全等三角形之截长补短法

1、例题1如图所示，在 Rt ABC 中，/ C=90 BC=AC , AD 平分/ BAC 交 BC 于 D，求证：AB=AC+CD .考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题.分析：利用已知条件，求得/ B= / E ,/ 2= / 1 , AD=AD ,得出 ABD AED ( AAS ),/ AE=AB . V AE=AC+CE=AC+CD ，/ AB=AC+CD .解答：E证法二：如答图所示,截取AE=AC，连接在 AB上DE,证法一：如答图所示，延长 AC ,到E使CE=CD，连接DE ./Z ACB=90 AC=BC，CE=CD，/Z B= / CAB=45 / E= / CDE=4

2、5 ,/Z B= Z E ./ AD 平分Z BAC，/Z 1 = Z 2在 ABD和 AED中,Z B= Z E,Z 2= Z 1 , AD=AD ,/ ABD AED (AAS )./ AE=AB ./ AE=AC+CE=AC+CD./ AB=AC+CD ./ AD 平分Z BAC ,/Z 1 = Z 2 .在ACD 和AED中,AC=AE , Z 1= Z 2,AD=AD ,./ ACD AED(SAS )./Z AED= Z C=90 ,CD=ED ,又 : AC=BC ,B=45 EDB= / B=45 .DE=BE ,.CD=BE .AB=AE+BE ,.AB=AC+CD .点评：

3、本题考查了全等三角形的判定和性质；通过 SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结 论来求得三角形各边之间的关系.例题2图，AD是 ABC中BC边上的中线，求证：AD 2 (AB+AC ).考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系.专题：计算题.分析：可延长AD至y E , 使 AD=DE，连BE，则 ACDEBD得BE=AC，进而在厶ABE中利用三角形三边关系,证之.解答:证明：如图延长 AD至E,使AD=DE，连接BE ./ BD=DC,AD=DE ,/ ADC= / EDB ACD EBD /. AC=BE在 ABE 中，AE AB+BE，即 2AD AB+AC / AD 1

4、-2(AB+AC )点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握.在 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC，直线 MN经过点C ,且AD丄MN于D, BE丄MN于E .(1 )当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： DE=AD+BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.5考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.专题：证明题.分析：(1)由已知AC=BC，/ ADC= / CEB=90 ，利用互余关系可证/DAC= / ECB，可证 ACDCBE， 得 AD=CE

5、 ，CD=BE ， 故 AD+BE=CE+CD=DE ;(2)此时，仍有ACD CBE，AD=CE，CD=BE，利用线段的和差关系得 DE=AD-BE .解答：证明：(1 )VZ DAC+ / ACD=90 ，/ ACD+ / ECB=90 ，又 V AC=BC，/ ADC= / CEB=90 ，/. ACDCBE， AD=CE，CD=BE，/. DE=CE+CD=AD+BE(2) DE=BE-AD .仿照(1 )可证 ACD CBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD点评：本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件，关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进如图，点

6、P在/ AOB的内部,F，若 PEF的周长是20cm，则线段MN的长是20考占：V 八、轴对称的性质.分析:根据轴对称的性质可知:EP=EM，PF=FN，所以线段 MN的长= PEF的周长.解答:解：根据题意，EP=EM，PF=FN，点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，线段 MN交0A、0B/. MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF= PEF 的周长, /. MN=20cm .点评：主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等.(1 )如图所示，已知 ABC中，/ ABC、/ ACB的平分线相交于点 0 .试说明/ BOC=90 +$frac12$(2)如

7、图所示，在 ABC中，BD、CD分别是/ ABC、/ ACB的外角平分线.试说明/ D=90 -$frac12$(3)如图所示，已知BD为 ABC的角平分线，CD为 ABC外角/ ACE的平分线，且与BD交于点试说明/ A=2 / D.三角形内角和定理.考点:三角形的外角性质；角平分线的定义；分析:(1)根据三角形角平分线的性质可得，/BOC+ / OCB=90 -$frac12$ / A，根据三角形内角和定理可得/ BOC=90 +$frac12$ / A;(2 )根据三角形外角平分线的性质可得/BCD=$frac12$(/ A+ / ABC )、/ DBC=$frac12$(/A+ / A

8、CB );根据三角形内角和定理可得/BDC=90 -$frac12$ / A;(3)根据BD为 ABC的角平分线，CD为 ABC外角/ ACE的平分线，可知，/A=180 -Z 1-/3，/D=18O - / 4= / 5=180-Z3-$frac12$(/A+2 / 1)，两式联立可得 2 / D= / A .解答：解：(1 )丁在 ABC中，OB、OC分别是/ ABC、/ ACB的平分线，/ A为x/ BOC+ / OCB=$frac12$(180 - / A) =$frac12$ X180 -x ) =90 -$frac12$ / A故/ BOC=180 - ( 90 -$frac12$

9、 ZA) =90 +$frac12$ / A;(2 )v BD、CD ABC 两外角Z DBC、Z BCE 的平分线Z A 为 x/Z BCD=$frac12$ (Z A+ Z ABC )、Z DBC=$frac12$ (Z A+ Z ACB ) 由三角形内角和定理得，Z BDC=180 -Z BCD- Z DBC=180 -$frac12$ Z A+ (Z A+ Z ABC+ ZACB ) =180 -$frac12$ (Z A+180 ) =90-$frac12$ Z A;(3)如图：T BD ABC的角平分线，CD为 ABC外角Z ACE的平分线/Z 1 = Z 2，Z 5=$frac1

10、2$ (Z A+2 Z 1 )，Z 3= Z 4，在 ABE 中，Z A=180 -Z 1-Z 3-在 CDE 中，Z D=180 -Z4- Z 5=180 -Z 3-$frac12$ (Z A+2 Z 1 )，即 2 Z D=360 -2 Z 3- Z A-2 Z A-,点评：此类题目比较简单，考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题.如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站要求它到三条公路的距离相等, 则可供选择的地址有处.考点：V 八、三角形的内切圆与内心；直线与圆的位置关系.专题:应用题.分析:依题意可作四个圆分另U与

11、三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部，其圆心就是可供选择的地址.解答：解：可作四个圆分另U与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部.故填4.点评：本题涉及圆的相关知识，难度中等.如图甲所示，在 ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想 PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明.甲考点:等腰三角形的性质；三角形的面积专题:分析:猜想：PD、PE、CF之间的关系为1PD=PE+CF .根据 V $ PAB= 2 AB?PD，1$ PAC=

12、2 AC?PE，$ CAB = PAC= Lb?PE J AB?PD=Lb?CF+Lb? PE，即可求证.解答：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF .证明：连接AP ,则S PAC +S CAB =S PAB，1V S PAB= 2 AB?PD，S PAC= Lc?PE，S CAB= AB?CF，又 V AB=AC ,1二 S PAC= 2 AB?PE，1 1 _/. 5aB?PD= 2AB?CF+ 2 AB?PE，即 IaB (PE+CF ) = h?PD， PD=PE+PF .点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中,关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关B

13、C到E使CE=CD，试判断 BDE的形状.，BD是AC边上的中线，则/ DBC=30 ，再系为PD=PE+CF再证明.如图， ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长考点：等腰三角形的判定；等边三角形的性质.分析：因为 ABC是等边三角形，所以/ ABC= / ACB=60由题中条件求出/ E=30，即可判断 BDE的形状.解答：证明: ABC是等边三角形/ ABC= / ACB=60/ AD=CD/ DBC= 釐 ABC=30 / CE=CD/Z CDE= / EvZ ACB= Z CDE+ Z E/Z E=3C/Z DBE= Z E/ BD=DE:. BDE是等腰三角形.点评：本题考

14、查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形E=30是正确解答本题的关键.的判定结合求解考查了学生综合运用数学知识的能力，得到Z（2007?吉林）某家电商场经销 A，B，C三种品牌的彩电，五月份共获利 48 000元已知A种品牌彩电每台可获利100元，B种品牌彩电每台可获利144元，C种品牌彩电每台可获利 360元请你根据相关信息，补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图.台馥各品牌彩电销售台数含品彩电所获利润的百分議1201008040120图图考点:扇形统计图；条形统计图.专题:图表型.分析：根据获利总数与扇形图，可计算出B型彩电的获利，进而求

15、出 B型彩电的数目；接着可求出 C型彩电的获利和台数；利用 A、C型的获利和获利总数分别求出它们所获利润的百分数，进而补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图即可.解答：解:根据题意可得：五月份共获利48000元，B种品牌彩电获利占30%，即获利48000X 30%=14400元，故B种品牌彩电的台数为14400- 144=100台，贝U C种品牌彩的台数为（48000-120X 100-14400 ）60=60台；据此可补全条形图.答品牌魁屯網售台数图（4 分）五月份共卖出（120+100+60 ）=280台，其中A种品牌彩电120台，占获利的25% , B种品牌彩100台占获利的

16、30%，C种品牌彩电60台，占获利的45%，据此可补全扇形图.蓉品牌夥电所获利润的百分數图（6 分）说明：条形图中每画对1个条形图得（2分）扇形图中每填对1个扇形得（1分）.扇形图中若标成表示 A，C计算的百分数正确，填图不正确，扣（1）.如另画扇形图正确也得分.点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比 之和为1，能直接反映部分占总体的百分比大小.如图所示，已知EA丄AB于点A, CD丄DF于点D , AB / CD，请判断EA与DF的位置关系，并说明

17、理由.考点：平行线的判定；垂线；平行线的性质.专题：探究型.分析：首先由AB / CD，根据两直线平行，内错角相等，得到/BAD= / ADC，再根据垂直的定义得到/EAB= / CDF=90，则/ EAB+ / BAD= / CDF+ / ADC，即/ EAD= / ADF，满足关于 EA / DF 的条件：内 错角相等，两直线平行.解答：解：EA / DF .理由如下: / EA丄AB于点A，CD丄DF于点D （已知），/ EAB=90，/ CDF=90 （垂直定义）./ AB / CD （已知），/ BAD= / ADC （两直线平行，内错角相等），/ EAB+ / BAD= / CDF

18、+ / ADC，即/ EAD= / ADF， EA / DF （内错角相等，两直线平行）.点评：本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及平行线的判定定理.BAD（2002?河南）如图，AB / CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F，EG 平分/ BEF，若/ 1=72，则/ 2=54度.考点：平行线的性质；角平分线的定义.专题：计算题.分析：两直线平行，同旁内角互补，可求出ZFEB，再根据角平分线的性质，可得到ZBEG，然后用两直线平行，内错角相等求出/2 .解答：解：T AB /CD，/ BEF=180 -Z 1=180 -72 =108，/ 2= / BEG，又 V EG 平分Z

19、 BEF，/.Z BEG= 2 Z BEF=寺 X108 =54，故Z 2= Z BEG=54 .点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补.（2006?大连）在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋 子的概率是（1）试写出y与x的函数关系式.（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为弓，求x和y的值.考点：概率公式；二元一次方程组的应用.分析：（1）根据概率的求法：在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，共x+y颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是3-6s.3工十y 8成立.化简可得y与x的函数关系式;J 3卄y 8工

20、十！（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为5，结合（1）的条件，可得电，解可得x=15，y=25 .解答：解：（1）根据题意得：希;=訂（3 分）整理，得 8x=3x+3y ,( 4 分) 5x=3y，二 P =社；（5 分）T+101（2 ）解法一：根据题意，得 H+y十10 3，（ 7分）整理，得 2x+20=x+y+10 , y=x+10 ,( 8 分)5x=3 (x+10 ), /. x=15 , y=25 .U+y-aj 卄10 二1解法二：（2 ）根据题意，可得 2+卩+1。25工一3期=0整理得|y = +10 ，(8分)A出现m

21、点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件种结果，那么事件 A的概率P （A）=器.如图，在等腰 ABC中，CH是底边上的高线，点 P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接 AP交BC于点E，连接BP交AC于点F.(1 )证明：/ CAE= / CBF ;(2)证明：AE=BF .考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：证明题.分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得CH平分/ ACB ,再证明 ACE和 BCF全等，然后根据全等三角形对应角相等和全等三角形对应边相等即可证明.解答：（1）证明：在等腰 ABC中,V CH是底边上的高线,rAt7 = BCI 壮CH=在 ACE 和 BCF 中，=/. ACEBCF ( SAS ), / CAE= / CBF （全等三角形对应角相等）；(2) ACE BCF (SAS ), AE=BF （全等三角形对应边相等）.点评：本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形