几何辅助线做法要点

1、初中学习资料整理总结线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有 n(n > 2个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出 -n(n 1)条.1规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成 一n(n+1)+1个部分.21Q一 n(n 1)条.2规律4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的 半.B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.1MN = AC2/ M是AB的中点，N是BC的中点11 AM = BM = AB ,BN = CN = 一 BC一211-BC = - (AB + BC)22规律3.如果一条直线上有n个点，那

2、么在这个图形中共有线段的条数为例：如图,求证:证明: MN = MB + BN1-AB +21- MN = AC2练习：1.如图，点C是线段AM =1(AB + BC)AB上的一点，M是线段BC的中点.求证:2.如图,求证:点B在线段AC上，M是AB的中点,1MN = - BC2N是AC的中点.3.如图,求证:点B在线段AC上，N是AC的中点,1MN = AB2M是BC的中点.第7页共35页1规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有1 n(n 1)个.2规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n ( n 1)个.规律7.如果平面内有 n条直线都经过同一点

3、，则可构成n ( n 1)对对顶角.规律8.平面上若有n ( n>3个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共1可作出n(n 1)(n 2)个.690°.1 人 -n(n 1)个.2规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁 内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.DDBD规律13.已知AB/ DE,如图，规律如下:ABZABC+BCD+CDE

4、=360CDBEAf)EZBCDF 山BC+ 4DEDZBCD=4DE- ZABCzBcd= Zabc- NcdeAf)BNCDE= /bCD+ ZABCCBZabc= zBcd+zcde规律14.成例：已知， 解：/Bf)“8字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半BE、DE 分别平分/ ABC 和/ ADC，若/ A = 45°,/ C = 55°,求/ E 的度数. A +/ ABE = / E +/ ADE/ C + / CDE = / E + / CBE +得=/ E + / ADE + / E +/A + / ABE + / C +/

5、CDE/ CBE/ BE 平分/ ABC、DE 平分/ ADC,/ ABE = / CBE , / CDE = / ADE 2/ E =/ A+/ C1/ E = -(/A +/ C)/ A =45°, / C =55°,/ E =50°三角形部分规律15.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或 延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边 关系定理及不等式性质证题 .例：如图，已知 证法（一）：在 AMN在 BDMD、E 为 ABC 内两点，求证： AB+ AC >BD + DE + CE. 将DE

6、向两边延长，分别交 AB、AC于M、N 中， 中，在 CEN中，+得AM + AN > MD + DE + NE MB + MD > BDCN + NE> CEAM + AN+ MB + MD +CN+ NE> MD + DE + NE + BD + CE AB + AC> BD + DE + CE证法(二)延长 BD交AC于F，延长CE交BF于G,在 ABF和 GFC和 GDE中有， AB + AF > BD + DG + GF GF + FC > GE + CE DG + GE > DE+有AB + AF + GF + FC + DG + G

7、E > BD + DG + GF + GE + CE+ DE AB + AC> BD + DE + CE注意：禾U用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图 卩为 ABC内任一点，1求证：一（AB + BC + AC） < PA+ PB + PC V AB + BC + AC2规律16.三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的 一半.例：如图，已知 BD为 ABC的角平分线，CD为 ABC的外角/ ACE的平分线，它与 BD 的延长线交于D.求证：/ A

8、= 2/ D证明： BD、CD分别是/ ABC、/ ACE的平分线/ ACE =2/ 1, / ABC =2 / 2/ A = / ACE -/ ABC/ A = 2/ 1-2 / 2又/ D = / 1 -/ 2/ A =2 / D规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90°加上第三个内角的一半.1/ BDC = 90° + - / A2A90°减去第三个内角的一半1/ BDC = 90° _ / A2（的绝对值） 例：已知，如图，在求证：/ EAD =例：如图，BD、CD分别平分/ ABC、/ ACB , 求证:证明： BD、CD分别平分

9、/ ABC、/ ACB / A+ 2 / 1+ 2/ 2 = 180° 2(/ 1 + / 2)= 180°/ A / BDC =180° (/ 1+/ 2)(/ 1 + / 2) = 180°/ BDC 把式代入式得 2(180°/ BDC)= 180°/ A即: 360° 2 / BDC =180°/ A 2/ BDC = 180° +/ A1/ BDC = 90° + / A2规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 例：如图，BD、CD分别平分/ EBC、/ FCB , 求证:

10、证明： BD、CD分别平分/ EBC、/ FCB/ EBC = 2 / 1、/ FCB = 2 / 2 2 / 1 = / A +/ACB 2/ 2 = /A+/ABC +得2 (/ 1 + / 2) = / A+/ ABC +/ ACB +/ A2 (/ 1 + / 2) = 180° +/ A1(/ 1 + / 2) = 90° + / A2/ BDC=180° (/ 1 + / 2)1=180° (90° + / A)21=90°丄/ A2规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差 的一半.

11、ABC 中，/ C>/ B, AD 丄 BC 于 D, AE 平分/ BAC.12证明： AE平分/ BAC1BAE = / CAE = 一 / BAC2BAC =180° (/ B + / C)1EAC = - 180° (/ B+/ C)2/ AD 丄 BC/ DAC = 90° / C/ EAD = / EAC / DAC1/ EAD = - 180° (/ B+/ C)一(90°/ C)2AC1=90°- - (/ B + / C) 90° +/ C1=-(/ C/ B)2如果把AD平移可以得到如下两图，FD丄

12、BC其它条件不变，结论为/ EFD = - （/ C2-/ B).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证 不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角 的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知 D为 ABC内任一点，求证：/ BDC >/ BAC证法（一）：延长BD交AC于E，/ BDC > EDC 的外角，C/ BDC >/ DEC同理：/ DEC >/

13、BAC/ BDC >/ BAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于F/ BDF是 ABD的外角，/ BDF >/ BAD同理/ CDF >/ CAD/ BDF +/ CDF >/ BAD +/ CAD即:/ BDC >/ BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图， AD为 ABC的中线且/ 1 = / 2，/ 3 = / 4，求证：BE + CF > EF证明：在 DA上截取 DN = DB，连结NE、NF，贝U DN = DC 在 BDE和 NDE中，DN = DBBE + CF > EF/ 1 = / 2

14、ED = ED BDE NDE BE = NE同理可证：CF = NF 在 EFN 中，EN + FN > EF BE + CF > EF规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形 例：已知，如图， AD为 ABC的中线，且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4,求证:证明：延长 ED至U M，使DM = DE，连结 CM、FM BDE 和 CDM 中,BD = CD/ 1 = / 5ED = MD BDE CDM CM = BE又/ 1 = L 2, L 3 = L 4 L 1 + L 2 +L 3 + L 4 = 180°:-L即/ L3 +

15、L 2 = 90°MEDF = 90°FDM = L EDF = 90° EDF 和 MDF 中ED = MD/ FDM = / EDFDF = DF EDF MDF EF = MF在 CMF 中，CF + CM > MFBE + CF > EF（此题也可加倍 FD，证法同上）规律23.在二角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等二角形 例：已知，如图， AD为 ABC的中线，求证： AB+ AC>2AD证明：延长 AD至E, 使 DE = AD，连结BE/ AD为 ABC的中线CE BD = CD在 ACD和 EBD中BD = CD/ 1 = /

16、 2AD = ED ACD EBD/ ABE 中有 AB + BE>AE AB + AC> 2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法: a> b a ±3 = c a ±3 = c±l例：已知，如图，在 ABC中，AB >AC,L 1 = L 2, P为AD上任一点，求证：AB AC> PB PCAN = AC，连结 PN证明：截长法：在AB上截取在 APN和A

17、PC中，AN = AC/ 1 = / 2AP = AP:. APN APC PC = PN/ BPN 中有 PB PCv BNM PB PCv AB AC补短法： 延长AC至M，使AM = AB,连结PM在ABP和AMP中AB = AM/ 1 = / 2AP = AP ABP AMP PB = PM又在 PCM 中有 CM > PM PC AB AC> PB PC练习：1.已知，在 ABC中，/ B = 60o,AD、CE是 ABC的角平分线，并且它们交于点求证：AC = AE+ CDC2.已知，如图， AB / CD / 1 = / 2，/ 3 = / 4.求证：BC = AB+

18、 CD规律25.证明两条线段相等的步骤： 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所 在的三角形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.求证：DF = EF例:如图，已知，BE、CD相交于F，/ B = / C,/ 1 = / 2,证明：/ ADF = / B+/ 3/ AEF = / C+/ 4又/ 3 = / 4/ B = / C/ ADF = / AEF在 ADF和 AEF中/ ADF = / AEF/ 1 = / 2AF = AF ADF AEFDF = EF规律26.在一

19、个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相 等.例：已知，如图 Rt ABC中，AB = AC，/ BAC = 90°,过A作任一条直线 AN,作BD丄AN 于 D, CE丄 AN 于 E,求证：DE = BD CE 证明：/ BAC = 90°, BD 丄 AN第11页共35页 / 1 + / 2 = 90°/ 1 + / 3 = 90°/ BD 丄 ANCE 丄 AN/ BDA =/ AEC = 90° 在 ABD和 CAE中， / BDA = / AECAB = AC ABD BA CAECN BD = AE 且

20、 AD = CE AE AD = BD CE DE = BD CE规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD为 ABC的中线，且 CF丄AD于F, BE丄AD的延长线于 E求证：BE = CF证明：（略）C规律28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC = BD, AD丄AC于A, BCBD于B 求证：AD = BC证明：分别延长 DA、CB交于点EBC 丄 BD/ AD 丄 AC/ CAE = / DBE = 90°在 DBE和 CAE中/ DBE = / CAEBD = AC / E = / E ED = EC, EB = EAEC ED E

21、A = EC EB AD = BC规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题 例：已知，如图， AB/ CD, AD / BC求证：AB = CD证明：连结AC （或BD）/ AB / CD , AD / BC/ 1 = / 2在 ABC和 CDA中,/ 1 = / 2ACAC = CA/ 3 = / 4 ABCCDA AB = CD练习：已知，如图， AB = DC , AD = BC, DE = BF , 求证：BE = DFC规律30.有和角平分线垂直的线段时, 例：已知，如图，在 RtAABC中,于E求证：证明：通常把这条线段延长。可归结为AB = AC , /

22、BAC = 90°,/ 1 =角分垂等腰归”.,CE 丄 BD的延长线BD = 2CE分别延长BA、CE交于/ BE 丄 CF/ BEF = / BEC = 90° 在 BEF和 BEC中/ 1 = / 2BE = BE/ BEF = / BEC BEFN BECF1 CE = FE = CF2/ BAC = 90° , BE 丄 CF / BAC = / CAF = 90° / 1 + / BDA = 90°/ 1 + / BFC = 90°/ BDA = / BFC在 ABD和 ACF中/ BAC = / CAF/ BDA = /

23、 BFCAB = AC ABD ACF BD = CF BD = 2CE练习：已知，如图，/ ACB = 3 / B，/ 1 = / 2,CD丄AD于D,求证：AB AC = 2CD规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形 例：已知，如图， AC、BD相交于 0,且AB = DC, AC = BD ,求证：/ A = / D证明：（连结BC,过程略）规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件 例：已知，如图，AB = DC，/ A = / D求证：/ ABC = / DCBADC证明：分别取AD、BC中点N、M,连结NB、NM

24、、NC （过程略）规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两 边距离相等证题.例：已知，如图，/ 1 = / 2 , P为BN上一点，且 PD丄BC于D, AB+ BC = 2BD, 求证：/ BAP + / BCP = 180° 证明：过P作PE丄BA于E/ PD 丄 BC,/ 1 = / 2 PE = PD在 RtA BPE 和 Rt BPD 中NBP = BPPE = PD RtA BPE也 RtA BPD BE = BD / AB + BC = 2BD , BC = CD + BD , AB = BE AE AE = CD/ PE丄 B

25、E, PD 丄 BC/ PEB = / PDC = 90°在 PEA和 PDC中PE = PD/ PEB = / PDCAE =CD PEAN PDC/ PCB = / EAP/ BAP + / EAP = 180°/ BAP + / BCP = 180°求证：BP为/ MBN的平分线练习：1.已知，如图，PA、PC分别是 ABC外角/ MAC与/ NCA的平分线，它们交于 P,PD丄BM于M , PF丄BN于F,第15页共35页2.已知，如图，在 ABC中，/ABC =100°,/ ACB = 20°, CE 是/ ACB 的平分线,D是AC

26、上一点，若/ CBD = 20o，求/ CED的度数。规律34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图， AB = AC, BD丄AC于求证：/ BAC = 2 / DBCD,证明：（方法一）作/ BAC的平分线1AE，交 BC 于 E,则/ 1 = / 2 = - / BAC2又 AB = AC AE 丄 BC/ 2 +/ ACB = 90°/ BD 丄 AC/ DBC + / ACB = 90°/ 2 = / DBC/ BAC = 2/ DBC（方法二）过 A作AE丄BC于E （过程略） （方法三）取 BC中点E,连结AE （过程略

27、）有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图， ABC中，AB = AC, D为BC中点，求证：DE = DF 证明：连结AD./ D为BC中点， BD = CD 又 AB =AC AD 平分/ BAC / DE 丄 AB, DF 丄 AC DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中，AB = AC,在BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使AE = AF，求证：EF丄BC证明：延长 BE至U N,使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC/ B = / ACB, / ACN = / ANC/ B +/ ACB + / ACN + / ANC = 18

28、0° 2 / BCA + 2 / ACN = 180° / BCA + / ACN = 90° 即/ BCN = 90° NC 丄 BC / AE = AF / AEF = / AFEDE丄AB于E, DF丄AC于F ,又/ BAC = / AEF +/ AFE/ BAC = / ACN +/ ANC/ BAC =2/ AEF = 2 / ANC/ AEF = / ANC EF / NC EF 丄 BC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC, D在AB 上, E在AC延长线上，且 BD 结DE交BC于F求证：D

29、F = EF证明：（证法一）过 D 作 DN / AE，交 BC 于 N，则/ DNB = / ACB , / NDE/ AB = AC,/ B = / ACB=CE,连/ B =/ DNB BD = DN 又 BD = CE DN = EC在 DNF和 ECF中/ 1 = / 2M/ NDF =/ EDN = EC DNF BA ECF DF = EF（证法二）过 E作EM / AB交BC延长线于 常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中，AB =AC, E在AC 上,结DE求证：DE丄BC证明：（证法一）过点E作EF / BC交AB于F ,则/ AFE =/BM,则/

30、EMB =/ B （过程略）D在BA延长线上，且AD = AE，连BMEN D/ AEF = / C/ AB = AC/ AFE =/ AEF/ AD = AE/ AED = / ADE又/ AFE + / AEF + / AED + / ADE = 180° 2 / AEF + 2/AED = 90° 即/ FED = 90° DE 丄 FE又 EF / BC DE 丄 BC（证法二）过点 D作DN / BC交CA的延长线于N,（过程略）（证法三）过点 A作AM / BC交DE于M ,（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形2第19页共35页例

31、:解法二:解法三:E已知，如图， ABC 中，AB = AC, / BAC = 80° ,P 为形内一点，若/ PBC = 10° / PCB = 30° 求/ PAB 的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结 CE贝U/ BAE = / ABE = 60°AE = AB = BE/ AB = AC AE = AC / ABC =/ACB :丄 AEC = / ACE/ EAC = / BAC / BAE_ _ °_ _ ° _ _ °=80 60 = 201/ ACE = (180°/ EAC)= 80&#

32、176;21/ ACB= - (180°/ BAC)= 50°2/ BCE = / ACE / ACB=80° 50° = 30°./ PCB = 30° / PCB = / BCE./ ABC = / ACB = 50°, / ABE = 60°/ EBC = /ABE / ABC = 60° 50° =10°./ PBC = 10°在PBC和 EBC中/ PBC = / EBCBC = BC/ PCB = / BCEPBC EBCBP = BE AB = BE AB =

33、BP/ BAP = / BFA./ ABP = / ABC- / PBC = 50° 10° = 40°1/ PAB = - (180°/ ABP)= 70°2以AC为一边作等边三角形，证法同一。以BC为一边作等边三角形 BCE，连结AE,则EB = EC = BC，/ BEC = / EBC = 60°/ EB = EC E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线 EA丄 BC1E/ AEB = - / BEC = 30° = / PCB由解法一知：/ ABC = 50°/ ABE =

34、 / EBC-/ ABC = 10° =/ PBC/ ABE = / PBC,BE = BC,/AEB = / PCB ABE PBC AB = BP/ BAP = / BPA/ ABP = / ABC-/ PBC = 50°- 10° = 40°1 1/ PAB = - (180°-/ ABP) = -(180°- 40°)= 70°规律35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/ C,求证：AB + BD =

35、AC证明：延长AB 至U E, 使 BE = 1则/BED = / BDE/ABD =/ E+/ BDE/ABC =2 / E/ABC =2/ C/E = / C在AED 和 ACD 中/ E=/ C/ 1=/ 2AD :=ADAED BA ACD AC = AE/ AlE = AB + BE AC = AB+ BE即AB + BD = ACBD,连结DE平分二倍角例：已知，如图，在求证：证明：/ ABC = 作/ BAC/ BD 丄 ACABC 中，BD 丄 AC 于 D, / BAC = 2/ DBC/ ACB的平分线 AE交BC于E,则/ BAE = / CAE =/ DBC/ CBD

36、+/ C = 90°/ CAE + / C= 90°/ AEC= 180°-/ CAE-/ C= 90° AE 丄 BC/ ABC + / BAE = 90°/ CAE + / C= 90°/ BAE = / CAE/ ABC = / ACB加倍小角例：已知，如图，在 ABC中，BD丄AC于D，/ BAC = 2/ DBC求证：/ ABC = / ACB证明：作/ FBD =/ DBC,BF交AC于F （过程略）第27页共35页规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例：已知，如图， ABC中，AB = AC

37、，/ BAC = 120°, EF为AB的垂直平分线，EF交BC 于F，交AB于E1求证：BF = FC2证明：连结 AF，贝y AF = BF/ B =/ FAB/ AB = AC /B =/ C BAC = 120°B =/C/ BAC = 1(180°-/ BAC) = 30°2FAB = 30°FAC = / BAC-/ FAB = 120°-30° =90°oC1- AF = -FC21 BF =- FC2练习：已知，如图，在 ABC中，/ CAB的平分线DM丄AB于M , DN丄AC延长线于 N 求证：

38、BM = CNAD与BC的垂直平分线 DE交于点D,N规律37.有垂直时常构造垂直平分线 例：已知，求证：证明：又/ AEB = / C +/ EAC如图，在 ABC中，/ B =2/ C, AD丄BC于DCD = AB+ BD(一)在 CD上截取 DE = DB，连结 AE，贝U AB = AE/ B =/AEB/ B = 2 / C/ AEB = 2 / C/ C = / EAC AE = CE-CD = BD + AB又 CD = DE + CE（二）延长 CB至U F，使DF = DC,连AF则AF =AC （过程略）规律38.有中点时常构造垂直平分线 .例：已知，如图，在 ABC 中

39、，BC = 2AB, / ABC = 2/ C,BD = CD 求证： ABC为直角三角形证明：过 D作DE丄BC,交AC于E,连结BE，贝U BE = CE,/ C = / EBC/ ABC = 2/ C / ABE = / EBC/ BC = 2AB, BD = CD BD = ABAB = BD/ ABE = / EBC在 ABE和 DBE中BE = BE ABEN DBE/ BAE = / BDE/ BDE = 90°/ BAE = 90°即 ABC为直角三角形规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题 例：已知，如图，在 ABC中，/

40、A = 90°, DE为BC的垂直平分线求证：BE2 AE2 = AC2证明：连结 CE,贝y BE = CE/ A = 90° AE2 + AC2 = EC2 AE2 + AC2= be2 BE2 AE2 = AC2P为BC上一点C练习：已知，如图，在 ABC中，/ BAC = 90°, AB = AC,求证：P B2 + PC2= 2PA2规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中 例：已知，如图，在 ABC 中，/ B = 45°,/ C = 30°, AB = J2，求 AC 的长.解：过A作AD丄BC于D/ B + /

41、 BAD = 90°,/ B = 45°, / B = / BAD = 45°, AD = BD AB2 = ad2 + BD2, AB = 2 AD = 1/ C = 30°, AD丄 BC AC = 2AD = 2四边形部分一规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：已知, ABCD的周长为60cm，对角线 AC、BD相交于点 0， AOB的周长比 BOC的 周长多8cm，求这个四边形各边长.解：四边形 ABCD为平行四边形 AB = CD, AD = CB , AO = CO/ AB + CD + DA + CB = 60AO

42、+ AB + OB (OB + BC + OC) = 8 AB + BC = 30, AB BC =8 AB = CD = 19 , BC = AD = 11 答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.(例题如上)规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：已知，如图，RtA ABC，/ ACB = 90o, CD丄AB于D, AE平分/ CAB交CD于F，过F 作FH / AB交BC于H 求证：CE = BH证明：过F作FP / BC交AB于P,则四边形FPBH为平行四边形/ B =

43、/ FPA, BH = FP/ ACB = 90°, CD 丄 AB/ 5 +/ CAB = 45°,/ B +/ CAB = 90°/ 5 = / B/ 5 = / FPA又/ 1 =/ 2, AF = AF:. CAF FAF CF = FP/ 4 = / 1 + / 5,/ 3 = / 2+/ B/ 3 = / 4 CF = CE CE = BH规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段 例：已知，如图，在 ABCD中，AB = 2BC ,求证：CM丄DM证明：延长DM、CB交于N四边形ABCD为平行四边形 AD = BC, AD / BC/

44、 A = / NBA/ ADN又 AM = BM AMD N BMNM为AB中点=/ N AD = BNN BN = BC/ AB = 2BC, BM = BC =AM = BMBN/ 1 = / 2,/ 1 + / 2+/ 3+/ N = 180°,/ 1 + / 3 = 90° CM 丄 DM规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等如图：OE = OF练习：已知，如图， AB / EF / GH , BE = GC 求证：AB = EF + GH规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构 成的三角形的面积等于平行四边形面

45、积的一半1如图：Sa BEC = Sd abcd2规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三 角形的面积之和等于平行四边形面积的一半1女口 图：AOB + Sa doc = Sa boc + S aod = Sa abcd2AO2 + 0C2 = BO2 + DO2规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等 如图：OADB规律如图:49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形 为矩形.四边形GHMN是矩形（规律45规律49请同学们自己证明） 规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：已知，如图， E为矩形ABCD

46、的边AD上一点，且 BE = ED, P为对角线BD上一点,则四边形AHPG为矩形PF丄BE于F, PG丄AD于G 求证：PF+PG = AB 证明：证法一：过 P作PH丄AB于H , AH = GP PH / ADD/ ADB =/ HPB/ BE = DE/ EBD = / ADB/ HPB =/ EBD 又/ PFB = / BHP = 90o PFBba BHP HB = FP AH + HB = PG+PF 即 AB = PG+PF证法二：延长 GP交BC于N，则四边形 ABNG为矩形，（证明略） 规律51.直角三角形常用辅助线方法：作斜边上的高例：已知，如图，若从矩形ABCD的顶点

47、C作对角线BD 求证：AC = CE证明：过A作AF丄BD，垂足为F，贝U AF / EG/ FAE = / AEG四边形ABCD为矩形 / BAD = 90° OA = OD/ BDA =/ CAD/ AF 丄 BD/ ABD + / ADB = / ABD + / BAF =/ BAF = / ADB = / CAD AE为/ BAD的平分线的垂线与/ BAD的平分线交于点E/BAE = / DAE/BAE-/ BAF即/FAE = / CAE/CAE =/AEG AC = EC=/ DAE-/ DAC作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线： 有斜边中点时例：已知，如图， AD、

48、BE是 ABC的高，F是DE的 是AB的中点求证：GF丄DE证明：连结GE、GD/ AD、BE是 ABC的高，G是AB的中点1- GE = - AB, GD =2 GE = GD F是DE的中点 GF 丄 DE 有和斜边倍分关系的线段时中点，G例：已知，如图，在 ABC中,求证：/ ACB = 2 / B证明：取BD中点E,连结1 -AB 2CD是BC延长线上一点，且DA 丄 BA 于 A, AC =1-BD2AE，贝U AE = BE = - BD21/ AC = -BD2 AC = AE/ ACB =/ 2D/ 2 = / 1 + / B/ 2 = 2/ B/ ACB = 2/ B规律52

49、.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等例：已知，如图，过正方形 ABCD对角线BD上一点P,作PE丄BC于E,作PF丄CD于F求证：AP = EF证明：连结AC、PC四边形ABCD为正方形 BD 垂直平分 AC, / BCD = 90° AP = CP/ PE丄 BC, PF 丄CD，/ BCD = 90°四边形PECF为矩形 PC = EF AP = EF规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点.例：已知，如图，正方形 ABCD中，M为AB的中点,N求证：MD = MNMN 丄 MD ,BN平分/ CBE并交MN于1证明：取 AD的中点P,连结PM,贝U

50、 DP = PA =-AD2.四边形ABCD为正方形 AD = AB, / A =/ABC = 90°/ 1 + / AMD = 90°，又 DM 丄 MN/ 2 +/ AMD = 90°/ 1 = / 2 M为AB中点1 AM = MB = AB2 DP = MB AP = AM/ APM = / AMP = 45°/ DPM =135°/ BN 平分/ CBE/ CBN = 45°/ MBN = / MBC + / CBN = 90° + 45°= 135° 即/ DPM = / MBN DPM N

51、MBN DM = MN注意：把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。 练习：已知，Q为正方形ABCD的CD边的中点，求证：/ BAP = 2 / QADP 为 CQ 上一点，且 AP = PC + BCC规律54.利用正方形进行旋转变换可以把图形的某部分绕相等邻边的旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时, 公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC，/ BAC = 90°, D为BC边上任一点 求证：2AD2 = BD2 + CD2证明：把 ABD绕点A逆时针旋转90°得 ACE BD = CE / B = / ACE/ BAC = 90°/