全等三角形做辅助线-倍长中线,截长补短课程教案

1、全等二角形中常见的辅助线（）适用学科数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点倍长中线法；截长补短法教学目标1 .掌握倍长中线法的运用条件2 .掌握截长补短法的运用条件教学重点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学难点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学过程一、复习预习全等三角形的判定定理：1、SSS:三边对应相等的两个三角形全等2、SAS:两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等3、AAS:两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4、ASA:两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等5、HL:在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等二、知识讲解考

2、点1遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.考点2截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3三、例题精析【例题1】【题干】已知：如图3所示，AD为AABC的中线，求证：AB+AC>2AD【答案】证明：延长AD至E,使DE=AD ,连接EC. AD是中线 .DC=DB. DE=AD , ZCDE= ZBDA , DC=DB.zCDEBDA .CE=AB在AAEC 中 CE+

3、AC>AE , CE=AB. AB+AC>AE. DE=AD . AE=2AD.AB+AC>AE. AB+AC>2AD【解析】分析：要证 AB+AC>2AD ,由图形想至U： AB+BD>AD,AC+CD>AD ,所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD但它的左边比要证结论多BD+CD ,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。【例题2】【题干】 已知：如图1所示，AD为AABC的中线，且/ 1= /2,/3= /4。求证：BE+CF>EF。【答案】证明：在DA上截

4、取DN=DB ,连接NE, NF ,贝U DN=DC在ADEB和GNE中DN=DB/1= Z2DE=DEQEBMNE (SAS). BE=NE同理可得：CF=NF在zEFN 中，EN+FN>EF. BE+CF>EF【解析】分析：要证BE+CF>EF ,可利用三角形三边关系定理证明， 须把BE, CF, EF移到同一个三角形中，而由已知/1= Z2,/3=/4,可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把 EN, FN, EF移到同个三角形中。四、课堂运用1、【基础】MBC中，AB=5 , AC=3 ,则中线AD的取值范围（A.KAD <4B.3<AD

5、<13C.5<AD<13D. 9<AD<13【答案】A【答案】解：延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM所以AB=CM又 CM-AC<AM<CM+AC所以 2<2*AD<8所以1<AD<42、已知在zABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE过D作DF /AC交BC于F,.DF/AC （已知）， . zDFC= ZFCE, ZDFB= zSACB （平行线的性质），,.AB=AC （已知）， .zB=ZACB （等边对等角）, .zB=/DFB

6、 （等量代换）, .BD=DF （等角对等边）， .BD=CE （已知）, .DF=CE （等量代换）,V zDFC= ZFCE, /DGF= /CGE （已证），QFG06CG (AAS),；DG=GE (对应边相等)【解析】过D作DF/AC交BC于F,利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证 GDFCEG即可.【巩固】1、 已知在9BC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC ,延长BE交AC于F,求证：AF=EF【答案】解：延长AD至G,使得AD=DG ,连接BG,GCvzABC中,AD是BC边上的中线.BD=DC.AD=DG一四边形ABGC为平行四边形 .AC=BG,AC

7、/BG .zAFEs/GBE .AF/FE=GB/BE .AC=BE,AC=BG. BE=BG .AF=FE【解析】 延长AD至G,使得AD=DG ,连接BG,GC,根据全等证明AF=EF2、如图，4ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证：AD平分/BAE.【答案】延长AE到M ,使EM=AE ,连结DM易证DEM 0£EAC= ZMDE, DM=AC又 BD=DC=AC .DM=BD, ZADC= /CAD又/ADB= /C+ /CAD , ZADM= ZMDE+ ZADCzADM= ZADB ./ADM W/ADBzBAD= /MAD即AD平分/BAE【解析】因为

8、BD=DC=AC ,所以 AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2ACZACE=/BCA,所以BCAs/ACE所以/ABC= /CAE因为 DC=AC ,所以/ADC= /DACZADC= ZABC+ /BAD所以/ABC+ /BAD= ZDAE+ /CAE所以/BAD= /DAE即AD平分/BAE【答案】01、如图，已知在4ABC内， BAC 60 , C 40° , P, Q分别在BC, CA上，并且AP, BQ分别是 BAC , ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPC证明：做PM IBQ,与QC相交与M。VzAPB=180 ° zBAP

9、 /ABP=180 ° -30 ° -80 =70 °且/APM=180 0 APB ZMPC=180 ° T0 ° QBC=180 ° -70 ° -40 =70 zAPB= ZAPM又;AP是BAC的角平分线，zBAP= /MAPAP是公共边.zABPAMP（角边角） . AB=AM , BP=MP在zWC 中，/MCP= ZMPC=40 .MP=MC .AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在为BC中v zQBC=QCB=40 0. BQ=QC .BQ+AQ=AQ+QC=AC .BQ+AQ=AB+BP做辅助线PM IBQ,与QC相交与Mo首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论2、如图，AC/BD, EA,EB分别平分/CAB,/DBA, CD 过点 E,求证;AB = AC+BD【答案】在AB上取点N ,使得AN=AC/CAE= /EAN ,AE=AE,.zCAEzEANzANE= ZACE又 AC /BDzACE+ /BDE=180而ZANE+ /ENB=180 .zENB=/BDE, /NBE= /EBNBE=BE .zEBNW 启BD. BD=BN .AB=AN+BN=AC+BD【解析】 根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论课程