椭圆与双曲线周练习

1、练 习1、设椭圆的长轴为4,两焦点与短轴的一个端点构成一正三角形，则椭圆的标准方程为2、 以2x y 0为渐近线且过点(2,3)的双曲线的标准方程为_。2 23、P是椭圆x 2y 2上的一点，F1、F2是两焦点，且三角形面积可能是。4、 已知椭圆kx2+4ky2=1的一个焦点是 (一3,0),贝U k=5、点M (2,3)的等轴双曲线的标准方程为 。2 爲 1(a b aF2PF1是直角三角形，则F1PF2的2 y b2(2)交点的圆的方程为2x6、经过椭圆a2x1(a b 0)和椭圆v b0)的(1)焦点的圆的方程为P是椭圆x2 2y2(A) 12上的任意一点，个(B) 2 个( C) 3

2、个( D) 4 个Fi、F2是两焦点，若/F2PF1=900,这样的点P有 ()8、双曲线2mx2kx y10、关于曲线x3(A)关于原点对称若直线1-x，贝U m=220与双曲线y2x有两个不同的交点，则实数 k的取值范围是_2xy 10的对称性，表述正确的一项是B )关于直线y x对称(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称。2的一条渐近线是y11、双曲线x2x12、椭圆一2513、已知椭圆2y22_y_1的两条渐近线的夹角为1上动点P到定点A(10,0)的距离的最小值为A、B两点，求线段16 _C的焦点分别为F1( 22,0)和F2(272,0)，长轴长为6,设直线y x 2交椭圆AB中点的

3、坐标。14、过点A(1,0)、2x 2倾斜角为一的直线交椭圆一 y21于A、B两点，求弦AB的长。322x15、椭圆91的斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是2X16、过椭圆一9直线的方程1的左焦点F1作直线和椭圆交于 A、B两点，若弦AB的长恰好等于短轴长,2 x 17、设F1、F2为双曲线a2告 1(a0,b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点b且/ P F1F2=300，求双曲线的渐近线方程。P,18、如图，若0A是双曲线的实半轴，0B是虚半轴，F是焦点，且BAO 30°, S abf求此双曲线的标准方程。219、已知双曲线的方程X2二1 '过点A(0,1)作

4、斜率为k(k 0)的直线交双曲线于点P,Q，若PQ的中点在直线X 1上，求此直线的方程。220、顶点在原点，焦点在 X轴上的抛物线截直线2 y T421、若抛物线y22px的焦点与椭圆2XCy X 1所得的弦长为 J15，求此抛物线的方程。1的右焦点重合，贝y P的值为A.2B. 222、过点M (1,0)的直线与抛物线 寸 求三角形OAB面积的最小值。23、已知两点 M ( 2, 0)、N (2, 0),点P为坐标平面内的动点，满足 0，则动点P ( X,(A) y2 8xX交于两点A、B , O为坐标原点，(1)求证：OAOB ;uuurI MN IuLurIMP Iuuur MNuuLr

5、NPy)的轨迹方程为(B) y224、设O为坐标原点,标是()A. (2,25、双曲线A.-4F为抛物线8x(C)y2= 4x的焦点,y2 4x(D)A是抛物线上一点，若y2 4xuur urnOA ?AF =4,则点A的坐2迈)2mxB.(11的虚轴长是实轴长的,2)C.2倍，则m(1, 2)D.(2,22)B、C在椭圆26、已知 ABC的顶点在BC边上，则 ABC的周长是(A) 2©(B) 6X2+ y2= 1 上,顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点27、若 kR，则“ k 3 ”是“方程(C)2yk 3(D)121表示双曲线”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充

6、分条件.充要条件.(C)28、已知抛物线y2=4x,过点2y16线29、如图，把椭圆作 X轴的P1 > P2 , P3 , 点RF2X25垂P(4,0)的直线与抛物线相交于(D)既不充分也不必要条件A(X1,y1),B(X2,y2)两点,y12+y22的最小值。1的长轴P 4 > P5,卩6, P 7AB分成8等份,过每个分点圆的七个点,上半F是椭圆的一个焦则部分于AP3FI pF352每 1(a,b0)的两个焦点F1、bC的方程；L过圆P2FP5FP6FP7F2X30、椭圆Pa(I) 求椭圆(II) 若直线 的方程。F2,点 P在椭圆 C 上，且 P F1 丄 PF2,| P F

7、1|=- ,| P F2|=14 .33X2+y2+4X-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L解法一：(I)因为点P在椭圆C上，所以2aPF1PF26 , a=3.在 Rt PF1 F2 中， 从而 b2=a2 c2=4,F1F2PF2PF12J5,故椭圆的半焦距c=J5,2X所以椭圆C的方程为一9(n )设A, B的坐标分别为( (2, 1).从而可设直线I的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k 27=0.X1,y1)、(X2,y2).由圆的方程为(x+2) 2+(y 1)2=5,所以圆

8、心M的坐标为因为A, B关于点M对称.所以l8kLj2k2.解得 k24 9k所以直线I的方程为y 8（x9解法二：（I）同解法一.（n ）已知圆的方程为（X+2） 设A, B的坐标分别为（2）1, 即8x-9y+25=0.（经检验，符合题意由一得因为A、代入得所以直线2Xi2yi41,2X22y241,(xiB关于点yi y2XiX22+(y 1)2=5,所以圆心 xi,yi) ,(x2,y2).由题意X2)(xiX2)(yiM的坐标为（一2, 1）.xi X2 且0.M 对称，所以 xi+ x2= 4, yi+ y2=2,l的方程为8，即直线I的斜率为8，99y 1 = 8 （x+2 ）,

9、即8x 9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）931、已知三点 P （5, 2）、Fi （ 6,（I）求以F1、F2为焦点且过点（n）设点P、Fi、F2关于直线y= x的对称点分别为 P、F；、F2,求以Fi'、F2为焦点且过点P 的双曲线的标准方程。0）、F2（6，0）.P的椭圆的标准方程;解：（i）由题意可设所求椭圆的标准方程为2 2Xy 七 1(a>b>0),其半焦距c=6ab2a PR PF265 a3/5 ,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为2 2乞忆1459(2)点 P(5,2)、Fi(-6,0)、F2（6,O）关于直线y=x 的对称点分

10、别为点P （2，5）、Fi （0，-6）、F2 （0，6）.设所求双曲线的标准方程为2 x2 aiy21（ai 0,b,0）由题意知，半焦距 ci=62aiPFiPF2Jii2 22 Ji2 22452丘120 16a12 J5 ,b i2=ci2-a i2=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为22x32、双曲线C与椭圆一8求双曲线C的方程；1有相同的焦点，直线 y= J3x为C的一条渐近线.2设双曲线方程为笃aX2由椭圆82 y_41求得两焦点为(2,0),(2,0),对于双曲线C: cJ3x为双曲线C的一条渐近线解得a1,b223 , 双曲线C的方程为x33、在平面直角坐标系2xO

11、 y中，直线I与抛物线y = 2x相交于A、B两点.I过点T ( 3, 0),那么0A 0B = 3”是真命题;(1) 求证：“如果直线(2) 写出(i )中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解(i)设过点T(3,0)的直线I交抛物线y2=2x于点A(xi,yi)、B(x2,y2).当直线I的钭率不存在时，直线I的方程为x=3，此时，直线I与抛物线相交于点A(3, J6 )、B(3,- 0A 0B =3 ；当直线I的钭率存在时，设直线I的方程为yk(x 3)，其中 k 0,又k2： 3)得 ky22y 6k 0yi y26X12yi2,X2珈2 ,uuu uur OAgOB

12、x1x1 22 y1 y2 4(y1y2)yiy2 3,综上所述，命题 如果直线I过点T(3,0)，那么0A 0B =3”是真命题;T(3,0).该命逆命题是：设直线I交抛物线y2=2x于A、B两点，如果0A 0B =3,那么该直线过点题是假命题.1 uuu uuu例如：取抛物线上的点A(2,2) , B( ,1)，此时OAgDB =3,直线AB的方程为：y2而T(3,0)不在直线 AB 上;yiy2= 6,AB过点(i,0),而不过说明：由抛物线 y2=2x上的点A (xi,yi)、B(X2,y2)满足0A 0b =3，可得 或yiy2=2，如果yiy2= 6,可证得直线 AB过点(3,0)

13、;如果yiy2=2，可证得直线 点(3,0).F ( J3,0),右顶点为34、已知在平面直角坐标系x0y中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为1D(2,0),设点 A i-.2(i )求该椭圆的标准方程；(2) 若P是椭圆上的动点，求线段 PA中点M的轨迹方程；(3) 过原点0的直线交椭圆于点 B,C，求 ABC面积的最大值。b=1.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=j3,则半短轴又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为y2 1(2)设线段PA的中点为x=M(x,y)，点P的坐标是(xo,yo),xo11 2由I y=1yo 22厂xo=2x - 1yo=1约-22由,点P在椭圆上

14、，得(2x1)4(2y1)21 2 / 1 )2 1-)4(y 一)1.24当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此 ABC的面积Ssbc=1.线段PA中点M的轨迹方程是(X2当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx，代入 y2 1429k解得B(T疏21),C( -74k2 12k74k2 1),则BC4 y1 k 2，又点V1 4k2A到直线BC的距离d=BC|d71 4k21 ABC 的面积 SABC =-2于是賦 4k 14k"o 时 Sabc 1;当 k o 时 Sabc414k 一kABC 1- ABC的最大值是 血.X0 时 S ABC J111 S ABCi 4

15、k匚1中，当k=-丄时，等号成立.235、学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、Mx2而c 640,721，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆25为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8, 0）.观测点A（4, 0）、B（6, 0）同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 出变轨指令？x轴上方时，观测点 A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发解：（1）设曲线方程为y ax曲线方程为y64T647 .(2)设变轨点为C( x,2x100y），根据题意可

16、知2y251 2-x71,4y2 7y366479-（不合题意，舍去）44.6 （不合题意，舍去）|AC| 2寸5,|BC| 4.答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为36、复数等于V3 i37、若复数z满足方程A. 2血238、如果复数（mA. 1i)(139、设x, y为实数，且40、若复数z同时满足41、已知复数w满足w元二次方程.解法一2 0 ,则 z3B.22mi）是实数，则实数m142y1 2i51 3i，则z z = 2i ,w(12i)z = iz641由题意可知，0C点的坐标为（6,4），2寸5、4时,)C.应向航天器发出变轨指令D.2/2iB42（i为虚数单位）（3 2

17、w）i （i为虚数单位），则53i,4 32i2若实系数一元二次方程有虚根z z 6, z z 10,i|则必有共轭虚根所求的一个一元二次方程可以是x26x 10 0.X|w 2|，求一个以z为根的实系数一解法二a设 w a bi (a、b2b，R)bi3i2ai2b,2a,2,1,w以下解法同42、已知 2 ai,bA、p 4, q 543、若a,b为非零实数,1a 0aai，解法一.i是实系数一元二次方程B、 p 4,q5贝忡列四个命题都成立:2x pxC、 p222b a2 2ab b2 若 a则对于任意非零复数 a,b，上述命题仍然成立的序号是q 0的两根，贝y p,q的值为(4,q5。,)AD、p 4,q52b 若a ab，则a b44、用数字0，1, 2，3, 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有(D)126 个(A) 288 个(B) 240 个45、如图，在直角坐标系xOy中,右焦点F2且与x轴垂直的直线(1) 求椭圆C的方程；(2) 设椭圆C的一个顶点为B(0,(1)解