动点路径长专题

1、动点路径长专题作者:日期:专题3 （动点路径长）一 选择题（共2小题）1 .如图，抛物线 y=x2-丄X-3与直线y =x-2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到 _ 2E,再到达x轴上的某点 F,最后运动到点B 若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总达抛物线的对称轴上的某点2 .如图，半径为点E从点B出发顺时针运动到点4的OO中,CD为直径，弦A B丄CD且过半径 0D的中点，点E为O0上一动点，C F丄AE于点F.当 D时，点F所经过的路径长为（）A.頁兀BC込D .曲IT23rr二填空题（共9小题）3. （2013?鄂尔多斯）如图，直线 y= - x+4与两坐标轴

2、交 A、B两点，点P为线段O A上的动点，连接 BP ,过点A作 当点P从点0运动到点A时，则点M运动路径的长为 _ 4如图，半径为2 cm,圆心角为90°的扇形0A B的上有一运动的点p .从点P向半径0A弓I垂线PH交0A于点H.设 0 PH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为5.（2 011?江西模拟）已知扇形的圆心角为 60°半径为1,将它沿着 点0到0的路径是 00 170102702 0 ；箭头方向无滑动滚动到oA'E位置,点0到0的路径是00厂010 2点0在O 1702段上运动路线是线段O 1 0 2；点0到0 的所经过的

3、路径长为討以上命题正确的是P B折叠，得到6. （2 0 1 3?宁德）如图，在 Rt ABC纸片中，/ C=90 ° AC= BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿 点C的对应点D（ P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点 D的路径长是 7如图，已知 A B =10 , P是线段AB上的动点，分别以AP、P B为边在线段AB的同侧作等边 A C P和PD B ,连 接CD,设C D的中点为G，当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是 .8 （2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为 疋的一个定点,AC丄X轴于点M ,交直线y= - x于点N.若点P是线段0

4、N上的一个动点，/ APB =3 0 :BA丄P A,则点P在线段 0 N上运动时，A点不变，B点随之运动 求当 点P从点0运动到点N时，点B运动的路径长是 9. （20 13 ?桂林）如图，已知线段A B=10,AC=BD= 2,点P是C D上一动点，分别以 A P、PB为边向上、向下作 正方形A P EF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O 2,当点P从点C运动到点D时，线段0102中点G的运动路径的长是 .10. （2013 ?竹溪县模拟）如图：已知AB =10，点C、D在线段A B上且A C= DB=1; P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段 AB的同侧作等边 A

5、 EP和等边P FB,连结EF，设E F的中点为G ;当点P从点C运动到点 D时，则点G移动路径的长是 .11. 如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至 A'处并且A'C = 1米时，木棒A B的 中点 P运动的路径长为 米.三.解答题（共1小题）12. （2 0 12?义乌市模拟）如图,边长为4的等边 AO B的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点 B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒在点P的运动过程中，线段B P的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向

6、旋转60°得PC .（1）当点P运动到线段 OA的中点时，点C的坐标为 _ ;（2） 在点P从点O到点 A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长.动点路径长专题参考答案与试题解析使点P运动的总路径最短，则点一 选择题（共2小题）1如图，抛物线y= x2-3x-与直线y= x-2交于A、 B两点2 2（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的H对称轴上的某点 E,再到达X轴上的某点F,最后运动到点B .若 P运动的总路径的长为（）0考占:V 八、专题:分析：二次函数综合题.压轴题首先根据题意求得点 A与B的坐

7、标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴作点B关于X轴的对称点B ,连接A B ',则直线A B与直线X丄的交点是E,与 x轴的交点是F，而且易得解答:A B即是所求的长度 解:如图抛物线 X2 -解得：x=12丄xy= X - X-2-丄=X- 2,2或x=£2y =x -2交于A、B两点,当x=1时,当x=时,点A的坐标为（寺y=x - 2=- 1,y= x-2=境-寻,点B的坐标为（1 ,-1 ）,抛物线对称轴方程为:X =-_ 12=1作点A关于抛物线的对称轴X=丄的对称点A'，作点B关于X轴的对称点4B,4则直线A 'B'与对称轴

8、（直线x= 2）的交点是E,与X轴的交点是F,4 BF=B 'F,A E=A E,0-CTJC点P运动的最短总路径是 AE+EF+F B = A 'E + E F + FB = A B : 延长BB :AA相交于C, AC=+ 丄+（1 -丄）=1,B C =1 +4 42- A B，也 M+WC器字. 点P运动的总路径的长为姮.2故选A.点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点结合与方程思想的应用.P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形2.如图，半径为 4的O O中,CD为直径，弦 A B丄CD且过半径 O D的中点，点E为O O上一动点,CF丄AE于点

9、F. 当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）ED.考点：专题:分析：圆的综合题.压轴题.连接AC , A O,角三角形A OG中，A B丄C D,利用垂径定理得到 G为AB的中点，由中点的定义确定出O G的长，在直 由AO与O G的长，利用勾股定理求出 AG的长，进而确定出 AB的长，由C O+GO求F垂直于A E,得到三角形 AC F始终出CG的长,在直角三角形 AGC中,利用勾股定理求出AC的长，由C为直角三角形，点F的运动轨迹为以 AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，C G丄AE，此时 F与G重合；当E位于D时,CA丄AE，此时F与A重合，可得出当点E

10、从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长北G,在直角三角形 ACG中,利用锐角三角函数定义求出 / ACG的度数，进而确定出AG所对圆心角的度数，再由 AC的长求出半径，禾U用弧长公式即可求出两的长，即可求出点F所经过的路径长.解答:解:连接A C ,A O,/ AB 丄 CD , G为AB的中点，即A G=B G=A B ,/ O O的半径为4,弦AB丄CD且过半径O D的中点，OG= 2 ,在Rt A OG中，根据勾股定理得:AG=JaO龙-0百2= 2忑, A B = 2 A G =4櫃， 又/ CG = C O+GO=4+ 2 =6,在Rt AGC中，根据勾股定理得:AC=J

11、血*+c/=4G,/ C F丄 A E, ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以A C为直径的半圆，当E位于点B时,CG丄AE，此时F与G重合;当E位于D时，C A丄AE，此时F与A重合,当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长在 Rt AC G 中，tan/ A C G =如=逅,CG 3 / ACG=3 0 °血所对圆心角的度数为6直径 AC=5，伍的长为W亦0°ISO攀,则当点E从点 B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为兀故选C.点评： 此题考查了圆的综合题，涉及的知识有:坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定

12、理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长朮，是解本题的关二填空题（共9小题）3. （20 1 3?鄂尔多斯）如图，直线y = - x+4与两坐标轴交 A、B两点，点P为线段OA 上的动点连接B P,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到 点A时，则点M运动路径的长为 如1¥A考点:分析:一次函数综合题.根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、£两点坐标，由题意可得点 M的路径是以A B的中点N为圆心,AB长的一半为半径的0A,求出0人的长度即可.解答:解：/ AM垂直于直线BP, / BM A = 9 0°点M的路

13、径是以 A B的中点N为圆心,AB长的一半为半径的0£,连接ON ,直线 y - x + 4与两坐标轴交A、B两点 OA=OB= 4 , O N 丄 AB, / ONA= 9 0 ° A B=Jo*+o 酹=4 血, ON= 2 逅, 任帑? 2 故答案为:近n.点评:本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据 判断出点M的运动路径是解题的关键 ，同学们要注意培养自己解答综合题的能力 ./ BM C= 90°4如图，半径为2cm,圆心角为90 °勺扇形O A B的|胡上有一运动的点 P.从点P向半径0A引垂线PH交0A

14、于点H.设PH的内心为I,当点P在应&上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为考点专题分析解答:点评:弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心 计算题.P如图，连O I, P I,AI，由 OPH 的内心为 I,可得到 / PI0=1 8 0°- / IPO - / I OP= 1 80 ° -2 (/ H0 P2+ / OPH ) =1 3 5 °并且易证 OP I OAI，得到/ A I 0= / PI 0=135 °所以点I在以0 A为弦，并且所 对的圆周角为1 3 5。的一段劣弧上；过 A、I、O三点作O O'

15、,如图，连O 'A,O'O,在优弧AO取点P,连PA,2PO,可得 / AP0= 1 80° - 13 5°=4 5:得/ A00=90 °,0'0型0A =20 A的长.解：如图连0I , PI,AI,/ 0PH的内心为I, / I0 P = / I OA，/ IP0= / I PH, / PIO= 1 80° - / I PO - / lOP=180而 PH 丄 0A,即 / P HO=90 °/. / PI 0=180/H OP + / 0P H)，HOP+ / OPH) =18 0°-(1 8 0

16、76;- 90 °) =135 °,2又/ OP=0A,0 I 公共，而 / lOP = / IO A, OPI OA I, / AI O = / PI O= 135 °,所以点I在以O A为弦，并且所对的圆周角为 过A、I、O三点作OO：如图，连OA, O'O, 在优弧AO取点 P,连PA, PO,/ / A I 0= 13 5: / A PO =180°-1 35°=45 °, / AO O =90 ° 而O A=2cm, O'O OA >2,的长=gox兀X JI西兀135 °的一段劣弧

17、上;弧 OA所以内心故答案为180I所经过的路径长为然后利用弧长公式计算弧2 (Cm)，2cm.本题考查了弧长的计算公式"错，其中l表示弧长，.表示弧所对的圆心角的度数.同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质.5. ( 20 11?江西模拟)已知扇形的圆心角为60°半径为着箭头方向无滑动滚动到0 A 'B位置， 点O到0的路径是 OO 17O 1027020'点O在O 10 2段上运动路线是线段O iO2;点0到O '的所经过的路径长为二兀.以上命题正确的是.考点：分析：3旋转的性质；弧长的计算.圆心0由

18、O到01的路径是以A为圆心，以 0A为半径的圆弧；由01到02圆心所经过的路线是线段 0102 ；由 O 2到O '，圆心经过的路径是：以B为圆心，以0'B为半径的圆弧.据此即可判断 .解答:解：圆心0由O到01的路径是以A为圆心，以0A为半径的圆弧；由O 1到02圆心所经过的路线是线段 0102 ；由O 2到0 ',圆心经过的路径是：以B为圆心，以 0 B为半径的圆弧.故正确的是：.故答案为：.点评:本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心0经过的路线是解决本题的关键6. （2013?宁德）如图,在R也ABC纸片中,/ C=9 0°,A C =BC=4,点P在

19、AC上运动，将纸片沿 PB 折叠,得到点C的对应点D（ P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点 D的路径长 是 考点：分析：解答:翻折变换（折叠问题）；弧长的计算.根据翻折变换的性质以及 ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以B C的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解.解：/ / C=9 0 ° AC = B C, AB C是等腰直角三角形， 如图，点D的路径是以点B为圆心 ，以BC的长为半径的扇形， 路径长=怛=2 nISO故答案为：2 n点评:本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点CD的路径是扇形是解题的关键.7如图，已知A B

20、 =1 0, P是线段AB上的动点，分别以 侧作等边 ACP和PDB,连接CD ,设CD的中点为 则点G移动路径的长是 考点：专题:分析：解答:三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质. 压轴题.分别延长A C、BD交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形，得出 B的中位线 MN,运用中位线的性质求出 M N的长度即可.解:如图，分别延长AC、BD交于点H,/ / A= / DPB=60 °G为PH中点，则G的运行轨迹 HA AH / PD,/ / B= / CPA =6 0°， BH / PC，四边形C P DH为平行四边形， CD与HP互相平分. G为

21、CD的中点， G正好为PH中点，即在P的运动过程中，行轨迹为H AB的中位线 MN . M N =2aB = 5，即G的移动路径长为 5.故答案为：5.点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线断出其运动路径，综合性较强.& （2 0 13 ?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为 灯的一个定点，AC丄 X轴于点M,交直线y= - x于点N .若点P是线段ON上的一个动点，/APB = B A丄PA,则点P在线段 ON上运动时，A点不变,B点随之运动.求当点P从点 动到点N时，点B运动的路径长是考占:V 八、 专题: 分析：解答:，找到点G移动的规

22、律，判30°,=-1O 运、A0CV一次函数综合题. 压轴题.（1）首先，需要证明线段（2）其次，如答图 所示，利用相似三角形 AB0BnsAAON,求出线段 径长.解:由题意可知，OM=|0/，点N在直线y= -X上 ,AC丄x轴于点 皿，则 OMNM = 辰2屆2麻.如答图所示,设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0,动点P在 N点（终点）时，点B的位置为B n连接B 0Bn./ AO 丄 AB 0 ,A N 丄 A B n, /. / OAC= / B0ABn,又 AB 0=AO ?ta n3 0 °,AB n=AN ? t an 30°, AB0： A

23、 O =ABn： A N=ta n30 AB0BnSA AON,且相似比为 tan 3 0 :2伍垃=迈3B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图 所示利用相似三角形可以证明； B oB n的长度，即点B运动的路为等腰直角三角形，on£o B 0 Bn=ON? t an30° =VA1'=-1PQX答sX现在来证明线段 B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）.如答图 所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi,连接AP, AB i, B0Bi . / AO 丄 A B 0 ,AP 丄 ABi,A / OAP = / B 0A B i, 又 A B

24、0=AO ?tan3 0°,ABi = A P? t an30 °,a AB0： AO=AB i: A P, AB0Bi sA AOP,./ AB0Bi=/ AOP .又 AB0B ns AO N, / AB0Bn= / AOP , / A B0Bi= / AB0B n, 点Bi在线段B 0Bn上，即线段B 0 B n就是点B运动的路径（或轨迹）.综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0B n,其长度为2近.故答案为：2近.QA/FN笞图点评:本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大 .本题的要点有两个：首先，确定点B的运动 路径是本题的核心，这要求考生

25、有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点 B运 动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.p. EcD /江/FA9. （2 013?桂林）如图，已知线段 AB= 1 0, AC= BD= 2,点P是C D上一动点，分别以 AP、P B为边向上、向下作正方形 AP E F和P HKB，设正方形对角线的交点分别为 O 1、O2,当点P从点C运动到点 D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是 _ .4考点 专题 分析 解答正方形的性质；轨迹.压轴题.根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段解：如图所示：当P移动到C点以及 D点时，

26、得出G点移动路线是直线, 利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是 020的长，牛;线段AB = 10, AC = BD= 2 ,当P与C重合时，以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PH KB , AP = 2, B P =8,则 OiPp, O2P=, O2 p=O2b=2 ,当P '与D重合，则PB= 2,则A P'= 8, OP丄4 近 OP =V2, HO= B O=逅, O2O=4血-V2 =3佢故答案为：3jl.点评:此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识O1O2中点G的运动路径的长.oyE''EPgJr-rfHK，根据已

27、知得出G点移动的路线是解题关键.10.（20 13 ?竹溪县模拟）如图：已知AB = 10,点C、D在线段 AB上且A C = D B= 1; P是线段C D上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边 AEP和等边 PFB,连结EF，设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径 的长是 .EF* CP考点:分析:解答:三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质.分别延长AE、BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形 H CD的中位线 MN.再求出C D的长，运用中位线的性质求出M N的长度即可.解:如图，分别

28、延长AE、BF交于点H,/ / A= / FPB = 60° A H/ PF ,/ / B= / EPA=6 0 : B H / PE,四边形E PFH为平行四边形， E F与H P互相平分. G为EF的中点， G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形H C D的中位线MN./ CD =1 0- 1 -1 =8, - M N =4,即G的移动路径长为4.AC = 1，找到点G移动的规律,考占:V 八、 专题: 分析：解答:勾股定理的应用；弧长的计算.压轴题.先根据三角函数求出 / B AC的度数，再根据直角三角形的性质得到 数，可得/ PCP

29、的度数，再根据弧长的计算公式求解即可.解:连接CP, C P './ / A CB =90 °，BC =1 米，AB=2 米， / BA C=3 0 °/ P是木棒A B的中点，P C= PA= 1米， / PCA = 30°同理求出/ B CP'=30 :则 / P CP'= 3 0°/ A CP的度数,同理求出/EC P的度故答案为4点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线 判断出其运动路径，综合性较强.1 1.如图，一根长为2米的木棒 AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A&#

30、39;处并且TT米时，木棒AB的中点P运动的路径长为 一 米.6 QClTT木棒AB的中点卩运动的路径长为：鵲5飞米.故答案为：匹米.6点评:AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒 的弧长.三.解答题(共1小题)EC12. ( 2 0 12 ?义乌市模拟)如图，边长为4的等边 AOB的顶点0在坐标原点，点A、星 在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点0向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.在点P的 运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段P E绕点P按顺时针方向旋转6 0 。得PC.(1) 当点P运动到线