复化梯形公式和复化辛普森公式的精度比较

1、实验四、复化梯形公式和复化Simpson公式的精度比较(2学时)、实验目的与要求1、熟悉复化Simpson公式和复化梯形公式的构造原理;2、熟悉并掌握二者的余项表达式；3、 分别求出准确值，复化梯形的近似值，复化Simpson的近似值，并比较后两者的精度；4、从余项表达式，即误差曲线，来观察二者的精度，看哪个更接近于准确值。二、实验内容：1 sin X , dx。0 X对于函数f(x) 沁，试利用下表计算积分IX表格如下:X01/81/43/81/25/83/47/81f(x)10.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87

2、719250.8414709注：分别利用复化梯形公式和复化 Sim pson公式计算，比较哪个精度更好。其中：积分的准确值1 O,9460831。三、实验步骤1、熟悉理论知识，并编写相应的程序;2、上机操作，从误差图形上观察误差，并与准确值相比较，看哪个精度更好;3、得出结论，并整理实验报告。四、实验注意事项1、复化梯形公式，程序主体部分： for n=2:10T(n)=0.5*T(n-1) for i=1:2A(n-2)T( n)=T( n)+(si n( (2*1-1)/2八(门-1)/(2*1-1)/2八(门-1)/2八(n-1) endend2、复化 Simpson 公式，程序主体部分

3、：for i=1:10n=2.9 x=0:1/n:1 f=sin(x)./x f(1)=1 s=0for j=1:n/2 s=s+f(2*j)endt=0for j=1:(n/2-1)t=t+f(2*j-1)endS(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1)end五实验内容复化梯形公式和复化辛普森公式的引入复化梯形公式:Tnn 1 h2f(Xkk 0 2f (Xk 1)；复化辛普森公式:n 1 hS.-f(Xkk 0 64f(x 1) f(Xk1)；k 2根据题意和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编辑程序求解代码如下:Matlab代码cic p1=zeros(10,1);s

4、=quad( 'sin(x)./x',0,1)p2=zeros(10,1);for k=6:15s1=0;s2=0;x=li nsp ace(0,1,k);y=si n( x)./x;z=(1/(2*(k-1):(1/(k-1):1;sz=s in( z)./z;y(1)=1;for i=1:(k-1)s仁s1+0.5*(x(i+1)-x(i)*(y(i)+y(i+1);endfor j=1:(k-1)s2=s2+(1/6)*(x(j+1)-x(j)*(y(j)+y(j+1)+4*sz(j);endp1(k-5)=s1-s;p2(k-5)=s2-s;end p1;p2； s1=

5、s+p1 s2=s+p2 format long for k=1:le ngth( p1)p1(k)=abs( p1(k);p2(k)=abs( p2(k);end p1 p2p lot(6:1:15, p1.-rhold on-c')p lot(6:1:15,10000*( p2).hold off部分程序结果输出:0.946083070076534 s1 =0.945690863582701 s2 =0.946083085384947结果分析根据结果输出可知：积分sindx 的准确值为：I= 0.9460830700765340 X通过复化梯形公式和复化辛普森公式得到的积分值为:s

6、1 =0.945690863582701: s2 =0.946083085384947;相对误差为：U 100100 4.15 10 4 ；S 100100 1.62 10 8 ；显然，从相对误差可知通过辛普森公式得到的结果误差小精度高。由于以上的算法只算了结点个数为9的情况，只能横向比较两公式的精确程度,而不能分别比较两公式随节点个数变化精度的变化，故而将以上程序重新编（以上程序为最终程序）可得出两公式随节点个数变化精度的变化情况所取得节点个数为从6到15,共计10种情况对应的误差值如下表:节点数678910T0.0010.00070.000510.000390.00031S*100000.987620.477660.259130.153080.09666节点数1112131415T0.000250.000210.000170.000150.00013S*100000.064410.044910.032570.024440.01892（表 1）注：由于辛普森公式的精度较高，所得的误差值较小不宜比较，故而将辛普森公式计算出的误差值乘上10000得到以上表1的结果，其相应的曲线图如下（图1）。（图1:两误差曲线比较