冈萨雷斯_数字图像处理第3版第4章习题4.16-4.43

1、4.16证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的 首先列出平移和旋转性质：f(x, y)ej2 (u0x/M v0y/N)F(u U0,v /) (4.6-3)f(x X0, y y。)F(u,v)e j2 (X3r/M y0v/N) (4.6-4)旋转性质：x r cos , y r sin , u cos , v sinf(r, 0) F( ,0)(4.6-5)证明：由式(4.5-15)得:3伏工»把屋醴曲必+9叫二 Z Z f(xry)e+?一/2北("重/屈+"17.)由式(4.5-16)得:3T f/MG2dz依次类推证明其它项。J=fl J=O

2、M-1JV-1x=D=0F(W - E加.-哂I AY-1N 1加2区出“,0eT"(MuM=0 v=0x ej2n(ux/M-uy/N)M-ylh-Nj府与空uMX ej 2n1(it (x -x)/M+ r(y-)/V)f(x-xy-y4.17由习题4.3可以推出1(u,v)和(t, z) 1。使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数f(t,z) Acos(2 u0t 2v0z)的傅里叶变换是一 、A.，、F(u,v) - (u 4，v v°)(u U0,v v0)证明:F(u,v)f (t, z)e j2 (utvz)dtdz2 A2 A2A(uAcos(2

3、u0tej2(u°t v0z)j2 (u°t wz) eUo, vVo)(uUo, v4.18证明离散函数f(x, y)证明：离散傅里叶变换F(u,v)1 N 1f (x, y)e0 y 0如果u0,1 1j 2 (ut vz)2 v0z)edtdzj2 (u°t v°z)j2 (uteeA /、(u u0,v v°)2v°)(u u°,v1的DFT是1(u,v)j2 (ux/M vy/N)M1dtdzj2 (u°t v)z)j 2 (ut vz)ee dtdzVo)1,u v0,其它x 0 y 0M 1 N 1e

4、x 0 y 0j2 (ux/M vy/N)j2 (ux/M vy/N)M1x1cos20(ux/ M vy/N) jsin2 (ux/M vy / N)11cos20(ux/M vy/N), cos2 (ux/M vy/N)的值介于卜1, 1,可以想象,M1x1cos20(ux/M vy / N) 0,虚部相同，所以1(u,v)1,u v 00,其它4.19证明离散函数cos(2 u0x 2v°y)的 DFT 是1 rF(u, v) - (u Mu0, v Nv°)(u Mu0, v Nv。)证明:M 1 NF(u,v)1j2 (ux/M vy/N)f (x, y)e0MI

5、NIcos(2 UoXx 0 y 0v°y)ej 2 (ux/Mvy/N)M 1N 12ej22 x 0 y 0(uqx y)j2 (u°x v°y)j 2 (ux/M vy/N)e 0 eM 1N 12 ej22 x 0 y 0(u°x voy)eMj2 (ux/M vy/N)j 2 (u°x v°y)j 2 (ux/M vy/N),eM 1N 1ej21N(Muqx/M Nv°y/N)j2 (ux/M vy/N)ej2 (Muqx/M Nv°y/N)j2 (ux/M vy/N),e2 (u Muq, v Nvq

6、)(u Muq, v Nvq)4.20下列问题与表4.1中的性质有关。 (a)证明性质1的正确性。 (b)证明性质3的正确性。(c)证明性质6的正确性。 (d)证明性质7的正确性。(e)证明性质9的正确性。(f)证明Tt质10的正确性。 (g)证明性质11的正确性。(h)证明性质12的正确性。(i)证明性质13的正确性。表4.1二维DFT及其反变换的某些对称性质“印u, V）和uM分别是Fiu.v）的实吝联口虚部7术语复函数指出一个函数有非零实部和虚部空间城股率域，3)4)5)6)7)田4)10)11)/（A V）麻函数 G/（Aty）实函数 = 外小尸）虚的数 =/（一二-芋）实函数 0/口

7、£-）复函数 0/*（司功篁函数 = 八匕.刃实函数和偶函数 = ff¥._V）突函数和奇函数 = f*.F）冷函数和偶函数 = fiy）虑函敕和奇函较 o fq._v）复函数和儡函数 0 /（匕用且函数和奇函数 0F *（”,/） F（n）F *= -Fu. v）阳Hja）假函数;/（W,V）奇函数 R（U.V）力函数:7（UhV）偶函数 产气如甘）复函数F（T,f）熨函数 复函数F（w.vi实函数和偶函数 Rmj虚函数和奇函数 F（出门虚函数和科函数 Fg）寰函数和奇函数F（u,v）复函数和偶函数 四明门复函数和奇函数，回忆时加.印"是离散（整数）壑货.1和口

8、在区间©MTj内, y和卡在区间以N-" 内一称一个发函数是偶函数就i味着其实部和虚郡都是阳函数.称 个复函数为奇函数同样更味 苕苴实部和虚郤都是价函数（a）当f（x,y）为实函数,则*M 1N 1F(u,v)f(x,y)exp( j2 ux/ M vy/ N )x 0 y 0M 1N 1*f(x,y)exp(j2 ux/M vy/ N )x 0 y 0M 1N 1f (x, y)exp( 2 u x/M v y / N )x 0 y 0F( u, v)（b）当f（x,y）为实函数,则F（u,v）*R(u,v) jI(u,v)和 F(u,v) R(u,v) jI(u,v)并

9、且 F( u, v) R( u, v)*jI( u, v)。而且F(u,v) F( u, v),所以可以得到:R(u,v) jI(u,v) R( u, v) jI( u, v),便是 R(u,v) R( u,v)为偶函数和I ( u,v) I ( u, v)为奇函数。当f( x, y)为复函数，由下式得：M 1N 1f ( x, y)f ( m, n)exp( j2 um/ M vn / N )m0n 0*M 1N 1 *f (m,n)exp( j 2 um/ M vn/ N )m 0n 0*F (u, v)所以得证；*(d)当f(x,y)为复函数，由下式得：*M 1N 1*f (x, y)f

10、 (x,y)exp( j2 ux/ M vy/ N )m0n 0M 1N 1f ( x, y)exp( j 2 ux/M vy/N )m 0n 0*F ( u, v)所以得证； (e)当f(x,y)为实函数、奇函数，则F(u,v)的实部为0,即为虚数，且也是奇数M 1N 1F(u,v) f( x, y)exp( j 2 ux/ M vy/ N ) x0y0M 1N 1f ( x, y) exp( j 2 (ux/ M ) exp( j 2 vy/ N ) x0y0M 1N 1 odd even jodd even jodd x0y0M 1N 1M 1N 1M 1N 1odd even 2 j

11、even evenodd evenx0y0x0y0x0y0由式可知，为虚数。当f(x,y)为虚函数、偶函数，由下式得：F(u,v)M 1Njg(x,y) exp( j2ux/ M ) exp(j2 vy/ N )x0yM 1Njeven evenjoddeven joddx0yM 1Njeven eveneven2j even oddodd oddx0yM 1Neven even x0y01N 1even odd0y0M 1N 1j even even x0y0M 1N 1f( x, y)exp( 2 ux / M vy/ N ) x0y0所以F(u, v)为一虚数。(g)当f(x,y)为虚函

12、数、奇函数，由下式得:M 1N 1F( u,v)joddx0y0M 1N 1 jodd even x0y0M 1N 1j odd even x0y0可知，结果为一实数。even even 2 j evenjodd even joddM 1N 12 even even x0y0odd1Nodd odd1odd even0y0(h)当f(x,y)为复函数、偶函数，由下式得:f(x,y) f re(x,y) jM 1N 1f ie(x,y)F(u,x)f re(x,y) j f ie(x,y) exp(j2ux/ M vy/ N )x0y0M 1N 1f re( x, y )exp( j2 ux /

13、 M vy/ N )x 0y 01N 1f ie( x, y ) exp( j2 ux / M vy/ N )x0y0由式子可知，前项为实数，而后项为一纯虚偶数 (i)当f(x,y)为复函数、奇函数，由下式得：M 1N 1F(u,v)f ( x,y) j f (x,y ) exp( j2 ux/ M ,vy/ N )roiox0y0M 1N 1M 1N 1f ro( x, y )exp( j2 ux / M vy/ N ) j f io( x,y ) exp( j2 ux/ M vy/ N ) x 0y 0x 0y0由式子可知，前项为一偶实函数，后项为一纯虚奇数。4.21 4.6.6节中在讨论

14、频率域滤波时需要对图像进行填充。在该节中给出的图像填充方法是，在图像中行和列的末尾填充0 值 (见上面的左图)。如果我们把图 像放在中心，四周填充0值（见上面的右图），而不改变所用0值的总数，会有区 别吗？试解释原因。答：如下图所示Ath）（j）国4.% 左边：两个离散函数的套积n右边:相同函数的卷积，考虑DET周 期性的应用口注意在（D中邻近周期的数据如何混漕卷积结果观察上图，左图是正确的结果，右图是 缠绕错误”引起的卷积错误。这个缠 绕错误出现的原因在于没有对图像进行填充， 只有通过填充之后获得适当的间距 才能得到正确的卷积结果。关键在于得到 适当的间距”，左右两种填充可以得到相同的结果。

15、 4.22同一幅图像的两个傅里叶频谱如右图所示。左边的频谱对应于原图像， 右边的频谱图像使用0值填充后得到的。解释右图所示的谱沿垂直轴和水平轴方 向的信号强度显著增加的原因。答：除非原图像中所有的边界都是黑色的，用0值填充图像的边界将不可避免地在图像的一条或多条边界上引入灰度值变化的不连续性，即新增了水平边界”和垂直 边界"，边界”意味着高频分量，所以，对应到频域中，我们看到了沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的现象。4.23由表4.2可知DFT的直流项F(0, 0)与其对应的空间图像的平均值成正比。假定图像尺寸是M N o假如对图像进行0填充后，图彳a的尺寸为P Q,其中P和Q

16、分别由式(4.6-31)和式(4.6-32)给出。令Fp(0, 0)代表填充后的函数的 DFT的直流项。 (a)原图像平均值和填充后图像平均值的比值是多少？(b) Fp(0, 0) F(0, 0)吗？假设从数学角度回答。解：(a)图像灰度平均值的计算：M-1 jV -1f(xfy) =诉/=o y=Q所以p_Q_1fP(xty)而 £Z%(x，y)Y xOy=07 x0 y=0MN -原图像平均值和填充后图像平均值的比值是(b)是的，它们相等。解释: 我们知道F(O,O) = MN/(x,y)%(O,O) = PQfp(x,y)结合(a)的结论，可以证明。4.24 证明表4.2中的周

17、期性质(性质8)表4 2 DFT定义及相应表达式小结名 称表达式”小工钟的胤敌现甲叫变掷DHro E母广加的离港佛里时辰为换IDFTMN二M3堤小近表示FU. v）-尸1%助一出犯4)潸IF (h.vX 二记"附1。+ 尸 Ur) RbReilD: J = lmaptF)却钳解Jiw.r'(M tLT 1 = 口tv JH 用"/ 1付的率请热HE I« Fbt.ri-?）均值 v "i/1£ Y)V V F Ltd . 'Mt_B）周神依和身为整粗jFWM n +A.A/.TJ - F4* J*&二f (m/( J.

18、j) jf(x+ t| iW , v( /(X-¥ + k'N W f (x +jtjiV, >)*程甥Ai -I |V-I/t.、vl*布 丫卜=E 工V-ifr)<110）相美W-H-ly) = £ £ / (fflf. n 麻3 / 冰 y + “1it)二rt DFT时以附曳件图憎的仃划："首%所也痪.忧后沿清果的砥£ 库变撞D&4JLI节n） C用正变捶粉彼得制蟒甲叶反多,奥修整二一” ££尸由山口2L 1 Hpa l4-r港式指出，将门N人计尊正叁换的苒诙门忒右他,中.有叫科MNFU.

19、 ； 麻乜共网什恸/WW就可G；H麻甲的网穴抑 V.4.1I ? .证明：离散傅里叶变换F(u,v)f (x, y)MN uj2 (ux/M vy/N)f(x, y)e J '01j2 (ux/M vy/N)F(u,v)eF(u kM,v)f (x, y)e j2(u %M )x/M vy/N1f(x, y)e0j2ux/Mkx vy/N f(x, y)e0j2(ux/Mvy/N) j2 kxe1f(x, y)e0j2(ux/Mvy/N)0F(u,v)MINIF(u,v k?N)f (x, y)ex 0 y 0j 2 ux/M(v kzN)y/NMINIf (x, y)ex 0 y 0

20、MINIf (x, y)ex 0 y 0MINIf (x, y)ex 0 y 0j2 ux/M vy/N k2yj2 (ux/M vy/N) j2 k2yej2 (ux/M vy/N)F(u,v)其它证明类似。4.25 下列问题与表4.3中的性质有关。 (a)证明一维情况下离散卷积定理的正确性。(b)对于二维情况，重复(a)(c)证明性质9的正确性。(d)证明性质13的正确性。(注意：习题4.18、习题4.19和习题4.31也与表4.3有关)表43 DFT对的小结 第12项和第13项中的闭合表达式仅对连螳变量樗 效一通过对闹合影式的连续表达式取样后、它们也可用于西散变量名称OFT fl1)见表

21、4一2)钱件用甚11f九J" C 口'面,*1| *力与旧力3)科维停)八3¥讪鼠仃前v0E时4)平昨回粒利不的中工小心小门1点/UrX-lL' 0 r(U-lf Z2,M-V/2人上心< F2,T-用/好0f &以-1广5)旋转1/恒的日u血ie5/1毕- 一松解昵电八4 > )*AU, v) O/f 1用F幽工 jrj07)相关定Lt门+用 i. V * F ifl »«)离荒单位冲激19)蚯形端trreel 口/| e* u疟加%汨厘(Mml tmbhkd iEttm"加茄m+ *”2 + *端一加&q

22、uot;一N%)名 称 ._ _旷V；余晟落数L 2Ml + 2x1-1y) »!|捅面+ M叫卜 r * N'J + 占(闻 *仙5* = N* “i-!K琳蟆Nf晔壹及时推导.力比除鹏帆期j和；K卡网变时 f" 和新浏霹变M 一概蝎何收悍G二W也聚回用产DFT处理、就才建地的表山隈定/HJ = u ：停图加4-M"山):珀方沙色-1-es t iljtjtf1；1j2xvF(p.v)Jr去”:MJA0"(4 是#出it电速超由就亡部过。埴先向册列/犷履珞祖和烟工一星站台曲一出用汁"i：川“证明：(a) 一维情况下离散卷积定理的证明

23、由(4.4-10)以及一维离散傅里叶变换的定义可知M 1f(x)*h(x)f(m)h(x m) (4.4-10)m 0一维傅里叶变换:M 1F(u) f (x)e j2 ux/M ,u 0,1,2,., M 1(4.4-6)x 0M 1(4.4-7)1j2 ux/Mf (x)F (u)e , x 0,1,2,., M 1M u 0Vf-lx=oAf-l Af-l=zz/(m)h(x x=O m=OM-Ml=2Mg/m?n=Ox=O而：MIZ m)ej2r:ux/M = 3h(x - m) = H(_u)ej27imu/Mjc=0所以:M-l3 fWhW = Z f(m)e-j2nmu/MH(u

24、)=F(u)Hku(b)由(a)可知MT NT£ £ f(x,y ' 十叩/N)x=0 y=0M- N-1zzf(mrn h(x mty - n=(J «=0Af-1 N- sz jr=O y=0Xg-/27r(h/M+叩/N)mry n)£工/(加川£矛(父一 m=0 "=0x=0 y=0X©J24 HK/M+uy/N)AJ-1 N-izz/( m, 02-W m wW/N)H(心功m=0 “=0F(utv)H(ufv(c)矩形波recta, b的傅里叶变换:性质 9recta,b absin( ua) sin(

25、ub)e阳") ua ub(d)证明性质13的正确性。2 222222性质 13 A22e2 (t z) Ae(uv)/24.26 (a)证明连续变量t和z的连续函数f(t, z)的拉普拉斯变换满足下列傅里叶变换对拉普拉斯变换的定义见式(3.6.3):2 -222 _f(t,z) 4 (u v )F(u,v)(提示：研究表4.3中的性质12并参阅习题4.25(d) (b)前面闭合显示的表达式仅适用于连续变量。然而，使用 M N滤波器 222H(u,v) 4 (u v )它可能是离散频率域实现拉普拉斯的基础，H(u,v) 4 2(u2 v2), u 0,1,2,，M 1 , v 0,1

26、,2,，N 1 o解释您怎样实现这个滤波器。(c)正如您在例4.20中看到的那样，频率域的拉普拉斯结果类似于使用中心系数为-8的空间模板的结果。请说明频率域拉普拉斯结果与中心系数为-4的空间模板的结果不同的原因。(a)证明：由第3章可知，两个连续变量的拉普拉斯函数f(t,z)定义为/A驾竽G IC根据表4.3中的性质12,可得拉普拉斯函数的傅里叶变换为3 铲小匐=§ 帘+3 驾呵1at1dzL'J=F(p,v) + (J2nv )2 F(p,v)=-4荷/ +吟F(my).得证。(b)答：由前面的推导可以看出，拉普拉斯滤波器适用于连续变量。对离散傅里 叶变换，我们可以通过对拉

27、普拉斯函数进行采样来构造相应的滤波器：”)二一4冗2(小十六)其中，u 0,1,2,., M 1 , v 0,1,2,., N 1 0当傅里叶变换是圆形形式时，频域的拉普拉斯滤波器可以表示为H(x,“) = -4冗2(也-M/22 + v - N/2总之，对空域和频域之间的变换，我们使用以下拉普拉斯傅里叶变换对：八* -47T2(h M/22 + v - N/2 iF(u, v)核心思想是：离散的拉普拉斯傅里叶变换是通过对连续的拉普拉斯傅里叶变换进行采样得到的。(c)由于拉普拉斯变换是各向同性的，如果空域中的模板包含了对角分量，则拉普拉斯变换的对称性的近似程度更大。所以，相比于中心系数为 -4

28、的空间模板，中心系数为-8的空间模板更加类似于频率域的拉普拉斯结果。 4.27考虑大小为5 5的空间模板，它平均与点(x, y)最靠近的12个邻点，但平 均值排除该点本身。(a)在频率域找出与其等价的滤波器H (u, v)(b)证明您的结果是一个低通滤波器。解：为了节省时间，以下不用5 5,而根据英文版习题答案进行回答 空域的均值(中心点除外)为以/)= 1 f(x.y + l) + f(x+lty) + f(x - l,y) + /(xfy - 1) 4由表4.3中的性质3可得:£ 小”/¥+ 炭如"时 + e-j2u/M f e-j2zv/N utr)其中/(

29、 UjU) = - cos(27Tzz/M) + COS(2fTP/Af)(b)为了解释这是一个低通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式(以 廿)=; cos(2ttu + cos(2jtp N/2/N为了便于解释，我们先考虑一个变量。当u从0增加到M-1时，cos(2 u M /2/ M)的值从-1增加到1,又从1减小到-1,当u M / 2时，达到最大值1。因此，越远离中心点，该滤波器的值越小，这就是低通滤波。4.28 基于式(3.6.4),近似二维离散微分的一种方法是计算形如f(x 1, y) f(x 1, y) 2f(x, y)和 f (x, y 1) f(x, y 1)的差。(a

30、)在频率域找出与其等价的滤波器 H (u, v)。(b)证明您的结果是一个高通滤波器。(a)解：根据离散傅里叶变换 DFT的定义和表4.3性质3可得f (x 1,y) f (x 1,y) 2f (x, y) ej2u/MF(u,v) ej2u/MF(u, v) 2F(u,v)所以f (x 1,y) f (x 1,y) 2f (x, y)H(u,v)F(u,v)其中j2 u/M j2 u/M cH (u, v) e e 2 2cos(2 u/M) 1(b)为了解释这是一个高通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式H(u,v) 2cos2 (u M/2)/M 1当u从0增加到 M-1时，cos2

31、 (u M /2)的值最初为-1,在u M /2时为1,在 u M 1时为-1, H(u, v)的值从-4变到0,再从0变到-4。所以，越靠近中心点，H(u,v)的幅度越小，因此，这是一个高通滤波。4.29 找出一个等价的滤波器 H (u,v),它在频率域实现使用图3.37(a)中的拉普拉斯模板 执行的空间操作。解：滤波函数如下：) = f(x + l»y)+/(x - Ly)+f(xty +1)+f(xt y -1) - 4/(x,y)正如4.28,= H(ut y)F(ut v)其中，+ e-j2nu/M + e-j2JN _ 4= 2cos(2nu/M) + cos(2nv/N

32、)-2.将频率转移到中心点，H(utv) = 2 cos(2 u - M/2 /M) + cos(27r N/2/N) 2 当 5M = (M/2,N/2)时H5M = 0。 越远离中心点，廿)的 幅度越大。最重要的一点在于：直流分量被滤除，保留了高频分量，所以这是一 个高通滤波器。4.30 您能想出一种使用傅里叶变换计算 (或分部计算)用于图像差分的梯度幅度 见式(3.6-11)的方法吗？如果您的回答是可以，那么请给出一种方法去实现它。 如果您的回答是不可以，请解释原因。答：M(x, y) mag( f). g2 g；(3.6-11)无法通过傅里叶变换进行上式的计算， 因为傅里叶变换是一个线

33、性过程，而该式 中涉及到平方和平方根等非线性计算。我们能够利用傅里叶变换计算差值，但是, 不能用其处理平方、平方根、绝对值等运算，只能在空域里面处理这些运算。 4.31在连续频率域中，一个连续高斯低通滤波器有如下传递函数：H(u,v)2 22、Ju v ) e证明相应的空间域滤波器是h(t, z)e22(t2z2)证明:We want to show chatThe explanation will be dearer if we start with one variable, We want to show that, ifthenh(t)We can express the integr

34、al in the preceding equations as/2(f)=Making use of the identity in The preceding integral yieldsf,OOp点/一/mr/r TZjO2。* Hl 4 口J-0'2Next, we make the change of variables r = *一 j2;rcr?r. Then, dr = di and the preceding integral becomes倒包注h(rj = e 2J-CKFinally, we multiply and divide the right side

35、 of this equation by /STrcand obtain2)=而“-" 焉The expression inside the brackets is recognized as the Gaussian probability density function whose value ironi -oo io oo is 1. lThereibrehh(t)=ae-22tWith the preceding results as background, we are now ready to show that=衣卡+M2=42m%I/ f ,+*.By substi

36、diting directly into die definition of the inverse Fourier transform we have:£(一事一I-he integral inside the brackets is recognized from he previous discussion to be equal Lua-r Then jhe preceding integral becomeshttz) = Ay/27t(ye-ocWe now recognize ihe remaining integral to be equal to y/2n<j

37、e2zZij2z from wliicli we have the final result:=42m5纭尸俨/L4.32 如式(4.9-1)说明的那样，从低通滤波器的传递函数得到高通滤波器的传递函 数Hhp是可能的:H HP 1 H LP使用习题4.31中给出的信息，回答空间域高斯高通滤波器是什么形式?解：对Hhp进行傅里叶反变换得_ 2,22、hHP(t,z)(t, z) e ( z)4.33 考虑右侧所示的图像。右侧的图像是通过如下步骤得到的：（a）用（1）（xy）乘 以左侧的图像；（b）计算DFT; （c）取该变换的复共轲；（d）计算反DFT; （e）用（1）（x y）乘以结果的实部。

38、（从数学上）解释为什么右边的图像会出现该现象。证明：取共腕的傅里叶逆变换:f (x, y)MINII_* j2F(u,v) eMN u o v o(ux/Mvy/N)M 1N 1MNu0v0F(U,V)ej2 (ux/M vy/N)*j2 (ux/M vy/N)1 M 1N 1F(u, v)eMN u 0v 0v( y)/NM 1N 1F(u,v)ej2 u(x)/MMN u 0v 0f ( x, y)所以变换后的图像与原图像关于原点对称。4.34 图4.41（b）的水平轴上近似周期性的亮点的来源是什么？答：这些亮点的来源是左图中左下角等间距的垂直线条。 4.35图4.53中的每一个滤波器在其

39、中心处都有一个很强的尖刺，解释这些尖刺的来源。答：这是由于高通滤波器的频域表示为Hhp 1 Hlp式中的1,逆变换会空间与是一个冲击响应（x, y）,因此，空域上的中心处出现了一个尖刺。4.36 考虑下面所示的图像。右边的图像是对左边图像用高斯低通滤波器进行低 通滤波，然后用高斯高通滤波器对其结果再进行高通滤波得到的。图像大小为 420 344,两个滤波器均使用了 Do 25。（a）解释右侧图像中戒指的中心部分明亮且实心的原因，考虑滤波后图像的支配特性是物体(如手指、腕骨)的外边界上的边缘及这些边缘之间的暗区域。换句话 说，您并不希望高通滤波器将戒指内部的恒定区域渲染为暗色，因为高通滤波消除了

40、直流项？(b)如果颠倒滤波处理的顺序，您认为结果会有区别吗？答：(a)如果只进行高通滤波，戒指的中心是黑色的。然而，通过低通滤波，我 们将黑色中心区域平均化。最终结果中戒指如此明亮的原因在于， 戒指边缘的灰 度不连续性比图像中其它任何部分都大，因而对显示结果影响最大。(b)由于傅里叶变换是线性的，先后顺序对结果没有影响。4.37 给出一幅大小为M N的图像，要求做一个实验，实验所用截止频率为Do的 高斯低通滤波器重复对该图像进行低通滤波。而且忽略计算上的舍入误差。令Cmin是实验所用机器可表示的最小正数。 (a)令K表示该滤波器使用的次数。在进行实验前，您能预测K为足够大的值时的结果(图像)将

41、是什么吗？如果能，结果是什么？(b)推导出保证预测结果的最小 K值的表达式。(a)高斯低通滤波：G(utv) = H(uf v)F(ufv)=_j也/)/2珏F(u, p)K次滤波得到的结果为：Gx(诙)=二尸(以小)试想K很大时，将只有F(0, 0)通过，即H 式式,v 厂以二T1 if (",廿)= (0,0)0 Otherwise.(b)为了保证得到上述结果，要求 K足够大，由于计算机的最小正数为Cmin,则当某一个数小于Cm.的一半时，该整数将被置为0。所以，K应该满足条件e-KD2(u,v)/2Dl < 0 5cmin“ ln(0.5Cmin)K >TD2(w,

42、i/)/2D2。a ln(0,5cmin) >-D2u, u) I不考虑原点，由于u和v都是离散数据，所以D(u,v) 1,所以K>-2O>n(0.5cmin)4.38考虑下面所示的图像序列。最左侧的图像是商用印刷电路板的 X射线图像 的一部分。该图像右侧的图像分别是使用一个 Do 30的高斯高通滤波器进行1 次、10次和100次滤波后的结果。图像的大小为 330 334像素，每个像素由8 比特灰度表示。为了便于显示，图像已进行了缩放，但这对本习题没有影响。(a)从这几幅图像可以看出，经过有限次数的滤波后，图像将不再发生变化。请 说明实际是否如此。可以忽略计算舍入误差。令 7

43、所表示完成此实验的机器可表 示的最小正数。(b)如果在(a)中确定有限次迭代后变化将停止，求最小的迭代次数。解：(a)是的，经过有限次滤波之后，图像将不再发生变化。理解的关键在于将K次高通滤波函数视为Hu, p)=l e-KD2(u>vV2Do与4.37不同，这儿的滤波器是“凹口”滤波，将滤除 F(0, 0),因而，将产生一幅图像，图像中所有像素灰度值的平均值是 0(有些像素的灰度值为负数)。所以，有一个K值，当滤波 次数大于K时，图像保持不变。(b)滤波K次之后，图像保持不变，满足下式：/2以=(0 if”) = (0,0)1 otherwise.v解出来的K值同4.374.39 如图4.59中说明的那样，将高频强调和直方图均衡相结合是实现边缘锐化和对比度增强的有效方法。(a)说明这种结合方法是否与先用那种有关。(b)如果与应用顺序有关，请给出先采用某种方法的理由。答：(a)频域滤波在空域中表示为卷积：gG,y) = hGj)上f(x,y)滤波之后再进行直方图均衡：曲=Tg(xty) =rh(x,y)*/(x,