二重积分说课

1、说课稿(1)、(3) 、(4) 、(5) 、(6) 、(7)、3、教学重点和难点(1)、(3) 、(4) 、高等数学(下)说课教师：方政蕊(经济与数学系) 各位评委、老师：大家好！我是经济与数学系的数学教师方政蕊， 很荣幸能够参加此次的说课活动，希 望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见。下面我将就本学期我所担任的高等数学这门课程所使用的教材、该课程 的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面 来向大家做一简要介绍。、教材介绍这门课所使用的教材是同济大学出版社出版的面向21世纪普通高等教育规划教材高等数学的下册，该教材内容符合教学大纲的要求，知识系统、体系 结构清

2、晰、例题丰富、语言通俗易懂，讲解透彻难度适中，在上册一元函数微积 分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学， 多元函数积分学，无穷级数和 微分方程等高等数学的知识。、课程介绍1、地位和作用高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用，因而“高等数学”是理工类本科教学重要基础课之一，通过本课程的教学，旨在使学生掌握该课程的基本 概念、基本理论和方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础。2、教学目标理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分能将多元函数应用到几何上，会求极值理解多元函数的概念、性质，掌握二重积分的计算方法掌握三重积分、

3、曲线积分和曲面积分的计算方法理解无穷级数的概念、性质，掌握判别级数收敛性的方法会将函数展开成幕级数或傅里叶级数理解微分方程的概念，掌握求微分方程的解的方法 求二元函数的偏导数、极值求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幕级数或傅里叶级数 解微分方程、教学方法科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。 数学是本科教学中的重要基础课，是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此， 在教学中，不仅要使学生 知其然”而且要使学生 知其所以然”根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，我主要采取教师启发讲授、适 当点拨和学生探究学习的教学方法。 教学

4、过程中，教师可以系统的传授知识，充 分发挥教师的主导作用，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段， 引导学生 独立自主地开展思维活动，深入探究，在思考中体会数学图象变换过程中所蕴涵 的数学方法，使之获得内心感受，特别是通过多媒体课件的演示，直观展示函数 图象的变化过程，激发学生的兴趣，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获 得方法，培养能力，突出学生的主体地位.除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学， 目的 是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学 生对问题的理解和认识。三

5、、学生学法指导我们常说：授人以鱼不如授人以渔”因而在教学中要特别重视学法的指导。 转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生 整体学习方式的转变。我以教学大纲和课程标准为指导，辅以多媒体手段，结合师生共同讨论、归 纳，着重引导学生学会探索研究的学习方法。 探究式学习法的好处是学生主动参 与知识的发生、发展过程，在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识， 在探 究过程中学习科学研究的方法，在探究过程中培养坚韧不拔的精神。学生掌握了 这种学习方法后，对学生终生学习都有积极意义。四、教学过程的设计为完成本门课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为六个 阶段：创

6、设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；适当 练习，巩固新课；归纳小结，提高认识；作业布置，巩固提高。具体过程如下：1、创设情境，引入课题在学生原有的知识体系上，通过类比逐步引导学生从一元函数的极限、连续、 求导和积分到多元函数的的极限、连续、求导和积分过渡 ，发现两者之间的内在 联系，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中 。2、归纳探索，形成概念由引例得出新课的知识点，如在讲多元函数积分的概念上，由两个引例求曲 顶柱体的体积和平面薄片的质量的讲解，归纳总结出多元函数积分的概念。3、掌握求法，适当延展有 ,使例题的作 累积、加工，从而达到举一反三的效果

7、。通过例题的讲解，让学生掌握多元函数微积分的计算方法。在讲解例题时， 不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括， 利于发展学生的思维能力。在课本例题的基础上，适当将题目引申 用更加突出，有利于学生对知识的串联、既使学生掌握基础知识，又使学有余力 的目的，具体做法是课堂提问和让学4、适当练习，巩固新课针对学生素质的差异进行分层训练， 的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负” 生到黑板上解题。5、归纳小结，提高认识知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学 思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用， 并且逐渐培养学生的良好的

8、个性品质目标。6作业布置，巩固提高：根据学生的不同层次分为必做和选做 ，由学生自主选择“二重积分”的教学方案的设计经济与数学系方政蕊二重积分是高等数学下册第六章第一节的内容。在此之前，学生已学 习了定积分，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容在高等数学中，占 据着重要地位，以及为其他学科和今后专业课程的学习打下基础。 本着课程标准, 在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学目标、教学重点和教学难点： 一、教学目标：1理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分一、教学重点与难点：二重积分的计算、教学准备：1教师：查看参考书、编写教案或课件制作、学生：课前预习四、教学时

9、间：2课时五、教学方案设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学环节设计为四个 阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；归纳 小结，提高认识，具体过程如下：1、创设情境，引入课题让他们在生活中去发现长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣， 甚至害怕数学，其中的一个 重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。 事实上，数学学习应该与学生的生 活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发， 数学、探究数学、认识并掌握数学。概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富 具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、 充分的理解，因此在

10、本节的 教学中，我从具体的两个实例引出概念：（1）、曲顶柱体的体积先用两分钟时间，让学生回忆学习定积分时求曲边梯形面积的方法，再利用类比的方法讲解求曲顶柱体的体积。（2）、平面薄片的质量用同样的方法求出平面薄片的质量2、归纳探索，形成概念把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提， 也是培养学生观 察分析能力的重要一步，以上两个实例可以抽象地给出二重积分的定义， 从而引 出二重积分的概念。（1）、对概念作进一步解释，并与定积分的概念作比较，加深学生的印象，最后 强调几个要点。（2）、给出二重积分的性质，使学生能更深刻地理解二重积分。3、掌握求法，适当延展（1）、直角坐标系下二重积分的求

11、法在讲二重积分的计算前，先让学生回顾定积分的基本公式和计算方法，提问 两位学生，得出结论。再重点介绍二重积分的计算方法， 对于不同的区域要用不 同的积分次序进行积分，详细讲解两种区域的特点，推导出计算二重积分的公式。（2）、讲解例题选择典型而具有代表性的例题 3个，一个的积分区域是X-型，一个既是X - 型又是Y-型，一个既不是X-型也不是Y-型，使学生掌握不同积分区域的二重 积分的计算，并及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。（3）、极坐标下二重积分的求法很多学生没有学过极坐标，所以先对极坐标作简单的介绍，再讲解用极坐标 求二重积分，通过直角坐标与极坐标的变换得出公式， 并

12、强调在什么情况下选择 用极坐标求二重积分。（4）、讲解例题选择例题2个，一个是既可以用直角坐标计算又可以用极坐标计算，另一个是只能用极坐标计算的例子，经过对比，使学生了解有时用极坐标计算二重积分 会减少很多计算量。（5）、能力训练为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计 了一组即时训练题，并且把课本的例题熔入即时训练题中， 随机抽两位学生到黑 板上做课堂练习，再作评讲，使学生能巩固所学知识与解题思想方法。（6）、变式延伸，进行重构重视课本例题，适当对题目进行引申，使例题的作用更加突出，有利于学生 对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。4、归纳小结，提高认识

13、提出问题：这节课你们学到了什么？鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的 口头表达能力，归纳概括能力。5、布置作业 根据学生的不同层次分为必做和选做，由学生自主选择。六、板书设计好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学 生，清晰直观，便于学生理解和记忆，理清文章脉络。我在上这节课时较注重板书的设计，将定义、性质和计算方法写在黑板的左 边，例题和讲解写在黑板的右边，特别是有的例题没有马上擦去，保留到下一个 例子讲完，这样就可以进行对比。下面附上板书设计与详细教案：附1 :板书设计6.1二重积分一、二重积分的概念与性质1引例（1）、曲顶柱体的体积

14、（2）、平面薄片的质量重积分的概念重积分的性质2、3、二、二重积分的计算1利用直角坐标系计算 例题：2、利用极坐标计算 例题幺练习. *附2:教案第一节 二重积分教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分 教学重点与难点：二重积分的计算1.二重积分的概念引例1:曲顶柱体的体积设有一空间立体 ，它的底是xoy面上的有界区域 曲线为准线，而母线平行于z轴的柱 f (x, y) ( f (x, y) 0)，称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算：D,它的侧面是以D的边 面，它的顶是曲面(1)些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面

15、将原来的曲顶 柱体分划成n个小曲顶柱体用任意一组曲线网将区域 D分成n个小区域n，以这(假设 i所对应的小曲顶柱体i,这里 i既代表第i个小区 表示它的面积值， i既代表第 小曲顶柱体，又代表它的体积 从而(2)由于f(x,y)连续,对于同一 区域来说，函数值的变化不大。柱体,于是$图9-1-1个小为 域，又i个值)。因此,可以将第i个小曲顶柱体近似地看作小平顶i f(整个曲顶柱体的体积近似值为Mi) 为得到V的精确值，只需让这n个小区域越来越小，即让每个小区域向某点收 缩。为此，我们引入区域直径的概念：一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小，意指让区域的

16、直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为，定义nV lim0f ( i, i) i0 i 12.引例2:平面薄片的质量设有一平面薄片占有 xoy面上的区域D ,它在(X, y)处的面密度为 (x,y)0),现计算该平面薄片的质量M(1)将D分成n个小区域1，2，i既代表第i个小区域又代表它的(x,y)n ?积。9-1-2第i小平面薄片 的质量可近似为Mi( i, i) ii)(i, i)整个平面薄片的质量的近似值为XnM( i,i 1(3)记i为i的直径，为i)maX2, n,整个平面薄片的质量定义nlim0i1i) i综上，两种实际意义完全不同的问题，都归结同一形式的极限。因此，有必 要

17、撇开这类极限问题的实际背景，给出一个更广泛、更抽象的数学概念，即二重 积分。3.二重积分的定义定义 设f(x,y)是闭区域D上的有界函数。(1)将区域D任意分成n个小区域n其中，在第i个小区域,n)，作和i既表示第i个小区域，也表示它的面积。 i上任取一点(i, i)，作乘积f( i, i) i ，(i 1,2,f(i 1记i为 i的直径,maX1 , 2, n，若极限存在，则称此极限值为函数f (x, y)在区域D上的二重积分，记作f(x,y)d ，Df(x,y)dD其中：f (X, y)称为被积函数，nlim0i 1f(x,y)d素,X, y称为积分变量，D称为积分区域,称为被积表达式，d

18、nf( i, i) i称为积分和式。称为面积元i 14.几点说明:H*f fZrrAJ _ _ -丿i 0dy图dx是任意 区域D , 坐标系9-1-3若f的体积，即X, y0 ,二重积分表示以f(x,y)为曲顶,以D为底的曲顶柱体lim0 . If( I, I)1f(x,y)dDn极限lim f( I, i) I的存在性不依赖区域D的分割，也不依赖0 I 1(I, i)的取法。(2)二重积分的存在性定理：若f(x,y)在闭区域D上连续，则f (x, y)在D上的二重积分存在。(3) f (x, y)d中的面积元素d象征着积分和式中的D由于二重积分的定义中对区域D的划分的,若用一组平行于坐标轴

19、的直线来划分 因此,可以将d记作dxdy ( dxdy为直角 下的面积元素) 二重积分也可表示成为f (x,y)d。D重积分的性质1.线性性质f(x, y)D其中：，是常数。g(x, y)df(x, y)dDg(x,y)dD2.对区域的可加性若区域D分为两个部分区域D1,f(x,y)dDD2则f(x,y)dDif(x,y)dD23.若在D上,f(x, y)1,表示区域D的面积,则4.若在D上,f(x, y)f (x, y)dD(x, y),则有不等式特别地，由于1 f(x,y)|f(x,y)dDf(x, y) | f (x,y) |，(x,y)df (x,y)dI f (x,y)|d5.估值不

20、等式设M与m分别是f(x,y)在闭区域D上最大值和最小值,是区域D的面积,m f (x, y)d MD6.二重积分的中值定理f (x,y)d MD1显然 0，因此有m 一D再由二元函数的介值性质知道,1使得一f (x, y)d f (,D例1比较积分ln(xD(1,1)和(2,0)的三角形。例2估计积分值I (X yD其中 D (X, y)|0 X 1,0f (x,y)d M至少存在一点y)d1)d即 f(x,y)dD与In(XD2y)2d ，其中D是三顶点为(1,0),设函数f (x,y)在闭区域D上连续, 是D的面积,则在D上至少存在一点(,),使得f(x,y)d f(,)D证明：由于f(

21、x,y)在闭区域D上连续，故f (x, y)在闭区域D上取得其最大 值M和最小值m。由性质5,得m重积分的计算法1、利用直角坐标计算二重积分根据二重积分的几何意义可知,当 f(x,y)0时，f(x, y)d的值等于以DD为底，以曲面z f (x, y)为顶的曲顶柱体的体积。 在区间a,b上任意取定一个点X0, 作平行于yoz面的平面x0,这平面截曲 顶柱体所得截面是一个以区间1(X0), 2(X0)为底,z f(x0, y)为曲边的曲边梯形,其面 积为2(x0)A(X0)(X。)f(X0,y)dy一般地,过区间a,b上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面 的面积为2(x)A(x)

22、(x) f(x, y)dy利用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法，该曲顶柱体的体积为bV A(x) dxa2(X)1(x)f(x,y)dydxba从而有ba2(X)3 f(X, y)dydx这也称为先对y,后对x的二次积分，也常记作bdxaf(x,y)dDf(x,y)dD其中：积分区域D为(x, y) | a x b, 如果积分区域D为(x, y) |c y d, 1(y) x 2(y)，则二重积分也可化为d 2(y)dy 八,、f(x, y)dxf(x,y)dD2(y)1(y)例1计算(1 x2)d ，其中D2(x)1(x)f (x,y)dy2(x)1,0 y xD (x,y)|0解：由二重积分的计算方法，得2(1 x )dD1dx0xo(1x2)dy1 20dx(1 x )y ；(1 x2)xdxyj1 x2y2d，其中D是由直线1和y 1所围成的闭区域。解：由于积分区域Iy1 X2Dy2d(x, y) | 1 x 1, x yX丿*1，得1 1dx1y2dy(1x23y2)'31(|x| 1)dxdxx2 13 o(x31) dx域。例3计算I xyd ，其中D是由抛物