习题与复习题详解线性空间高等代数

1、习题 5. 11 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间答 是因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性 .由 n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2全体正实数R+, 其加法与数乘定义为a b abkoa ak其中 a, b R ,k R判断R+按上面定义的加法与数乘是否成实数域上的线性空间答 是 . 设 , R.因为 a, b R a b ab R ,R,a R oa a R ,

2、所以 R 对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律(1) a b ab ba b a ;(2) (a b) c (ab) c (ab)c abc a(bc) a (b c) ;(3) R 中存在零元素1, a R , 有 a 1 a 1 a ;(4) 对 R 中任一元素a ，存在负元素a 1 Rn , 使 a a 1 aa 1 1 ;1(5) 1oa a a ;(6)o oa oa a aoa ;oa a a a a a oa oa；所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.3 .全体实n阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间 答否.A

3、 B与B A一定相等.全体实n阶矩阵按定也就是说集合对加法不故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（1 ）义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间4 .在P22中，W A/ A 0,A P2 2 ,判断W是否是P2 2的子空间.答否.1211 23例如 和的行列式都为零，但的行列式不为零，1 23 34 5封闭.习题1 .讨论P2 2中的线性相关性.ax1 x2 x3 x4 0a 1 1 1即x1ax2 x3 x4 0 .由系数行列式1 a 1 1(ax1 x2 ax3 " 01 1 a 1x1 x2 x3 ax4 0111a解 设 x1A x2A2 X3A3 x4A4 O ,33)

4、(a 1)知，a 3且a 1时，方程组只有零解，这组向量线性无关;2 .在R4中，求向量在基1, 2, 3, 4下的坐标.其中X4 41 000M11234M1210M01111M00301M01101M1初等行变换0100010M00M10001M0故向量在基 12, 3, 4下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).解设x1 1x2 2x3 3x4 4x1 0x2 x3 x42则有x1x2 x3 0x4x1 x2 0x3 0x4 4x1 0x2 0x3 0x471011M2110M310 0M4初等行变换1000M71000M70100M110010M210001M307 1 11

5、 2 21 3 30 4 . 故向量在基 1, 2 , 3, 4下的坐标为 （ -711， -21 ， 30)4已知R3 的两组基1111= 1 ，2= 0 ，3= 01-111231= 2 ，2= 3 ，3= 4143（1）求由基（I）到基（n）的过渡矩阵;12） 已知向量在基 1, 2 , 3下的坐标为0 ,求 在基 1, 2, 3下的坐标；-113） 已知向量在基 1, 2, 3下的坐标为-1 ,求 在基 1, 2, 3下的坐标;24） 求在两组基下坐标互为相反数的向量解（1）设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵 ,由1, 2, 31, 2, 31即2123434311110110 C,

6、1知基到基（n）的过渡矩阵为（2）首先计算得C1201232132于是在基1, 2,下的坐标为C32012（3）在基1, 2, 3下的坐标为C设在基3下的坐标为y1y2y3,据题意有y1y2y3y1y2y3V10解此方程组可得y2 =k 4 , k为任意常数.生 34k123k 3 k 07,k为任意常数.5.已知P X 4的两组基f1（x）231 X X X , f2（X）2X , f3（X） 1 X,f4（x）（n）：g1（x）23X X X , g2（X） 1X3, g3（X）1 XX3, g4（X）1(1)求由基(i)到基(n)的过渡矩阵;(2)求在两组基下有相同坐标的多项式 f (x

7、).解(1 ) 设C是由基(I)到基(n)的过渡矩阵，由 g1,g2,g3,g4f1,f2,f3,f4 c有(1,x,x2,x3)01111011110111101231(1,x, x , x )110110110010 C .0010 c01101111110123(2)设多项式f (x)在基下的坐标为T (x1,x2,x3,x4).x1据题意有C x2x3xx1x2x3x4(CE)xx2x3x*)0001111111010122所以方程组(*)只有零解，则f(x)在基(下的坐标为(0,0,0,0) T，所以f(x)习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间Rx3同构.证明 设线性方程组为

8、 AX= 0,对系数矩阵施以初等行变换.Q R(A) 2线性方程组的解空间的维数是 5- R(A) 3 .实系数多项式空间Rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数 多项式空间Rx3同构.习题1 .求向量 1, 1,2,3的长度.解. 12 ( 1)2 22 32,15 .2 .求向量 1, 1,0,1与向量 2,0,1,3之间的距离.解 d( , ) |(1 2)2 ( 1 0)2 (0 1)2 (1 3)27.3 .求下列向量之间的夹角(1) 1,043,1,21 1(2) 1,2,2,3 ,3,151解(1) Q(3) 1,1,1,2 ,3,1, 1,01 ( 1) 0 2 4

9、 1 3 ( 1) 0, a,1 3 2 1 2 5 3 1 18,18arccos6 18(3) Q1 3 1 1 1 ( 1) 2 0 3,| |1-1_1_47 ,| |四一11一0 .11 ,arccos77.3.设，为n维欧氏空间中的向量，证明：d( , ) d( , ) d(,).证明 因为I I|2 (,)所以 I (| I|)2,从而 d( , ) d( , ) d(,).习题1.在R4中，求一个单位向量使它与向量组11,1, 1, 1 ,21, 1, 1,1 ,31, 1,1, 1 正交.解设向量(Xi ,X2, X3,X4)与向量 1, 2,3正交，则有即X1X1X2X2X

10、2X3X3X3X4X4X*)齐次线性方程组(*)的一个解为X2x4 1.(1,1,1,1),将向量单位化所得向量=(-，-2 21 1 一,)即为所求.2 22.将R3的一组基化为标准正交基.(1 )正交化，取(2 )将1 , 2,3单位化(1,( 1,2)1)1112 111111111323131*, 2, 3为R的一组基标准正交基.3.求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.所以只需求出一分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基,个基础解系再将其标准正交化即可解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵可得齐次线性方程组的一个基础解系1110 ,001

11、01 ,0010041由施密特正交化方法，取1/21/31/21/3111/3n1110,221200将1, 2, 3单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以1*, ；, ；是解空间的一组标准正交基.3.设1, 2, n是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基, A是n阶正交矩阵,证明：A 1, A 2，, A n也是Rn中的一组标准正交基.证明 因为1, 2, , 0是门维实列向量空间Rn中的一组标准正交基,所以T 0 i j(i, j) i j d . (i,j 1,2,L ,n).1 i j又因为A是n阶正交矩阵,所以ATA E .则故A

12、1,A 2, ,A n也是Rn中的一组标准正交基.5.设1, 2, 3是3维欧氏空间V的一组标准正交基,证明也是V的一组标准正交基.证明由题知所以1 , 2, 3是单位正交向量组,构成V的一组标准正交基.习题五(A)一、填空题1 .当 k 满足 时，11,2,1 , 22,3,k , 13,k,3 为R3的一组基.解三个三维向量为R3的一组基的充要条件是| 1, 2, 3 0,即k 2M k 6.2 .由向量 1,2,3所生成的子空间的维数为.解 向量 1,2,3所生成的子空间的维数为向量组 的秩，故答案为1.3 .R3中的向量3,7,1在基11,3,5, 26,3,2 , 33,1,0下的坐

13、标为 .解根据定义，求解方程组就可得答案.设所求坐标为（X1,X2,X3）,据题意有X 1X22X33 .为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算M 154M 82 ,M 33361M3100133M7初等行变换010025M1001所以(X1,X2,X3)= (33,-82,154).1,0,1 , 32, 5, 1的过渡矩阵为4 .R3中的基 1, 2, 3到基 12,1,3 , 221解因为(1, 2, 3)( 1, 2, 3)103122125 ,所以过渡矩阵为10513115 .正交矩阵A的行列式为 解AT A |E|A2 1 A 1 .6 .已知5元线性方程组 AX= 0的系数矩阵的秩

14、为3,则该方程组的解空间的维数为 .解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含 5-3 =2个向量，故解空间的维数为2.7 .已知 12,1,1,1, 22,1,a,a , 33,2,1,a, 44,3,2,1 不是 R4 的基且 a 1,则a 满 足 解 四个四维向量不是R4的一组基的充要条件是| 1, 2, 3, 4 0,则a 3或1.故答案为a 2二、单项选择题1.下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是().(A)Vi，,0,0,xn x1,x,(B)X1 x2xn 0,为(0V3x1,x2,xnx1 x2xn 1, xi(D)V4X1,0,L

15、,0,0 X1R解（C ）选项的集合对向量的加法不封闭故选（C）.2.在P33中，由A生成的子空间的维数为（3(A)(B)(C)(D) 41向量组A生成的子空间的维数是向量组A的秩，故选（A）.选项中（,23 3,3 31)=( 1, 2,又因,3线性无关且可逆，所以12 2,23 3,3 31线性无关.故选（B）.2)(23)0,所以（C）选项中向量组线性相关，故选（C）.5. n元齐次线性方程组AX= 0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为s,贝M ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r选 ( B)6. 已知 A, B 为同阶正交矩阵,

16、则下列 () 是正交矩阵.(A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA ( k 为数)解 A, B 为同阶正交矩阵AB(AB)T ABBT AT AAT E 故选(C) .7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵() .是正交矩(A) 一定不可逆(B) 一定可逆(C) 不一定可逆(D)阵选 ( B)(B)1已知R4 的两组基(I ) 1， 2，3，4(U) 1 12 34， 2 23 4， 334， 44(1 )求由基(n)到(i)的过渡矩阵；( 2 ) 求在两组基下有相同坐标的向量.解(i)设C是由基(I)到基(n)的过渡矩阵，已知1000()()1100( 1 , 2, 3,

17、4) ( 1 , 2, 3, 4),1234123411101111所以由基(n)到基(I)的过渡矩阵为100011100C.01100011（2）设在两组基下有相同坐标的向量为，又设 在基（I）和基（n）下的坐标均为（Xi,X2,X3,X4）,由坐标变换公式可得XiXiX2X2CX3X3X4X4Xi即(E C) X20X3X4(*)齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1),通解为 X (0,0,0, k) (k R).故在基（i）和基（n）下有相同坐标的全体向量为010 2 0 3 k 4 k 4 (k R).解(1 ) 由题有0,所以1，2，3线性无关001100111222故

18、1，2，3是3个线性无关向量，构成 R3的基.(2 ) 因为0 10所以从基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为-1 -1 20 1011， 2， 3.1, 2, 3)-1 -1 22-52所以向量在基1, 2, 3下的坐标为5 .1解（1）因为由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的过渡矢I阵为C =2 10 0110 00 0 3 50 0 12所以(1,2， 3,1， 2， 3， 4)C12 0 02 10 00 0 120 0 2 11-100-12000 02-50 00010 0 37所以13000037(2 ) Q111232 4( 1, 2 , 3, 4)/12111( 1, 2 , 3, 4)C1201(1, 2 , 3,