二重积分的应用

1、D分成许多小U)。2、在D内任取一个直径充分小的小闭区域d时，相应的部分量U可近似地表示为f(x,y)d ,其中(x, y)称f（x, y）d为所求量U的元素,§ 9.3二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分，使用该方法需满足以下条件:1、所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性（即：当闭区域闭区域d时，所求量U相应地分成许多部分量U ,且UDxy并记作dU 。（注：f（x，y）d的选择标准为:f(x, y)d是d直径趋于零时较d更高阶的无穷小量）f(x,y)d3、所求量U可表示成积分形式、曲面的面积设曲面S由方程z f（X, y）给出,Dxy为曲面S在xoy面上的投影区

2、 域,函数f（x，y）在Dxy上具有连续偏导数fx（x, y）和fy（x,y）,现计算曲面的面积A。d内取一点P(x，y),对应着曲面S上一点M (x, y, f (x, y),曲面s在点M处的切平面设为T。以小区域d 的边界为准线作母线平行于z轴的柱面, 该柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面，由于d 的直径很小，那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面s在点M处的法线向量(指向朝上的那个)为n fx(x, y),fy(x, y),1它与z轴正向所成夹角的方向余弦为cosJl fx(x, y) f(x, y)dA 而cos所以dAa/ifx2(x,y)f：(x,y

3、) d这就是曲面S的面积元素，故/1fx2(x, y)dA故Dxy2 dxdy y【例1】求球面 面积。x2y2z22 2 2含在柱面xyax（ a 0）内部的Dxy( x, y)| x22y ax解:所求曲面在xoy面的投影区域XZx舒 X2 y2ZyyVa2 x2 y2aTa2 X2 y2曲面在xoy面上的投影区域Dxy为据曲面的对称性，有A 2Dx/ax=dxdy ya cos=rdr r22a/2 2va r22a (aa sin)d24a (a0asin)d2a2 (2)若曲面的方程为xg(y,z)或y h(乙x),可分别将曲面投影到yoz面或zox面，设所得到的投影区域分别为 Dy

4、z或Dzx ,类似地有Dyz屮2x dydz zD zx2y dzdxx二、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心设AZ少面上有用个质点.分别儘于点3，乃），（兀2（兀力弘）址 质量分别対科，叫，竹由力学卸道，质点系对£轴，y轴的力矩 分别为吆=2甲兀 > 吗=2碍卫】总质量为m=7 = 1其质点系的重心坐标为nmiXii 1nmii 1-MyX mMxmnmyii 1nmii 12、平面薄片的重心设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点（X, y）处的面密度为（X，y）,假定（x,y）在D上连续,如何确定该薄片的重心坐标（X, y）。在闭区域D上任取一直径很小的闭区 域

5、db这个小ffl区域的面积也记作da）, （尤）是这个小冈区域内的1点，由于ffa 的直径很小，且p（x,y）枉D上连续'所以 薄片中相应于fifcr的部分的质量近似等于 畑yg这部分质量可近似地看作集 中在点gy）处于是/卜区域对兀轴、y 轴的力矩为dMy = xp（x, y）d<jypx,y）da ,这就是力矩元素,于是Mx y（X, y）dDMy X（X, y）dDm （x, y）d又平面薄片的总质量D从而,薄片的重心坐标为M X (X，y)dX也m(x, y)dDy (x, y)dD(x,y)dD特别地，如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则-1 - 1X xd , y y

6、d ( A AAA DA D为闭区域D的面积）十分显然，这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定，因此，习惯上将 均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。例 2】设薄片所占的闭区域D为介于两个圆r acos , r bcos(0ab）之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心（形心）。解:由D的对称性可知2-(b2 a2)4bcosrdra cosMyxdDbcos2r cosacosdr23cosbcosdacosa3)cos4d2(b33(b8(b323)、4a ) cos03a )My h A 2(b a)ba a22(b33(b3)(4 1)! _4!2三、平面薄片的转动惯

7、量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有n个质点，它们分别位于点(Xi，yi),(X2，y2),(x n，yn)处，质量分别为m1，m2，m设质点系对于X轴以及对于y轴的转动惯量依次为n 2lxyimi 1Iy2ximl1,转动惯量元素为2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点（x，y）处的面密度为（x，y）.x, y。假定（x，y）在D上连续。现要求该薄片对于x轴、y轴的转动惯量丨、1 与平面薄片对坐标轴的力矩相类似威y =虎认亀y Mb从而#丿严【J $狼扎y Mby对于直线2【例3】求由抛物线y x及直线1的转动惯量。1所围成的均匀薄片（面密度为常数

8、 ）解：转动惯量元素为1）2 ddi (yI (yD1)2 d-1 。1y = -1dx (y 1)2dy2x163(y6411)3dx x233688 (x2 1)3 dx135105四、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有x°y面上的闭区域D,在点（x，y）处的面密度为（x,y）,假定（x,y）在D上连续,现计算该薄片对位于z轴上点Mo（0,0,1）处的单位质量质点的引力。Ia/oCo.o, 1)在闭E域D上任取一个小的闭区域*afb (该小区域的面积也记作£7 h 0)是3?(7内的一点，它旳质量近f以等于 p(x,y)d(T,可将水闭区域血的质量近似 地看作集中在点(兀丿)处，于是薄片对质点的 引力近似值为kp(x,y)dc-引力的方向与向量化”0 -1致n 其中尸=+ $2,