五年级奥数几何勾股定理与弦图C级学生版

1、 勾股定理与弦图 课前预习 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们：他潜心探讨，有一位中年人，他聪明又勤奋，“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿， 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年他反复思考与演算”，那是1876人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然时而小声探讨。有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，发现附近的一个小石凳上，由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。，那么斜边长为多少呢？”43也

2、不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为和，那么这个直角三角7加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和的7形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上平方”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很他经过反复思考与演算，不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。 终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： ，BDE可以拼成直角梯形ACDE两个全等的RtABC和Rt 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即DE）×CD÷

3、2AC×BC÷2（ACBD×DE÷2AB×BE÷2 2÷2a×b÷2）a×b÷2c×c÷2 （ab222 bca化简整理得 2÷高×下底）+（上底，和梯形的面积公式：2÷高×点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形

4、边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的周髀算经中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五 ,:弦图又可以句股相乘为朱实二即弦.案开方除之三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实, ,亦成弦实以句股之差自相乘为中黄实,加差之倍之为朱实四, 短面曰句，长面曰股，相与结.其中解释到:汉朝张苍、狄昌寿整理的九章算术第九卷为句股 角曰弦.句短其股，股短其弦 句股各自乘，并，而开方除之，即弦。 勾股定理的证明： 1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：（A12?2?4?S?ca?babABCD正方形

5、 2222.ca?b?B 将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：:）方法二2（ H12?2ab4a?bS?c? EFGH正方形2222.?bca?E 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：总统“”法.（3）方法三：11?b)a(a?b)( 2cSab?2?ABCD梯形222 222.?ac?b 知识框架 A 直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方勾股定理:cb 较长的直角边、注：勾最短的边、股 斜边。弦CBa 勾股定理实际上包含两方面的内容： 如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方； 如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形

6、 勾股数： 222的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数常用勾股数：3、4=c、5；满足a +b 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 弦图： HG FE 重难点 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 3.勾股定理与弦图的联系与应用 例题精讲 】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别【例1 和，那么最小的正方形的面积为是676576 【巩固】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为2 的面积之和为_cm。C7cm,则正方形A，B，

7、D C D B A 7cm 中，且CD=12cmBC=13cmAB=3cm，AD=4cm，ABCD2【例】已知，如图，四边形 °，求四边形ABCD的面积。A=90 A D B C 海里的速度前进，乙船沿南偏东方向以每小时8B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东0°【例3】在海里，你知道34岛，乙船到P岛，两岛相距15某个角度以每小时海里的速度前进，2小时后，甲船到M 乙船是沿哪个方向航行的吗？ 方BCB处有一台风中心，沿A接到台风警报，在该市正南方向100km的如图，某沿海开放城市【巩固】点移到，那么台风中心经过多长时间从B到BC的距离AD=60km向以20km/h的速度向D

8、移动，已知城市A点休闲的游人在接到台D30km点？如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？C A D B 平方米，5从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为 【例4】 问锯下的长方形木条的面积等于多少？ 平方分336分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为16从一块正方形玻璃上裁下宽为 【巩固】米，原来正方形的面积是多少平方分米？ 【例5】如图,P是正方形ABCD外面一点,船为12厘米.APB的面积是90平方厘米，ACPB的面积是48平方厘米请你回答:正方形ABCD的面积是多少平方厘米? 34c

9、m。求这个长方形的面积。【巩固】有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长 求正已知EG=15,FH=13,ABCD是正方形的内接四边形，四边形EFGH的面积是94.5.【例6】如图，EFGH 的面积方形ABCD 【巩固】PQRSABCDHGFEABCD如图所示，在四边形中，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形 的面积之比。 怎?1厘米的纸片宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽,【例7】.如图一张长14厘米, 请画图说明样裁? ，盒中空白部分的面积已经标12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图7-15【巩固】三个面积都是 出，求图中大长方形的面积？ 个整数；现在用这105个宽恰好

10、是110这个长和且它们的长和宽都是整数个长方形有】【例8.5,5? 那么个大正方形个长方形拼成51,大正方形面积的最小值为多少 【巩固】已知两数的和为3，两数的积为1.25，求两数？ 【例9】.如图,A在线段BG上,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为7和11.求三角形CDE的面积的平方值? ,ABCDCDEF是正方形如图32-6(b),平面上届华罗庚金杯赛小学组第一试决赛试题第【巩固】(第84题) 的面积求三角形ADEC为35厘米.下底口它的上底肋为是等腰梯形,23厘米, 问：.红两色的三角形石板铺成32-7如图所示,小路由白色正方形石板和青、.,】【例10园林小路曲径通幽 请说明理由,

11、内圈三角形石板的总面积大还是外?圈三角形的总面积大 【巩固】一个长方形若能分割成大小不一样的小正方形，则称它为完美长方形。下图完美长方形可以分割成9个小正方形，其中小正方形A和B的边长分别为5厘米和9厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？ 课堂检测 平方、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图）如果小正方形的面积是11米。 米，大正方形的面积是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角边长度是 2、请问下图正方形的面积是 平方厘米。 32 105平方米、4米的正方形被分成个小长方形，他们的面积分别是平方米、17-43、如图，一个边长为11 510 平方米。已知图中的阴影部分

12、是正方形，那么它的面积是多少平方米？平方米和 复习总结 根据直角三角形计算出三角形中第三边的长度，在计算时可以借助分解质因数，或者根据三遍关系判断是 直角三角形；有直角的通过加辅助线构造直角三角形； 通过对弦图进行观察分析得出构成弦图的直角三角形两直角边的关系，始终要有方程意识 家庭作业 厘米。 x= 1、左下图中有三个直角三角形。请问 2、用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，如右图.边框的周长为264厘米.里边小 平方厘米，问每块长方形条砖的长和宽各是多少厘米？900正方形的面积为 3如下图所示，红、黄、绿三块大小一样的正它们方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合，已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10，那么，正方形盒子的底面积是_ (2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第17题) 黄红绿 4如图:长方形的面积是小于100的整数，他的内部由三个边长是整数的正方形，正方形的边长是51，正方形的边长是长方形宽的，那么图中阴影部分的面积是多少？长方形长的 812 5在直角边为3与4的直角三角形各边上向外作正方形