一轮复习配套讲义第7篇 第4讲 直线平面平行的判定与性质

1、第4讲 直线、平面平行的判定与性质 最新考纲 1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 知 识 梳 理 1直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 a，a?，条件a a?a，b?，ab b结论 aabb a ? 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理AB 图形 ，a，Pbaba?，?， a，? 条件 ?a，b b b a a结论 页学生用书114第 感 析 辨 悟 对直线与平面平行的判定与性质的理解1(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直

2、线平行于这个平面(×) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线(×) (3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.(×) (4)若直线a，P，则过点P且平行于a的直线有无数条(×) 2对平面与平面平行的判定与性质的理解 (5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行(×) (6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面() (7)(教材练习改编)设l为直线，是两个不同的平面，若l，l，则.(×) 感悟·提升 三个防范 一是推证线面平行时，一定要说明一条直

3、线在平面外，一条直线在平面内，如(1)、(3) 二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如(5) 三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如(2)、(4) 考点一 有关线面、面面平行的命题真假判断 【例1】 (1)(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A若，m?，n?，则mn B若，m?，n?，则mn C若mn，m?，n?，则 D若m，mn，n，则 (2)设m，n表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是( ) A若m，m

4、n，则n B若m?，n?，m，n，则 C若，m，mn，则n n，则?n，mn，m，若D可平行、可异面；与nB中m中，解析 (1)Am与n可垂直、可异面、可平行； D正确，故C错误；故m?，n?C中，若，仍然满足mn，错误，相交；C有可能与平面有可能在平面内；B错误，平面(2)A错误，n，n?m，又nm内；D正确，易知m或m?，若n也有可能在平面，l，nl，又nm，过m作平面交平面于直线l，则mmn，若. ，n，l?又n?(2)D 答案 (1)D线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形 规律方法 结合，画图或结合正方体等有关模型来解题与平b，则直线b，且直线a平面【训练1】

5、(1)(2014·长沙模拟)若直线a )面的位置关系是( b B Ab? ?或b Db与相交或bCb?或b 的三个命题：，m给出下列关于互不相同的直线l，n和平面(2) ；，则?，m?l若l与m为异面直线， ；lm，m?，则若，l?. nm，l，则n，m，若l )其中真命题的个数为( 0 D C1 A3 B2 b或相交或b?解析 (1)可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b与D. 的情况，故选，且直线a平面a时，均满足直线b也可能异m；中，l与，与相交时，也能存在符合题意的lm(2)中，当 n，正确n，则mm，m?l，同理lll面；中，?(2)C (1)D 答案 线面平行的判定与

6、性质考点二2，ABACAACA如图， 直三棱柱ABCB，BAC90°，】【例21，点M，N分别为AB和BC的中点 ；ACCA平面MN证明：(1)(2)求三棱锥AMNC的体积 (1)证明 法一 连接AB，AC，如图，由已知BAC90°，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱， 所以M为AB中点 又因为N为BC的中点，所以MNAC. 又MN?平面AACC，AC?平面AACC， 因此MN平面AACC. 法二 取AB的中点P，连接MP，NP，AB，如图，而M，N分别为AB与BC的中点， 所以MPAA，PNAC， 所以MP平面AACC，PN平面AACC. 又MPNPP，因此平面MPN

7、平面AACC. 而MN?平面MPN，因此MN平面AACC. (2)解 法一 连接BN，如图，由题意ANBC，平面ABC平面BBCCBC， 1所以AN平面NBC.又ANBC1， 2 判断或证明线面平行的常用方法： 规律方法 (1)利用线面平行的定义，一般用反证法； (2)利用线面平行的判定定理(a?，b?，ab?a)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符语言的叙述； (3)利用面面平行的性质定理(，a?a)； (4)利用面面平行的性质(，a?，a?a) 【训练2】 如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点证明：直线HG平面CE

8、F. 证明 法一 如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接EK. F，H分别是AB，AC的中点， K是ABC的重心， BK2. 3BHBE2又据题设条件知， 3BGBKBE，EKGH. BGBHEK?平面CEF，GH?平面CEF， 直线HG平面CEF. 图1 2 图. HNGN、N2，取CD的中点，连接法二 如图. CEGNG为DE的中点， ，平面CEF平面CEF，GN?CE? ENFH，GN平面CEF.连接 的中点，AC分别是棱AB，BDF，E，H11 EN，BC綉，FH綉FH綉BC，EN 22. EF四边形FHNE为平行四边形，HN CEF，HN?平面EF?平面CEF N，HNGNHN平面

9、CEF. 平面CEF平面GHN. 平面CEFGHN，直线HGGH?平面 面面平行的判定与性质考点三是正方形，ABCDCD的底面如图，四棱柱陕西卷)ABCDAB【例3】 (2013·11112. ABAA是底面中心，AO底面ABCD，O11(1)证明：平面ABD平面CDB； 111(2)求三棱柱ABDABD的体积 111 审题路线 (1)判定四边形BBDD是平行四边形?BDBD?BD平面CDB111111?同理推出AB平面CDB?面ABD面CDB. 111111(2)AOABDABDAOS?求的高断定?为三棱柱用勾股定理求?求ABD11111 . (1)证明 由题设知，BB綉DD，四边

10、形BBDD是平行四边形，BDBD. 111111又BD?平面CDB， 11BD平面CDB. 11AD綉BC綉BC， 1111四边形ABCD 是平行四边形，11. BDCA11 ，CDB又AB?平面111. B平面CDAB111 ，B又BDAB1. CDB平面ABD平面111 ABCD，(2)解 AO平面1 的高DO是三棱柱ABDABA11111 21，AA，又AOAC 12221. OOAAAA111×21×2， 又S ABD2 规律方法 (1)证明两个平面平行的方法有： 用定义，此类题目常用反证法来完成证明； 用判定定理或推论(即“线线平行?面面平行”)，通过线面平行来完

11、成证明； 根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； 借助“传递性”来完成 (2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用 【训练3】 在正方体ABCDABCD中，M，N，P分别是CC，BC，CD111111111的中点，求证：平面PMN平面ABD. 1 证明 法一 如图，连接BD，BC. 111P，N分别是DC，BC的中点， 1111PNBD. 11又BDBD，PNBD. 11又PN?平面A ，BD1PN平面ABD. 1同理MN平面ABD. 1又PNMNN， 平面PMN平面ABD. 1 法二 如图，连接AC，AC， 1且ACBDO， A

12、BCDABCD为正方体， 1111ACBD，CC平面ABCD， 1CCBD，又ACCCC， 11BD平面ACC， 1ACBD.同理可证ACAB， 111AC平面ABD.同理可证AC平面PMN， 111平面PMN平面ABD. 1 平行关系的转化方向如图所示：1 2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可 ”模式化“过于 学生用书 页116第 答题模板8如何作答平行关系证明题 【典例】 (12分)(2012·山东卷，文)如图

13、1，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD. (1)求证：BEDE； (2)若BCD120°，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC. 图1 图2 规范解答 (1)如图2，取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CBCD，所以COBD， 又ECBD，ECCOC，CO，EC?平面EOC，所以BD平面EOC， 因此BDEO， 的中点，为又OBD . 所以BEDE 3 图(2)法一 如图3，取AB的中点N，连接DM，DN，MN， 因为M是AE的中点， 所以MNBE. 又MN?平面BEC，BE?平面BEC，MN平面BEC.(7分) 又因为ABD为正三角形， 所以BDN

14、30°， 又CBCD，BCD120°， 因此CBD30°，所以DNBC. 又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN平面BEC. 又MNDNN，故平面DMN平面BEC， 又DM?平面DMN，所以DM平面BEC. 图4 法二 如图4，延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CBCD，BCD120°， 所以CBD30°. ABD为正三角形，因为 90°，60°，ABC所以BAD ，因此AFB30°1 AF. 所以AB 2又ABAD，所以D为线段AF的中点 连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.(11分)

15、又DM?平面BEC，EF?平面BEC， 所以DM平面BEC. 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求，每步推理 反思感悟要有理有据，不可跨度太大，以免漏掉得分点本题易忽视DM?平面EBC，造成步骤不完整而失分 答题模板 证明线面平行问题的答题模板(一) 第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线； 第二步：证明线线平行； 第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行； 第四步：反思回顾检查关键点及答题规范 证明线面平行问题的答题模板(二) 第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面； 第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行； 第三步

16、：证明所作平面与所证平面平行； 第四步：转化为线面平行； 第五步：反思回顾检查答题规范 DC，中，ABP (2013·福建卷改编)如图，在四棱锥ABCD【自主体验】. PBC的中点，求证：DM平面，若3M为PAAB6，DC . CNMN，PB 取中点N，连接证明 法一 中，PAB在 A的中点，PM是 ，MNAB1 3，且MN 2 3，ABCD，CD又 ，MN綉CD 为平行四边形，四边形MNCD. DMCN PBC，平面CNPBC?又DM平面，?. PBC平面DM法二 取AB的中点E， 连接ME，DE. 在梯形ABCD中，BECD， 且BECD， 四边形BCDE为平行四边形， DEBC

17、，又DE?平面PBC， BC?平面PBC， DE平面PBC. 又在PAB中，MEPB， ME?平面PBC， PB?平面PBC， ME平面PBC， 又DEMEE， 平面DME平面PBC. 又DM?平面DME， DM平面PBC. 对应学生用书P313 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1已知直线a，b，c及平面，下列条件中，能使ab成立的是( ) Aa，b? Ba，b Cac，bc Da，b 解析 由平行公理知C正确，A中a与b可能异面B中a，b可能相交或异面，D中a，b可能异面 答案 C 2在梯形ABCD中，ABCD，AB?平面，CD?平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能

18、是( ) A平行 B平行和异面 C平行和相交 D异面和相交 解析 ABCD，AB?，CD?CD， CD和平面内的直线没有公共点 答案 B 3(2014·陕西五校一模)已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是( ) A存在一条直线b，ab且b? B存在一条直线b，ab且b C存在一个平面，a?且 D存在一个平面，a且 解析 在A，B，D中，均有可能a?，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确 答案 C 为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，n，m若)汕头质检(2014·4则下列命题中正确的是( ) A若m，n都平行于平面，则m，n一

19、定不是相交直线 B若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线 C已知，互相平行，m，n互相平行，若m，则n D若m，n在平面内的射影互相平行，则m，n互相平行 解析 A中，m，n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行，也可以在内；D中，m，n也可能异面 答案 B 5在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则( ) ABD平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形 CHG平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 DEH平面ADC，且四边形EFGH是梯形 解析 如图，由题意知EFBD，

20、1且EFBD. 51HGBD，且HGBD. 2EFHG，且EFHG. 四边形EFGH是梯形 又EF平面BCD，而EH与平面ADC不平行故选B. 答案 B 二、填空题 6(2014·南京一模)下列四个命题： 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行； 如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内 其中所有真命题的序是_ 解析 根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，

21、故不正确；根据平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，故正确；根据两个平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，故正确从而正确的命题有. 答案 7(2014·衡阳质检)在正方体ABCDABCD中，E是DD的中点，则BD与111111平面ACE的位置关系为_ 解析 如图 ?，BD?平面ACE，因为点，连接OEOEBD，而OE连接AC，BD交于O11. ACE，所以ACEBD平面平面1 平行答案 是两条不同直线，有ba，是三个平面，8(2014·金丽衢十二校联考)设.如果命

22、题“?；b，a?下列三个条件：a，b；a，b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是ba?，且_，则a，b )_(把所有正确的题填上在同一ba?时，和ab 解析由面面平行的性质定理可知，正确；当，. 平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或 或答案 三、解答题 9(2014·青岛一模)四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M. (1)求证：PD平面ANC； (2)求证：M是PC中点 证明 (1)连接BD，AC，设BDACO，连接NO， 是平行四边形，ABCD 中，中点，在PBDO是BD NO，PB中点，PD是又N ANC

23、，PD?平面又NO?平面ANC. 平面ANCPD BC，为平行四边形，AD(2)底面ABCD ，?平面ADMNBC?平面ADMN，AD又 ，MNADMN，因平面PBC平面ADMN平面BC PB中点，是MN，又NBC PC中点M是10. CCF在上，E在AA点点是棱长为C如图，已知ABCDABD3的正方体，111111 CBH1GB上，且BBG上，在AEFC，是的中点11111(1)求证：E，B，F，D四点共面； 1(2)求证：平面AGH平面BEDF. 11证明 (1)AEBG1，BGAE2， 11BG綉AE，AG綉BE. 11又同理，CF綉BG， 11四边形CFGB是平行四边形， 11FG綉C

24、B綉DA， 1111四边形AGFD是平行四边形 11AG綉DF，DF綉EB， 111故E、B、F、D四点共面 13(2)H是BC的中点，BH. 1112BG2FC21又BG1，.又， 133BCBH1且FCBGBH90°， 1BHGCBF，BGHCFBFBG， 11HGFB. 又由(1)知AGBE，且HGAGG， 11FBBEB，平面AGH平面BEDF. 11能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、选择题 1(2014·蚌埠模拟)设m，n是平面内的两条不同直线；l，l是平面内的两21条相交直线，则的一个充分而不必要条件是( ) Am且l Bml且nl 211Cm且n Dm且nl 2解析 对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l与l是相交直线，而且由l121m可得l，同理可得l，又l与l，充分性成立，而相交，故可得2121由不一定能得到lm，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于1选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由nl