2013年上海市春季高考数学试卷 教师版

1、2013年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分 1（3分）（2013?上海）函数y=log（x+2）的定义域是 （2，+） 2 【分析】要使函数有意义，只需令x+20即可 【解答】解：欲使函数有意义，须有x+20，解得x2， 所以函数的定义域为（2，+） 故答案为：（2，+） x=8的解是 3 上海）方程3分）（2013?22（ x3，可得x=3=8=2，由此可得此方程的解【分析】由已知条件2 x3，可得x=3，即此方程的解为3【解答】解：由2，=8=2 故答案为 3 2=8x的准线方程是 x=y2 3（3分）

2、（2013?上海）抛物线 【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由 2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程 2=8x解：抛物线的方程为y【解答】 抛物线以原点为顶点，开口向右 由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=2 故答案为：x=2 4（3分）（2013?上海）函数y=2sinx的最小正周期是 2 ，运算可得结果 y=2sinx的最小正周期是【分析】根据函数 ，=2y=2sinx的最小正周期是 =【解答】解：函数 2故答案为 ， ， 若 ，则实（532013?（上海）已知向量 分） 数k= 【分析】根据向量平行的充要条件可得关于

3、k的方程，解出即可 ，k=6） 【解答】解：由9k=0，解得，得1（k 故答案为： 6（3分）（2013?上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是 5 【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+?），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值 【解答】解：函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+?），（其中，cos? =，sin?=） 故函数的最大值为5， 故答案为5 7（3分）（2013?上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模 ，代入计算即可得出复数2+3i（i|【分析】利用模长公式z|= 是虚数单位） 的模 【解答】解：复数2+3i， =

4、 的模2+3i 故答案为： 8（3分）（2013?上海）在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60，则b= 7 2222=25+6422accosB，代入题中的数据得b【分析】根据余弦定理b=a5+c8cos60=49，解之即可得到b=7 【解答】解：在ABC中，a=5，c=8，B=60， 根据余弦定理，得 2222accosB=25+64258cos60=49b=ac+ 解之得b=7（舍负） 故答案为：7 9（3分）（2013?上海）正方体ABCDABCD中，异面直线AB与BC所成角111111的大小为 60 ，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们

5、可得D连接A【分析】1即可得BADC所成的角，连接BD后，解三角形BAD即为异面直线AB与B1111所成的角BC到异面直线AB与 11，BCADD【解答】解：连接A，由正方体的几何特征可得： 111所成的角，BCAB与则BAD即为异面直线 111，易得：连接BD BBD=AD=A 11D=60BA故 160故答案为： 人参加某社3名男同学和6名女同学中随机选取3分）（2013?上海）从410（ （结果用数值表示） 团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 的概率，然后根”3人中只有男同学或只有女同学【分析】先求对立事件“选出的可得答案1据对立事件的概率和为 ，人中只有男同学或只有女同学的概率为

6、：3=解：从10人中选出的【解答】 =则选出的3人中男女同学都有的概率为：1 故答案为： ，则数列57，前9项和为（2013?上海）若等差数列的前6项和为23311（分） S的前n项和= n 2，解项和S+bn=an，则由题意可得 设等差数列的前【分析】n n 的解析式项和Sn得a、b的值，即可求得数列的前 n 2，则由题意可得bn=an项和设等差数列的前【解答】解：nS+， n ，解得 ， =故数列的前n项和S n 故答案为 236=2的所有正约数之和可按如下方法得到：因为上海）363分）（2013?12（22222+（2+23232336，所以的所有正约数之和为（1+3+3）+（2+222

7、2）=91，参照上述方法，可求得32000的所有正21）（+23+33+）=（1+2+约数之和为 4836 【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所43，所以2000的所有正约5有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=223423），即可得出答案+5（1+2+25+2+25）1数之和为（ 【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有： 43，5的所有正约数之和可按如下方法得到：因为20002000=2 23423）=4836+55+2+）（1+5所以2000的所有正约数之和为（1+2+2+2 可求得2000的所有正约数之和为 4836 故答案为：4836

8、二选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括内，选对得3分，否则一律得0分 13（3分）（2013?上海）展开式为adbc的行列式是（ ） DCBA 叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，再根据所给的式子根据【分析】 即可得出答案 叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，解：根据【解答】 =adbc由题意得， 故选：B 1（x）为函数f（x）= 14（3分）（2013?上海）设f的反函数，下列结论正确 的是（ ） 1111（4）DCff=4（fA4）（2）=2Bf=2=4（2） 【分析】本题的关键是求函数f（x

9、）= 的反函数，欲求原函数的反函数，即从 原函数式f（x）= 中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式 1（x）为函数f（x【解答】解：f）= 的反函数， 12，（x0）（x）=x，f 11（4）=16，（2）=4f，f 故选：B 15（3分）（2013?上海）直线2x3y+1=0的一个方向向量是（ ） A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2） 【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1， k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案 【解答】解：由题意可得：直线2x3y+1=0的斜率为k=， 所以直线2x3y+1=0的一个方向向量 =

10、（1，），或（3，2） 故选：D 的大致图象是（ ）x3分）（2013?上海）函数f（）=（16 BA DC 筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案【分析】 、B0f，所以（x）在（，+）上单调递减，排除选项0解：因为【解答】 ；C ，）的定义域为（又fx0+，） 故排除选项D， 故选：A 17（3分）（2013?上海）如果ab0，那么下列不等式成立的是（ ） 22 abAaDBabbC 【分析】由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论 ， =，不妨令a=2，b=1可得1解：【解答】由于ab0， 故A不正确 22，故Bb不正确=1，ab可

11、得ab=2，b 22，故Ca不正确4，ab可得ab=2，a= 故选：D 18（3分）（2013?上海）若复数z，z满足z= ，则z，z在复数平面上对应 22111的点Z，Z（ ） 21A关于x轴对称B关于y轴对称 DC关于原点对称关于直线y=x对称 【分析】由题意可得z，z的实部相等，虚部互为相反数，故z，z在复数平面2121上对应的点Z，Z关于x轴对称 21【解答】解：若复数z，z满足z= ，则z，z的实部相等，虚部互为相反数， 21211故z，z在复数平面上对应的点Z，Z关于x轴对称， 2112故选：A 10的二项展开式中的一项是（ +x）119（3分）（2013?上海）（ 234252x

12、D120x90xA45xBC 10r?x，= x）即可得出结论的二项展开式的通项公式为 T（【分析】根据1+ 1r+ 10r?x，故当r=3= T 1【解答】解：（+x）时，此的二项展开式的通项公式为 1r+3，项为120x 故选：C 20（3分）（2013?上海）既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（ ） Ay=sinxBy=cosxCy=sin2xDy=cos2x B，经检验D，再根据函数的单调性排除C、A根据函数的奇偶性排除【分析】中的函数满足条件，从而得出结论 【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C 由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2，

13、且在（0，）上是减函数，故满足条件 由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于，在（0，）上是减函数，在（，） 上是增函数，故不满足条件 故选：B 21（3分）（2013?上海）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A1：2B1：4C1：8D1：16 【分析】设两个球的半径分别为r、r，根据球的表面积公式算出它们的表面积21 之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积 之比 【解答】解：设两个球的半径分别为r、r，根据球的表面积公式， 21 S =4，可得它们的表面积分别为S=4 21两个球的表面积之比为1：4， =，解之得=（舍负） 3因此，这两个球的

14、体积之比为=（）= 即两个球的体积之比为1：8 故选：C 22（3分）（2013?上海）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（ ） AZ?NBN?NC?（?）D?0 UUUUu【分析】根据题目中条件“全集U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案 【解答】解：全集U=R， Z?N=R，N?N=?，?（?）=?，?0=xR|x0 UuUUU故选：A 22+bx=ax+c函数f（xR，“b）4ac0”是“2013?23（3分）（上海）已知a，b，c的图象恒在x轴上方”的（ ） A充分非必要条件B必要非充分条件 DC充要条件既非充分又非必要条件 22+bx+c（x）=ax“bf4ac0”

15、与“函数【分析】根据充要条件的定义可知，只要看的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可 2+bx+c=ax的图象恒在x轴上方，则必a0，欲保证函数f（x）【解答】解：若须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点； 24ac且=b0则a0 2+bx+c=c的图象恒在x）0，则函数f（x=ax轴上但是，若a=0时，如果b=0，c24ac=b0；方，不能得到 22+bx+c的图象恒在）x=axx轴上方”反之，“b，如4ac0”并不能得到“函数f（a0时 22+bx+c的图象恒在=axx轴上方”的既非充分又4ac0”是“函数f（x从而，“b）非必要条件 故选：D 24（3分）（2013?上海）已知A，B为平面内

16、两个定点，过该平面内动点m作 的m为常数，则动点N若 = ? ，其中的垂线，垂足为直线AB） 轨迹不可能是（ 抛物线双曲线DA圆B椭圆C 【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项 【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系， 设M（x，y），A（a，0）、B（a，0）； ， 因为= ? 2，）x（y所以x=（+a）a 222时，轨迹是圆，当y=a=1x即+ 时，是椭圆的轨迹方程；0当且1 当0时，是双曲线的轨迹方程 当=0时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程 故选：D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有

17、7题，解答下列各题必须写出必要的步骤 25（7分）（2013?上海）如图，在正三棱柱ABCABC中，AA=6，异面直线1111 BC与AA所成角的大小为，求该三棱柱的体积 11 BC为异面直线BCC 因为CCAA根据异面直线所成角的定义得【分析】1111 ，S从而求出中，求得BC，从而BCC=在RtBCC所成的角，与AAABC111 最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积 CCAA【解答】解：因为 11 BCC=BCC为异面直线BC与AA所成的角，即所以 1111 ， C=6=2tanRt在BCC中，BC=CCBC 111 ，从而S= =3 ABC =3 6=18AAV=S因此该三棱柱的

18、体积为 1ABC的空地，其中上海）如图，某校有一块形如直角三角形726（分）（2013?ABC米，现欲在此空地上建造一间健身房，其50BC40ABB为直角，长米，长为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积B占地形状为矩形，且 【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可 【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0x40， 健身房占地面积为y平方米因为CFPCBA， ， 以BF=50，求得 ?x ）50从而y=BF?FP=（ = = 500 时，等成立当且仅当x=20 平方米答：该健身房的最大占地面积为500 b，数列 的

19、前n项和为S27（8分）（2013?上海）已知数列a nn ，求满足b 是无穷等bba，进而得到b，由的表达式可判断数列【分析】先由S求出nnnnn比数列，从而可得答案 ，2=2n+ 2时，【解答】解：当n 22n+=S且a=0，所以a= n11 的无穷等比数列1、公比为，所以数列因为 b =是首项为 n = =故 ，（10）、F1的两个焦点分别为（28（13分）2013?上海）已知椭圆CF（，21B，），短轴的两个端点分别为B0 21的方程；为等边三角形，求椭圆BBF1（）若C 211（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且2 ，求直线l的方程 2222，可求+

20、c=1，集合ac=ba【分析】（1）由FBB为等边三角形可得a=2b，又2112，则椭圆C的方程可求；b （2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F的直线2l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由 转化为数量积等于0把根与系数关系写出两个交点的横坐标的和， ， 代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求 的方程为C（1）设椭圆解：【解答】 ，解得， 根据题意知 的方程为C故椭圆 222 的方程为=2，得b=1，所以a=b+c，得椭圆C（2）由2b=2 ，不符合题意；x=1当直线l的斜率不存在时，其方程为 ）y=k（x1当直线l的斜率存在时，

21、设直线l的方程为 2222由12k1+）x）4kx+2（k=0，得（ ，则y）（设Px，y），Q（x， 2112 ， ， ，即 因为 ，所以 = = ，解得 ，即=k= 或 故直线l的方程为 2=4x 的焦点为F：y12分）（2013?上海）已知抛物线C29（ 的轨迹C 上运动时，求动点P当点A在抛物线（1）点A，P满足方程； 上？y=2x的对称点在抛物线C轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线（2）在x的坐标；如果不存在，请说明理由如果存在，求所有满足条件的点Q 得出 F的坐标，由【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点的轨迹方程；PP点和A点的关系，由代入法求动点 的坐标，由斜率关Q

22、的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点（2）设出点Q在抛物线上，把Q系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点点的坐标其坐标代入抛物线方程即可求得Q ，则x，y），点）设动点P的坐标为（x，y）A的坐标为（【解答】解：（1AA ， ， ， ），所以因为F的坐标为（1，0 ）x1， y，得（xx，yy）=2（由 AAAA ，解得即 22=8y4x=4x，得到动点P的轨迹方程为代入y （x，yy=2x的对称点为Q），）设点2Q的坐标为（t，0）点Q关于直线（ 则，解得 22+15t=0，即t=0或，得4t 若Q 在C上，将Q的坐标代入y=4x ， ） ，其坐标为（0，0）和（所以存在

23、满足题意的点Q 30（13分）（2013?上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P在x轴上，其横坐标为x，且x 是首项为1、公比为2的等比数列，记nnn*Nn，=PAP nn1n+ ，求点A 1（）若的坐标； （2）若点A的坐标为（0，8 ），求的最大值及相应n的值 n 的等比数列，确定通项，利用差角2是首项为1、公比为1）利用x 【分析】（n的坐标；A的正切公式，建立方程，即可求得 ，利用基本不等式，结合正切函数的）OAPOAP（2）表示出tan=tan（nnn1+单调性，即可求得结论 1n=20），根据题意，x（1）设A（0，t）（t【解答】解： n ，由 ，知 ，=）=t

24、an（OAP而OAPtan 334 t=8，解得t=4或所以 ），8故点A的坐标为（0，4）或（0 1nOAP=，tan（2）由题意，点P的坐标为（2，0） nn ）=tan=tan（OAPOAP nnn1+ ，= ，所以因为tan n 时等成立，即当且仅当n=4 ）上为增函数，在（，y=tanx00 n n=4时，最大，其最大值为当 n ），bxy=f（）的图象关于点P（a“分）31（18（2013?上海）已知真命题：函数）b 是奇函数”+函数成中心对称图形”的充要条件为“y=f（xa 23个单位，个单位，再向上平移21=x（）将函数（1gx）3x的图象向左平移）图象对x（g求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数称中心的坐标； （2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 y=f（x）