PC PO CPO 即选 C。4Kf析】：过点A在平面a内作AC丄1交1

22、于点G连结0(则AC丄矢ZABO0；.过点B在&内作BD丄1交1于点必连结业则BD丄a,ZBAI>=0 t-DnD广Vsio0i=<-BJtS且仅当G D重合时齐弓成立hAB ABTT又Q x,90*角为锐角，/- a -%即0尹日二,又丁 B 1+ e ,>0,故D正囁.答案:D5.B【解析】：如图，连结A 1B和AB 1交于点O'取OB的中点E ,连结O' E,则O E昔误！未找到引用源。A 1O,4Dt鱒析】：过点A在平面ZABC=0 二.过点H在p内作HD丄1交丄 /- ZB1D= 0 I.O' E平面ABC.连结AE, / O AE即

23、为AB 1与平面ABC所成的角. AO=BO,又 A 14-D:过点A在平而a内作QLl交1于点G连结眄则M丄比A ZABC0；-过点B在B内作HD丄丄交1于点必连结AD,则血丄a, 二 ZBAI>0RDA=AB, DO丄平面ABC. / DBO为BD与平面ABC所成的角./ DBO=45 .答案:C AA 1=CC1=2.连结 BC 1. A 1C 1 丄 B 1C 1,A 1C 1 丄 CC 1, a A 1C 1 丄平BB 1C 1C./ A 1BC 1是直线A 1B与平面BB 1C 1C所成 的角.又BC仁错误!未找到引用源。C平面BB 1C 1C的法向量为n =(1,0,0.设

24、直线A 1B与平面BB 1C 1C所成的角为0错误味找到引用源。与n的夹角为©-.51110 =1 co j4> I二® 二arcsiu6 6故巒a与Tffi BB廖所卿的大小为arg当8.【解析】（I证明:取A 的中点G,连结GF , CE，由条件易知FG / CD , FG =错误!未找到引用源。CD . BE / CD , BE =错误!未找到引用源。CD .所以FG / BE , FG =BE .故四边形BEGF为平行四边形，所以BF / EG错误!未找到引用源。因为错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。BF错误!未找到引用源。平面 错误!未找到引用源。

25、，所以BF/平面 错误!未找到 引用源。（n解:在平行四边形，ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a,连CE ,因为错误!未找到引用源。在 BCE中，可得CE =错误!未找到引用源。a,在 ADE中可得DE =a,在 CDE 中，因为 CD 2=CE 2+DE 2,所以 CE 丄 DE ,在正三角形A' DEP, M为DE中点所以A' ML DE .由平面A ' DEL平面BCD ,可知A ' ML平面BCD , A ' ILL CE .取A '的中点N ,连线NM、NF ,所以NF丄DE , NF丄A ' M

26、 .因为DE交A ' MF M ,所以NF丄平面A ' DE则/ FMN为直线FM与平面A ' D新成角.在Rt FMN中，NF =错误味找到引用源。a, MN =错误味找到引 用源。a, FM =a,则cos错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.所以直线F M与平面A ' D所成角的余弦值为 错误!未找到引用源。则 cos*=I AB 11 n22-.a I A i "胚 a .、馬sin " =|cosT 1=J o =3rcsin.6 6故宜“与预*所彌映、为s详 OE /PD,OE PD=又；PD ABCD丄底面, OE丄底面

27、ABCD , OE 丄 AO ,在 Rt AOEOE PD AB AO = 45AOE ?/ =,即AE与平面PDB所成的角的大小为45?.t解袪2】如S, UAd为原点建立空间直角坐标系D-桦，设 乂毎=a. PD = h.（IV（, ,0, 0,0, , , ,0AC a a DP h DB a a =-= 0, 0AC DP AC DB ? =?=, AC 丄 DP,AC 丄 DB, A AC 丄平面 PDB ,平面AEC PDB丄平面.（n当 PD =且 E 为 PB的中点时，（11, , 22P E a a? ? ?,设 ACn BD=O,连接 OE ,由（I知AC丄平面PDB于O

28、,/ AEO为AE与平面PDB所的角,V 11, , , 0,0, 2222EA a a aEO ? ? ? ? , cos EA EOAEO EA EO ? / =?, 45AOE ?/ =即AE与平面PDB所成的角的大小为45?.10. 【解析】.解法一 :(I以C为原点分别以CB、CA、CC 1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 F (1, 0, 0 , E (1, 1,0 , A (0, 2, 0 , C 1(0, 0, 2 ,错误!未找到引用源。设G (0, 2, h则错误!未找到引用源。 -1 >0+lx(-2 +2h=0. h=1,即 G 是 AA 1 的中点.(U设 错误!未找到引用源。 是平面EFG的法向量，则错误!未找到引用源。所 以错误!未找到引用源。 平面EFG的一个法向量m=(1,0, 1错误!未找到引用源。：3 =巴、即AG与平面ETC所咸角0为一6 6Cl孕At?- *解挂二(I )取