初中九年级数学培优训练专题

1、初中九年级数学培优训练（奥数）专题01二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子.2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无

2、限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 .想一想：若 . x 、y n（其中x, y, n都是正整数），则/X, jy, Jn都是同类二次根式，为什么？例题与求解1,200232003【例1】 当x -时，代数式（4x3 2005X 2001） 的值是（）2003A、0B、 1C、1D、 2（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1）aVb b启d 而 1）6,a . b abb a . b a b（黄冈市中考试题）1014、1521;1014 、1521（五城市联赛试题）(4)、6 4 3 3 2(,.6 .3)(.32)（北京市竞赛试题）3 1510

3、2、6 3.32 18.5 2、3 1（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们白联系，问题便迎刃而解思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也 广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度【例3】比（而 J5） 6大的最小整数是多少?x 、6 ,_ 5, y 6 75,（“祖冲之杯”邀请赛试题）（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设I43322 /CCCx 6x 2x 1

4、8x 23 3/士 想想：设 x v19 8v3,求 32的值.x 7x 5x 15形如：Ja JB的根式为复合二次根式,常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式【例4】 设实数x, y满足(x Jx2 1)(y 521) 1,求x+y的值.(“宗泸杯”竞赛试题)解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化【例5】(1)代数式7x2 4 J(12 x)2 9的最小值.(2)求代数式Jx2 8x 41 7x24x13的最小值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：对于(1),目前运用代数的方法很难求此式的最小值，Ja2 b2的几何意义是直角边为a, b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形

5、入手，对于(2),设 y7(x4)252J(x2)232，设 A(x,0),B(4, 5) , C(2, 3)相当于求AB+AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式【例 6】设 mJa2Ja1Ja2ja 1(1 a 2) ,求m10m9m8m7 L m 47 的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值1.化简:7 71004(3)能力训练A级220082008二2008 (“希望杯”邀请赛试题)r2UU820087352.若x y73/5 72, x y J37

6、2y 5 ,则xy =(北京市竞赛试题).1997,19993 计管“1997 >999)(71997 72001) (J1999 72001)(71999 71997),2001(<2001 .1997)( , 20011999)(“希望杯”邀请赛试题)4.5.若满足0vxv y及J1088 & Jy的不同整数对（x, y）是 （上海市竞赛试题）如果式子 J（x 1）2J（x 2）2化简结果为2x- 3,则x的取值范围是（）A.x< 1B. x> 2C. 1<x< 2D. x>06、计算Jl4 6点凶4 6函的值为A. 1B.而C. 275D

7、. 5（全国初中数学联赛试题）7. a, b, c为有理数，且等式 a b，2 cJ3 ，5 2展 成立,则2a+999b+1001c的值是（A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若a , §是不相等的无理数，则是无理数；乙：若a , §是不相等的无理数，则是无理数；丙：若a , B是不相等的无理数，则 。是无理数；其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1）x4yVX 乂6276x, y y x y x x y. 3 、25(3)11 5.74.67

8、"7 - 66、，42(4 1524 _10 3 ,615（天津市竞赛试题）(5?地3 .6 ,10 .15（“希望杯”邀请赛试题）33 5 10、设 x ，求代数式(x 1)(x 2)( x 3)( x 4)的值.2（“希望杯”邀请赛试题）11、已知 J7x2 9x 13 Wx2 5x 13 7x,求 x 的值.（陕西省竞赛试题）12、设X噌,x噌 （n为自然数），当n为何值，代数式I9x2 123xy 19y2的.n 1 ,n .n 1 n值为1985?B级111 .已知x ,y ，则x3 12xy y3.（ 四川省竞赛试题）2 .32T32 .已知实数 x, y 满足（x Jx

9、2 2008）（y y/ 2008） 2008,贝U 3x2 2y2 3x 3y 2007 = （全国初中数学联赛试题）3. 已知x 4 "，那么3x42xx2 1（重庆市竞赛试题）4. a 养坂阻那么。,4 = a a a5. a, b为有理数，且满足等式 a bJ3（全国初中数学联赛试题）V6g/1 74 273 则 a+b=（A. 26. 已知aB. 4C. 6D. 8（全国初中数学联赛试题）J2 1,b 2& 76, cJ6 2,那么a, b, c的大小关系是（）Aa b cB. b<a<c C. c<b<c D. c<a<b（全国

10、初中数学联赛试题）1-27. 已知 jx -y= ja则V4xX的值是（111A. a B. a C. a aaa）D. 不能确定8.若a表示实数a的整数部分，则1-677A. 1B. 2C. 3D. 49. 把（a 1） J ,中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（）a 1A. 1a B. a a 1 C. aD. Ja（武汉市调考题）10、化简:/.、1998 1999 2000 2001 10-4“希望杯”邀请赛试题）2 1 122.3 22.2 ,.3100 . 99 99 . 100（新加坡中学生竞赛试题）8 2.15 .而、6532（山东省竞赛试题）(4)2(6 2 3 2 5

11、.15)（太原市竞赛试题）11、设0 x 1,求证 ,5 X2 1 ,1 (1 x)21 .2 .（“五羊杯”竞赛试题）12、求 Jx2 8x 41 Jx2 4x 13 的最大值.b22 cJ为整数.、3a b a13、已知a, b, c为正整数，且 3 b为有理数,证明： 一 3b c初中九年级数学培优训练（奥数）专题02从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用初学一元二次方程，需要注意的是：1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了 “降次求解”的基本设想，公

12、式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项 系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：若a b c 0,则方程ax2 bx c 0（ a 0）必有一根为1.若a b c 0,则方程ax2 bx c 0（a 0）必有一根为 1.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解 思想精髓b b2 4ac一兀二次万程的求根公式为 x1,2 这个公式形式优美，内涵丰富： 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美；公式包含了初中阶段

13、所学过的全部六种代数运算； 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1阅读下列的例题解方程：x2 | x | 2 0解：当x>0时，原方程化为x2 x 2 0,解得x1 2,x21 （舍）当x 0时，原方程化为x2 x 2 0 ,解得x1 1（舍），x22请参照例题解方程：2x | x 3| 3 0 ,则方程的根是（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解例2方程|x21| (42j3)(x2)的解的个数为()A、1个B、2个C、3个D、4个(全国初中数学联赛试题)解题

14、思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解例3 已知m, n是二次方程x2 1999x 7 0的两个根，求(m2+1998m 6)(n2 2000n 8)的 值.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：若求出 m, n值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m, n的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：把 ax2bxc0(a0)变形为ax2bx c把 ax2bxc0(a0)变形为ax2bx c2,c把axbxc0(a0)变形为ax- bx其中体现了 “降次”代换的思想；则是构造倒数关系作等值代换例4 解关于x的方程：(m 1)x2 (2m 1)x m

15、 3 0解题思路：因未指明关于 x的方程的类型，故首先分m 1 0及m 10两种情况，当 m 10时，还考虑就b2 4ac的值的三种情况加以讨论.例5已知三个不同的实数 a , b , c满足a b c 3,方程x2 ax 1 0和x2 bx c 0,有22一个相同的头根，方程 x x a 0和x cx b 0也有一个相同白实根，求 a, b, c的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解设出公共根，设而不求，消去二次项.例6已知a是正整数，如果关于x的

16、方程x3 （a 17）x2 （38 a）x 56 0的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a的较低次数的方程.能力训练A级22 一 21、已知方程x 6x q 0可以配成x p 7的形式，那么x 6x q 2可以配成的形式.（杭州市中考试题）x2 x 22、若分式-x2的值为0,则x的值等于 .x2 2x 1（天津市中考试题）3、设方程x2 1993x 1994 0,和（1994x）2 1993 1995x 1 0的较小的根分别为 a, B ,贝U4、方程|

17、 x2 4x 5| 6 2x的解应是 （上海市竞赛试题）5、方程（x2 x 1）x3 1的整数解的个数是 .A、2个B、3个C、4个D、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x的一元二次方程（m 1）x2 5x m2 3m 20的常数项为0,则m的值等于（A、B、2C、D、（德州市中考试题）7、已知a,b都是负实数，且0,那么b的值是（aA、1.52B、C、1 ,52D、1 ,52（江苏省竞赛试题）8、方程x20的解是（J!C、3 或 _±JId、1222229、已知a是万程x 1999x 1_ . .20的一个根，求a 1998a1999a2 1的值.10、已知 a2 4a 142a

18、mac 32a ma12a（荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数 m,使得方程x22mx 2 0 和 x 2x m0有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数 m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由12、已知关于x的方程(4 k)(8k)x2 (80 12k)x 32 0的解都是整数，求整数k的值.B级1、已知a、B是方程x2 (m 2)x 1 0的两根，则(1 m 2)(1 m 2)的值为2、若关于x的方程x2 px q 0与x2 qx p 0只有一个公共根，则(p q)1999的3、设a, b是整数，方程x2ax b 0有一个根为 "4.3，则 a b =(全国通讯赛试题

19、)4、用x表示不大于x的最大整数，则方程2x 2x 3 0解的个数为(A、1个B、2个C、3个D、4个 1 ,，一，1 ，5、已知一|a| 1 ,那么代数式 一| a | ()aaA、gB、与C、匹D、芯6、方程x|x| 3| x| 2 0的实根的个数为(A、1个B、2个C、3个D、4个一 27、已知 x 5x 19910,则代数式(x 2)4 (x 1)2 1佑 的值为(x 1)(x 2)A、1996B、 1997C、 1998D、 19998、已知三个关于x的一元二次方程ax222bx c 0,bx cx a 0,cx ax b 0 恰有一个公2.22共实根，则的值为()bc ca abA

20、、0B、1C、2D、3(全国初中数学联赛试题)432“-f q x 6x 2x 18x 23 钻/古9、已知x Jl9 8百,求2的值.x 8x 15(“祖冲之杯”邀请赛试题)一、一 210、设方程x |2x 1| 4 0,求满足该方程的所有根之和(重庆市竞赛试题)11、首项系数不相等的两个二次方程22_2_(a 1)x (a 2)x (a 2a) 0及(b 1)x2 (b2 2)x (b2 2b) 0(其中a, b为正整数)有一个公共根，求ba的值.(全国初中数学联赛试题)12、小明用下面的方法求出方程 2G 3 0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的

21、表格中.方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解2五3 0令 Vx t,则 2t 3 0t 3 2t § 0 2L 39xx 一， x 一24x 2G 3 0x Vx 2 4 0初中九年级数学培优训练（奥数）专题04根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的.韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：1 .求方程中字母系数的值或取值范围；2 .求代数式的值；3 .结合根的判别式，判断根的符号特征；4 .构造一元二次方程；5 .证明代数等式、不等式.当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次

22、方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的 关系解题时，必须?t足判别式4 >0.例题与求解【例1】设关于x的二次方程（m2 4）x2 （2m 1）x 1 0（其中m为实数）的两个实数根的倒数和为 s ,则s的取值范围是.2【例2】如果方程（x 1）（x2xm)0的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么,实数m的取值范围是A. 0 m 1B.C- 4【例3】已知 ，是方程x2 7x 80的两根，且.不解方程，求2

23、3 2的值.st 4s 1 .【例4】 设实数s,t分别?t足19s 99s 1 0,t99t 19 0并且st 1,求的值.b 1 a 1【例5】(1)若实数a, b满足a2 5 8a, b2 5 8b,求代数式 的值；a 1 b 13x 2y z a(2)关于x,y,z的万程组 y有实数解(x, y,z),求正实数a的最小值；xy 2yz 3zx 6(3)已知 x, y 均为实数，且满足 xy x y 17 , x2y xy2 66 ,求 x4 x3y x2y2 xy3 y4 的值.【例6】a,b,c为实数，ac 0,且72aJ3bJ5c0 ,证明一元二次方程ax2bx c 0有大于3而小

24、于1的根.能力训练A级1 .已知 m , n为有理数，且方程 x2 mx n 0有一个根是 痣 2 ,那么 m n=2 .已知关于x的方程x2 3x m 0的一个根是另一个根的 2倍，则m的值为.223.当m=时，关于x的方程8x (2m m 6)x 2m 1 0的两根互为相反数；2 一2时，关于X的方程X 2mx m 4 0的两根都是正数；当时，关于m的方程3x2 2x m 8 0有两个大于 2的根.4.对于一切不小于 2的自然数n关于x的二次方程22x (n 2)x 2n 0的两根记为an,bn (n 2)则 2)( b22) 2)( b3一 L2)1(a20072)(b20072)5.设

25、Xl,X2是方程x2 2(k1)x(k22)0的两个实根，且(Xi 1)(X21) 8,则k的值为()A.M1B.C.D. k1一的一切实数26.设X1,X2是关于次方程2 mX的两个实数根，且X10, x2 3X10 ,则m 1A.n 2B.7.设X1,X2是方程2x kA.正数8 .如图，菱形ABCD的边长是C.D.0的两个不等的实数根，则C.负数5,两对角线交于。点，且2_x (2 m 1)x0的根，那么m的值是(A.3B. 5C. 5或 39.已知关于x的方程:2/x (m2)x2 m 0.42X1AO,(1)求证：无论 m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根;(2)若这个方程的两

26、个根是X1, X2 ,且满足x22-X22是(BO的长分别是关于D.53X的方程x,2,求m的值及相应的X1, X2.24x 3 0的两个不相等的实数根.10.已知Xi,X2是关于x的一兀二次万程 kx(1)求k的取值范围;3(2)是否存在这样的实数 k ,使2X2x23 2成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理xig由.11 .如图，已知在 ABC 中，/ ACB=90°,过 C 点作 CDLAB 于 D,设 AD=m, BD = n,且 AC2： BC2=2： 1;又关于x的方程x2 2(n 1)x m2 12 0两实数根的差的平方小于 192,求整数m、n的值.40有正整数解

27、，求 m, n的值.212 .已知 m,n是正整数，关于 x的方程x mnx (m n)B级2_3.21 .设为，x2是二次方程xx 30的两根，则X4x219=22a2 .已知 ab 1,且有 5a 1995a 8 0及 8b 1995b 5 0贝U b，一.一 .、一一 2 一 22_ 一.3 .已知关于 x的一兀二次方程x 6x k 1 0的两个实数根是必？2,且 刈 x224,则4.已知Xi,X2是关于X的2二次万程 x aX a2的两个实数根，则(Xi 2X2)( X22xi)的最大值为5.如果方程X2pX 1 0 (p > 0)的两根之差为1,那么p等于(A. 2B. 46.

28、已知关于X的二次方程mX 2m 10的两个实数根分别是X1, X2 ,且 X12，、2 一(X1 X2)的值是A. 1B. 12C. 13D. 257.在 RtAABC 中, 的方程x2 7x cA. 32/ C = 90°7 0的两根,B.a、那么b、c分别是/ A、AB边上的中线长是b是关于C. 5D. 28,设 a23ab2 13b且aB. 7C. 91 的值为(b2D. 11a, b为整数且方程3x23(ab)X 4ab 0的两个根满足关系式1)(1)(1)(1).试求所有整数点对(a,b).10.若方程X2 3x 10的两根也是方程X6pX2 q 0的两根，其中p,q均为整

29、数，求p,q的值.11.设a,b是方程x2 3x 10的两根，d是方程x2 4x 2 0两根，已知bc dcdadababc(1)b2c d a2cdabd2a b c7M7；(2)b3d3dab49 M12 .设m是不小于1的实数，使得关于x的一元二次方程x2 2(m 2)x m2 3m10有两个不相等实数根x1,x2.(1)若x； x226 ,求m的值;22(2)求mx- mJ的最大值.1 x1 1 x2220的两个根都大13.已知关于x的一兀二次万程 x cx a 0的两个整数根恰好比万程x ax b1,求a b c的值.初中九年级数学培优训练（奥数）专题06转化与化归-一特殊方程、方程

30、组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是：1、因式分解；2、换元；3、平方；4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二 次方程，这也可以说是“九九归宗”例题与求解【例1】已知方程组3Xx2y y5 23的两组解是（X，yj与（x2, y2）,则x1y2 x2yl的值是（北东市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值【例2】方程组xz yz 63的

31、正整数解的组数是（A.1组B.2组C. 3组D.4组解题思路：原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手.【例3】解下列方程(1)13x x ,13 x、(x ) 42；x 1 x 1(2)2-2，/x 3x x x 4 11_2_2_2x2 2x 8 3x2 9x 12(3)(1999 x)3 (x 1998)3 1；(4)2_2_2(x 3x 4)(2x 7x_2_ 2_ 26)(3x 4x 2)（“祖冲之杯”邀请赛试题）（河南省竞赛试题）（山东省竞赛试题）祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解【例4】（1）（2）（3

32、）解题思路:解下列方程组：1 -x - x y 3. 3,y12x y 6; yx(x 1)(3x 5y) 144,2x4x5y24;23o 2yx3x2x,232xy3y2y.（山东省竞赛试题）（西安市竞赛试题）（全苏数学奥林匹克试题）观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理【例5】的解.【例6】若关于x的方程上二-p- x 1 x xkx 1只有一个解（相等的解也算一个）x.试求k的值与方程（江苏省竞赛试题）方程2x2xy 3x y 2006 0的正整数解有多少对?（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题能力训练（四川省竞赛试题）21.

33、万程2(x1、1 ,-2) 3(x )1的实数根是xx2 c222. x2 3x 42x2 7x 6一 22、人、-I，一，3x2 4x 2 ,这个方程的解为3.实数x, y,z满足6 3y, 3y 2xy2 则x2y z的值为2z 0,（上海市竞赛题）2,/-axbx10,bx2xa0,有实数解，则a b 12x ax b 0（武汉市选拔赛试题）5 .使得x2x2 3x 2x2 8x 7成立的x的值得个数为（C. 2个D. 1个（“五羊杯”竞赛试题）6.已知方程组xxyyz22,1有实数根,那么它有（B.二组解C.三组解D.无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题）7.设 a2 13ab2 1 3b

34、 且 ab,则代数式A. 5C. 91，2的值为(b2D . 118.已知实数x, y满足xy9,22x y xy20,一 22则x y的值为（A. 617C.9.已知关于x, y的方程组2 x 3xy2y p, p(x y)有整数解x,y ,求满足条件的质数 p.1。.已知方程组x y/c20,的两个解为xx,1,xx2,且不？2是两个不等的正数xy 0yy1,yy2,（1）求a的取值范围；若 x12 x2 3x1x2 8a2 6a 11,试求 a 的值.（南通市中考试题）211.已知a,b是万程t0的两个实根，解方程组y- by- a1 x,1 y.（“祖冲之杯”邀请赛试题）12.已知某二

35、次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q,且满足关系式p2 q p 21 c5,试求p q pq 6,这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B级x y z . x y z 1 51.方程组 xyz的解是2342.已知 7x2 9x 13V7x2 5x 13 7x,贝Ux 的值为3.已知实数x0, y是方程组yy的解，则xo1y。.（全国初中数学联赛试题）（全国初中数学联赛试题）xy 9,4.方程组工工 x . y4的解是（“希望杯”邀请赛试题）5.若二元二次方程组1,21有唯一解,k的所有可能取值为（学习报公开赛试题）6.正数 Xi,X2, X3,X4, X5, X6同时满足X2X3X4X

36、5X6X1X3X4X5%X1X2X4X5X6o? 3 ?X1X2X3X5X6X1X2X3X4X66,7.8.9.X4X5方程A.XiX2X3X1X2X3X4X5X69.则 X2X3X4X6的值为（上海市竞赛试题）6x20的所有根的积是（B.-3C.D.-6E.以上全不对（美国犹他州竞赛试题）设x, y为实数，且满足A.B.-1已知xyzX2X1,z2,2zA.B.3,110.对于实数只有和.xy个实数值1999 x1999 yC.yzC.x满足等式11.解方程 ,x 2x 1 x 2x 11, 则 x y (1,D. -2zxD.（武汉市选拔赛试题）11一的值为（y 12x a 2x2 10，

37、试求所有这样的实数a的（江苏省竞赛试题）Ja ,其中a 0并就正数a的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12已知a，b，c三数满足方程组ab8%缶48试求方程“2 cx a 0的根.（全国初中数学联赛试题）13.解下列方程（组）：一、29x2（1） x 3 16 ；x 3（武汉市竞赛试题）2 .(2) 6x 7 3x 4 x 16 ；(湖北省竞赛试题)y,z,x,4x2(3)1 4x2 4y”1 4y24z21 4z2（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）初中九年级数学培优训练（奥数）专题08二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，

38、主要知识与方法有：1 .二次函数解析式y ax2 bx c的系数符号，确定图象的大致位置.2b b 4ac b2 .二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a有关， 与（ 一, ）决定抛2a 2 a 4a物线对称轴与顶点的位置.3 .二次函数的解析式通常有下列三种形式：一般式：y ax2 bx c ；顶点式y a（x m）2 n：；交点式：y a（x x1）（x x2）,其中x1, x2为方程ax2 bx c 0的两个实根.用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷 例题与求解【例1】 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，现有以下结论： abc 0

39、；b a c；4a 2b c 0 ；2c 3b；a b m am b m 1 .其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定 a, b, c的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并 能综合推理.【例2】 若二次函数y ax2 bx c（ a w0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0, 1）和（一1, 0）,则S a b c的值的变化范围是（）A. 0vS< 1B. 0< Sv 2C. 1vSv 2 D. 1vSv1（陕西省竞赛试题）解题思路：设法将S表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定

40、S的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行 10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点 O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）2在跳某个规定动作时， 正常情况下，该运动员在空中的最局处距水面 10米，入水处距池边的距离3为4米，同时，运动员在距水面高度 5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就 会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿3 势时，距池边的水平距离为 3-米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.（河北省中考试题）53解题思路：对

41、于（2）,判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为3±米时，该运动员5与跳台的垂直距离.跳台支柱mOdi【例4】 如图，在直角坐标 xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C （4,J3）,且在x轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y轴上求作一点P （不写作法），使PA+PC最小，并求P点坐标；（3）在X轴的上方的抛物线上，是否存在点Q,使得以Q, A, B三点为顶点的三角形与 ABC相似?如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由（泰州市中考试题）解题思路：对于（1）、（2）,运用对称方法求出 A, B, P点坐标；对于（3）,由于未指明对应

42、关系，需 分类讨论.【例5】如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE,其中AF=2, BF= 1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.(辽宁省中考试题)解题思路：设DN=PM = x,矩形PNDM的面积为y ,建立y与x的函数关系式.解题的关键是：最 值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围【例6】将抛物线g : yiV3x2 J3沿x轴翻折，得抛物线C2 ,如图所示.(1)请直接写出抛物线 c2的表达式.(2)现将抛物线ci向左平移m个单位长度，平移后得到白新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A, B；将抛物线C2向右也平移移 m个单位长度，平移

43、后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为 D, E.当B, D是线段AE的三等分点时，求 m的值；在平移过程中，是否存在以点 A, N, E, M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.(江西省中考试题)解题思路：把相应点的坐标用 m的代数式表示，由图形性质建立 m的方程.因m值不确定，故解题的 关键是分类讨论.能力训练A级21 .已知抛物线y x (a 2)x 9的顶点在坐标轴上，则 a的值为.2 .已知抛物线yx2 bx c与y轴交于点A,与x轴正半轴交于 B, C两点，且BC=2, S ABC =3,（四川省中考试题）c的图象如图所示yx

44、yx12)axyyyyyOOOOxxxxCABDy2对称)yE6m4m8mO-1（3）根据图象回答A Oy 0BE,则下列关系式不能总成立的是根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是A. b 0D. a c 0ABE是等腰直角三角形，AEC. ac 112 xB, E0, 3)B x3；1 一 、一 一，一 ,、-），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该427.如图，抛物线 y ax bx c与两坐标轴的父点分别是 AB. S ABE cbx c的图象过点（1,0）求证：这个二次函数的图象关于直线x（ ）A.过点（3, 0）C.在x轴上截得的线段长度是 22 xB.顶点是（2,

45、2）D.与y轴的交点是（i L第7题图8.如图，某中学的校门是第8题图抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面 4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到 0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（）A. 9. 2 米B. 9. 1 米C.9米D. 5. 1 米（吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图.在地面O, A两个观测点测得空中固定目标 C的仰角分别为a和B , OA= 1千米，tan a =，tan B = 3 ,位于O点正上方5千米D2883点处的直升机向目标 C发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大

46、高度3千米时，相应的水平距离为 4千米（即图中E点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10 .如图，已知 ABC为正三角形，D, E分别是边 AC、BC上的点（不在顶点），/BDE=60° .（1）求证： DECs BDA；（2）若正三角形ABC的边长为6,并设DC= x, BE= y ,试求出y与x的函数关系式，并求 BE最短 时， BDE的面积.11 .如图，在平面直角坐标系中，OBLOA且OB=2OA,点A的坐标是（一1, 2）.（1）求点B的坐标；（2）求过点A, O, B的抛物线的解析式；

47、（3）连结AB,在（2）中的抛物线上求出点P,使S abp S abo.（陕西省中考试题）212.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x mxn经过点A (3, 0), B (0, 3)两点，点P是直线AB上一动点，过点 P作x轴的垂线交抛物线于点这条抛物线的解析式；(2)若点P在第四象限，连结 BM, AM,当线段PMM.设点P的横坐标为t; (1)分别求直线 AB和最长时，求 ABM的面积;(3)是否存在这样的点 P,使得以点P, M, B,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由(南宁市中考试题)1 .已知二次函数y x2 6x c的图象顶点与坐标原点的距离为5,则 C =2 .如图，四边形 ABCD是矩形，A, B两点在x的正半轴上，CD两点在抛物线yx2 6x上.设OA的长为m (0V m V 3).矩形ABCD的周长为l ,则l与m的函数解析式为(昆明市中考试题)第2题图3.如图，在。的内接 ABC中,A当AB的长等于时，OOAB + AC= 12, ADXBC,垂足为 D (点 D 在边 BC 上)，且 AD = 3, 的面积最大，最大面积为 .4.如图，已知二次函数 y12axbx c(a 0)与一次函数y2 kx m(k 0)的图