三角形与多边形

1、 第二部分复习目标第十七讲 三角形与多边形 课标要求 了解: 三角形的有关概念( 内角、外角、中线、高、角平分线 ) , 三角形的稳定性, 多边形的内角和与外角和 , 正多边形的概念. 会:画出任意三角形的角平分线、中线和高; 探索多边形的内角和与外角和计算公式; 能运用任意三角形、 四边形、 正六边形等几何图形进行简单的镶嵌设计 . 知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分高频考点 1. 三角形三边之间的关系的应用 . 2. 多边形的内角和与外角和公式的应用 . 3. 三角形的稳定性的应用 . 4. 平面图形的镶嵌 . 考向分析 通过近几年中考试题分析 , 三角形与多边形的内容考查主要有以

2、下特点 : 1. 命题方式为: 三角形内角和与外角和定理 , 三角形的三边之间的关系 , 多边形的内角和与外角和公式 , 三角形的稳定性 , 平面图形的镶嵌为主要考查内容 ,命题方式以选择题、填空题为主 , 偶尔有创新设计方面的题目 . 2. 命题的热点为: 三角形三边之间的关系 , 三角形、多边形的内角和与外角和定理, 平面图形的镶嵌 . 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 一、三角形与正多边形的有关概念 1. 三角形的分类 ( 1) 按角分类: ( 2) 按边分类: 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分2. 三角形的外角 三角形的一边与另一边的 组成的角, 叫

3、做三角形的外角. 3. 正多边形的概念 各个角都 , 各条边都 的多边形叫做正多边形. ? 特别提示: 正多边形的各角、 各边之间的相等关系二者缺一不可, 如一般的长方形各个角是直角, 但却不是正多边形, 又如一般的菱形各条边都相等, 但也不是正多边形. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分二、三角形的角平分线、中线和高 1. 如图, AD 是ABC 的角平分线, 也可以有以下三种等价描述: ( 1)AD 平分 交 BC 于 D ; ( 2) BAD = D AC = 12 ; ( 3) BAC = 2BAD = 2 . 三角形的三条角平分线交于三角形内一点, 这一点就是这个三角

4、形的 . 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分2. 如图, A M是A B C 的中线, 也可以有如下三种等价描述 : (1) A M是A B C中 边上的中线; (2) 点 M 是 边的中点; (3) B M = = . 三角形的三条中线交于三角形内一点 , 这一点就是三角形的 . 3. 如图, A D是A B C 的高, 也可以有如下两种等价描述 : (1) A D垂直于 , 垂足为 D ; (2) A D B = 90或A D C = 90. ?特别提示: (1)三角形的角平分线、中线、高线各有三条, 并且各自交于一点; (2)三角形的角平分线、中线、高线都是线段 . 复习

5、目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分三、三角形与多边形的性质 1. 三角形三边之间的关系: 三角形两边之和大于 , 任何两边之差 第三边. 2. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于 . 3. 三角形的外角定理及推论: ( 1) 三角形的一个外角等于与它 的两个内角的和; ( 2) 三角形的一个外角大于与它 的任何一个内角. 4. 多边形的内角和与外角和定理: ( 1) n 边形内角和等于 ; ( 2) 多边形的外角和等于 . 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分四、平面镶嵌 1.平面镶嵌就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分 覆盖. 2.用相同的正多边形镶嵌

6、时 , 可以实现镶嵌的正多边形有且仅有 、 、 三种图形. 3.用两种正多边形镶嵌时要满足 : (1) 镶嵌的正多边形的边长 ; (2) 顶点 ; (3) 一个顶点处的各角之和为 . 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分【答案】一、1.(1) 锐角三角形 钝角三角形 (2) 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 2.延长线 3.相等 相等 二、1.(1) BAC (2) BAC (3) DAC 内心 2.(1)BC (2)BC (3)MC BC 重心 3.(1)BC 三、1.第三边 小于 2.180 3.(1) 不相邻 (2) 不相邻 4.(1)(n-2) 180 (2)36

7、0 四、1.完全 2.正三角形 正方形 正六边形 3.(1) 相等 (2) 重合 (3)360 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 知识考点 0 1 三角形三边之间的关系 三角形三边之间的关系, 即: 在同一三角形中, 任何两边之和大于第三边, 任何两边之差小于第三边; 此关系常用来判断三条线段是否能组成三角形, 还可以利用三角形的三边之间的关系确定三角形中某边的取值范围. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分例 1 若三角形的三边长分别为 3, 4, x - 1, 则 x 的取值范围是( ) A. 0 x 8 B. 2 x 8 C . 0 x 6 D . 2 x

8、 x4-3 x-1 . 解不等式组, 得 2 x 8, 故选 B. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 1. (2012汕头)已知三角形两边的长分别是 4和10, 则此三角形第三边的长可能是( ) A.5 B.6 C.11 D . 16 【答案】 C 2. (2012黔西南州)三角形的两边长分别为 2 和 6, 第三边是方程x2- 10 x + 21= 0 的解, 则第三边的长为( ) A.7 B.3 C.7 或 3 D . 无法确定 【答案】 A 3. (2010泉州中考)现有四条钢线, 长度分别为(单位: cm ) 7、6、3、2, 从中取出三根连成一个三角形, 这三根的长

9、度可以为 . ( 写出一种即可) 【答案】 7、6、3( 或 7、6、2) 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 知识考点 0 2 三角形内角和定理及其推论 三角形的内角和定理: “三角形的内角和为 180”. 一般采用经过三角形的顶点作边的平行线, 利用平角的度数证明三角形的内角和为 180; 三角形的内角和定理的推论为三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和;同时可以得到外角大于和它不相邻的任何一个内角,此推论常作为进行角的有关证明和计算的依据. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分例 2 (2010衡阳中考)如图所示, AB CD , ABE = 66, D

10、= 54, 则E 的度数为 . 【思路点拨】 要求E 的度数 需知CFE 的度数由 AB CD , ABE = 66可得 【自主解答】 由 AB CD , ABE = 66, 得CFE = 66, E= CFE - D = 66- 54= 12. 【答案】 12 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 4. (2013龙岩质检)如图所示, 已知= 130, 则= ( ) A.30 B.40 C.50 D . 65 【答案】 B 5. ( 2013河北) 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示, 若3= 50, 则1+ 2= ( ) A.90 B.100 C.130 D . 180

11、 【答案】 B 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分6. (2010山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为 234, 那么这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C . 钝角三角形 D . 等边三角形 【解析】 选 B. 三角形的内角和为 180, 且三个内角度数之比为 234,这三个内 1802234?= 40, 1803234?= 60, 1804234?= 80. 这个三角形是锐角三角形, 故选 B. 7. (2013龙岩中考)如图, AB CD , BC 与 AD 相交于点 M , N 是射线 CD 上的一点.若B= 65, M D N= 135, 则A

12、M B= . 【答案】 70 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 知识考点 03 多边形的外角和与内角和 n 边形的内角和为( n- 2) 180, 外角和为 360. 从 n 边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,将 n 边形分成(n-2)个三角形.对角线共有 (3)2nn?条. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分例 3 (2012德阳)已知一个多边形的内角和是外角和的32, 则这个多边形的边数是 条. 【思路点拨】 多边形的外角和为 360, 内角和为 540, 由多边形内角和公式易得多边形边数. 【自主解答】 设该多边形的边数为 n 则( n- 2)

13、 180= 32360 解得 n= 5 【答案】 5 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 8. (2012北海)一个多边形的每一个外角都等于 18, 它是 边形. 【答案】 20 9. (2011宁德中考)如图, 人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 . 【答案】 140 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分0. (2012广安)如图, 四边形 ABC D 中, 若去掉一个 60的角得到一个五边形, 则 1+ 2= 度. 【答案】 240 11. (2013福州中考)如图, 由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成网格 , 正六边形的顶点称为格点. 已

14、知每个正六边形的边长为 1, ABC 的顶点都在格点上,则ABC 的面积是 . 【答案】 2 3 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 平面镶嵌 解平面镶嵌类试题, 牢记“当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360时, 才可以平面镶嵌是解答的关键. 若用一种多边形镶嵌, 多边形只能是正三角形、正四边形、正六边形; 也可以几种多边形组合在一起进行镶嵌. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分例 现有四种地面 , 它们的形状分别是 : 正三角形、正方形、正六边形、正八边形 ,且它们的边长都相等 , 同时选择其中两种地面砖密铺地面 , 选择的方式有( ) A . 2 种

15、 B. 3 种 C . 4 种 D . 5 种 【思路点拨】 算出每个正多边形内角的度数 , 任取两种内角 , 计算是否可以凑出360. 【自主解答】 用两种正多边形密铺地面的组合有 : 正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形三种 . 【答案】 B 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分例 现有四种地面, 它们的形状分别是 : 正三角形、正方形、正六边形、正八边形 ,且它们的边长都相等 , 同时选择其中两种地面砖密铺地面 , 选择的方式有( ) A . 2 种 B. 3 种 C . 4 种 D . 5 种 【思路点拨】 算出每个正多边形内角的度数 , 任取两种内角,

16、 计算是否可以凑出360. 【自主解答】 用两种正多边形密铺地面的组合有 : 正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形三种 . 【答案】 B 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 1. (2012南平)只用一种图形能进行平面镶嵌的多边形有 . ( 只要求写出一个) 【答案】 等边三角形、正方形、正六边形、三角形、四边形中任填一个 2. (2011宁德质检)如图, 某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成, 图中图形的尖角ABC = . 【解析】 由镶嵌的基本知识可得. 【答案】 18 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分 (时间: 60 分钟 分数:

17、 100 分) 一、选择题( 每小题 6 分, 共 30 分) 1. 已知ABC 的一个外角为 50, 则ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D . 钝角三角形或锐角三角形 【解析】 选 B. ABC 的一个外角为 50, 与ABC 的此外角相邻的内角等于 130, 此三角形为钝角三角形. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分2. (2013泉州质检) 若 n 边形的内角和是 720, 则 n 的值是( ) A.5 B. 6 C.7 D . 8 【解析】 选 B. n 边形的内角和为(n- 2) 180= 720, 则 n= 6. 3. (201

18、1济宁中考) 若一个三角形三个内角度数的比为 274, 那么这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D . 等边三角形 【解析】 选 C . 因三角形三个内角度数的比为 274, 设其中一份为 x, 则2x+ 7x+ 4x= 180, x13. 8, 三角形三个内角度数分别为 27. 6, 96. 6, 55. 2, 这个三角形是钝角三角形. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分4. (2011泉州中考)下列正多边形中, 不能铺满地面的是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D . 正七边形 【解析】 选 D . 由镶嵌的基本知识可得 . 5

19、. 一个三角形的两条边长分别为 3和 6, 第三边 z的边长是方程( x- 2) ( x- 4) = 0的根,则这个三角形的周长是 ( ) A.11 B.11 或 13 C.13 D . 11 和 13 【解析】 选 C . 首先从方程( x- 2) ( x- 4) = 0 中, 确定第三边的长为 2 或 4; 其次考查边长 3、6、2 或 3、6、4 能否构成三角形, 依据三角形三边关系 , 边长 3、6、2 构不成三角形, 而边长为 3、6、4 能构成三角形, 这时, 三角形周长为 3+ 6+ 4= 13. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分二、填空题( 每小题 6 分,

20、共 24 分) 6. 用 12 根火柴棒( 等长) 拼成一个三角形, 火柴棒不允许剩余、重叠和折断, 则能摆出不同形状的三角形的个数是 个. 【解析】 根据三角形三边关系, 两边之和大于第三边, 三个边长分别是 5、5、2, 4、4、4, 3、4、5. 【答案】 3 7. (2011莆田中考) 若一个正多边形的一个外角为 40, 则这个正多边形是 边形. 【解析】 正多边形的边数为36040oo= 9. 正多边形是 9 边形. 【答案】 9 复习目标知识回顾重点解析探究拓展真题演练 第二部分8. (2011泉州中考)如图, 在四边形 A B C D 中, P 是对角线 B D 的中点, E , F 分别是 A B , C D 的中点, A D = B C , P E F = 18, 则P F E 的度数是 . 【解析】 在A B D 中, E 、P 分别是 A B 、B D 的中点, P EA D , 同理得P FB C , 又因 A D = B C , P E = P F , P E F 是等腰三角形, P E F = P F E = 18. 【答案