小题专项集训十五圆锥曲线

1、小题专项集训(十五) 圆锥曲线 (时间：40分钟 满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共50分) 1设椭圆x2m 2y2n 21(m>n>0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( ) A.x2 12y2 161 B.x2 16y2 121 C.x2 48y2 641 D.x2 64y2 481 解析 依题意知：2 m12，得m4.由n2m22212，所以所求椭圆方程是x2 16y2 121. 答案 B 2已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x2a 2y2b 21(a>b>0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为

2、 ( ) A.13 B.1 2 C.33 D.22 解析 依题意知双曲线的顶点(c,0)，(c,0)，焦点为(a,0)，(a,0)，则ac2，故椭圆的离心率eca12. 答案 B 3如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 ( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 解析 由条件知|PM|PF|. |PO|PF|PO|PM|OM|R >|OF|. P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆 答案 A 4P为椭圆x2 4y2 31上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF260

3、6;，则PF1·PF2 ( ) A3 B.3 C 23 D2 解析 SPF1F2b2tan 60° 23×tan 30° 31 2|PF1|·|PF2|·sin 60°， |PF1|·|PF2|4，PF1·PF24×122. 答案 D 5已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率为62，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 ( ) A.x24 y221 B.x22 y231 C.x22y21 Dx2y21 解析 根据题目条件中双曲线的离心率为62，可以排除选项B和D，选项A 中，一个

4、焦点为(6，0)，其渐近线方程为 x±2y0，那么焦点到渐近线的距离为d |6±2×0|12?2?221，也可以排除，故选择正确答案C. 答案 C 6已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( ) Ax1 Bx1 来源学+科+Z+X+X+K Cx2 Dx2 解析 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F?p2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yxp2，即xyp2，将其代入y22px2p?yp22 pyp2，所以y22pyp20，所以y1y22p2，

5、所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1，故选B. 答案 B 7ABC的顶点A(5,0)、B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是 ( ) A.x2 9y2 161 B.x2 16y2 91 C.x2 9y2 161(x>3) D.x2 16y2 91(x>4) 解析 如图|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x2 9y2 161(x>3) 答案 C 8在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若F1PF23，|PF2|2|PF1|，则

6、该双曲线的离心率等于 ( ) A2 B.2 C3 D.3 解析 在F1PF2中，由余弦定理可得 cos 3|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF2|·|PF1 |12， 解得|PF1| 233c，则|PF2| 433c， 由双曲线的定义可得|PF2|PF1| 433c 233c2 a， 即ca3，故选D. 答案 D 9已知抛物线y2 8x的准线与双曲线x2my21(m>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )来源 学*科* A.21 B.212 C 2 D25 解析 抛物线的准线方程为x2，设准线与x轴的交点为D(2,0)

7、，由题意得AFB90°，故|AB|2|DF|8，故点A的坐标为(2,4)由点A在双曲线x2 my21上可得?2?2 m421，解得m4 17.故c2m121 17，故双曲线的离心率eca 214 212. 答案 B 10设P为圆x2y21上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PMMQ(其中为正常数)，则点M的轨迹为 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由PMMQ，得? xx0?x0x?，yy0y(0)，? x0x，y0?1?y.来源:ZXXK 由于x20y201，x2(1)2y21，M的轨迹为椭圆 答案 B 二、填空题

8、(每小题5分，共25分) 11若抛物线y22px(p>0) 的焦点与椭圆x26 y221的右焦点重合，则p的值为_ 解析 抛物线的焦点为?p2，0 ，椭圆中，a6 ，b2，所以c2，即右焦点为(2,0)所以p22，即p4. 答案 4 12在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA4，则点P的轨迹方程是_ 解析 由OP·OA4，得(x，y)·(1,2)4，即x2y4. 答案 x2y40 13已知双曲线 x2a2 y2b21(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|

9、，则此双曲线的离心率e的最大值为_ 解析 由定义，知|PF1|PF2|2a. 又|PF1|4|PF2|，|PF1|83a，|PF2|23a. 在PF1F2中，由余弦定理， 得cosF1PF264 9a249a24c22·83a·23 a17 898e2. 要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值， 当cosF1PF21时，得e53，即e的最大值为53. 答案 53来源:Zxxk. 14在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上， 离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_ 解析 根据椭圆C的焦点在x轴

10、上，可设椭圆C的方程为 x2a2 y2b21(a>b>0)，e 22，ca 22.根据ABF2的周长为16，得4a16，a4，b 22，椭圆C的方程为 x216 y281. 答案 x216 y281 15(2013·枣庄一模)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_ 解析 法一 (直接法)设A(x，y)，y0，则D?x2，y2，来源学§科§Z§X§X§K |CD| ?x252y243， 化简得(x10)2y236，由于A，B，C三点构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y0.