傅里叶变换性质证明

1、2 o 6傅里叶变换得性质 2o 6. 1线性若信号与得傅里叶变换分别为与,NA则对于任意得常数a与b,有A将其推广,若,则M幺其中为常数,n为正整数。4由傅里叶变换得定义式很容易证明线性性质、q 显然傅里叶变换也就是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两 个含义:均匀性与叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号得傅里叶变换 也乘以相同得常数a,即A叠加性表明，几个信号之与得傅里叶变换等于各个信号得傅里叶变换之与N2. 6. 2反褶与共朝性设f (t)得傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共枕以及既反褶乂共枕 后,新信号得傅里叶变换。(1)反褶f (-1)就是f ( t )得反褶

2、,其傅里叶变换为(2)共枕既反褶乂共枕本性质还可利用前两条性质来证明:设 g (t)=f (-t),h(t)=g*(t),则在上面三条性质得证明中，并没有特别指明f (t)就是实函数还 就是复函数，因此，无论f(t)为实信号还就是复信号，其傅里叶变换都满足下面 三条性质2o 6.3奇偶虚实性已知f (t)得傅里叶变换为。在一般情况下,就是复函数,因此可以把它表示成 模与相位或者实部与虚部两部分,即根据定义，上式还可以写成下面根据f (t)得虚实性来讨论F ()得虚实性、(1) f (t)为实函数小对比式(2 33)与(234),由F T得唯一性可得(1、l)f(t)就是实得偶函数，即f(t)=

3、f(t)X()得积分项就是奇函数，而奇函数在对称区间内得积分为零，故这时X()=0,于就是A4可见,若f( t )就是实偶函数，则F()也就是实偶函数,即左边反褶,右边共挽(1、2) f就是实得奇函数，即-f(t)=f(-t)AR()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零，故这时R()=0,于就是可见,若f (t)就是实奇函数,则F()就是虚奇函数，即的)=：网产面=o)工穴加如左边反褶,右边共有了上面这两条性质，下面我们来瞧瞧一般实信号(即可能既不就是偶信号，乂不 就是奇信号，反正不清楚，或者说就是没有必要关心信号得奇偶特性)得FT频谱 特点、2. 6。4对称性傅里叶变换与傅里叶

4、反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换得对称性 质。若已知F() =F则有 F f(t)=2Jif(-)证明：因为A将变量t与互换,再将2乘过来,泳4上式右边就是傅里叶正变换定义式,被变换函数就是F(t)所以AF F(t)=2f(-)若f (t)为偶信号，即f=f(t),则有aF F(t)=2f ()从上式可以瞧出，当f ( t )为偶信号时,频域与时域得对称性完全成立一一即 f (t)得频谱就是F(),F得频谱为f ()。若f ( t )为奇信号,即f (t)=-f(- t )，则有F F (t)=2f()利用FT得对称性,我们可以很方便地一些信号得傅里叶变换。下面我们举些 例 子 来 说

5、 明 这 一 点、例12. 2试根据FT的对称性，利用用渤信号的傅里叶变换来求直流信号的傅里叶变顿。解；已知冲激信号的像里叶变换为HE苗Ct)r，将E视为常数函数，它是偶函数，根据FT的对称性，得FE =2事E5 。例2, 3试根据FT的对称性，利用矩形脉冲信号的傅里叶变联来求解S通数的傅里叶变投。解：已知矩形脉冲信号的俾里叶变换为/ XFEGi)= SSa I 2 /根据FT的对称性，可得尸忖唱若令工=2、E=1，则即S炳数的FT是脓宽为2、豚高为p的矩形脉冲.矩形脉冲信号波形与频谱.S延数的波形与频谱如下因所示.71 兀 371 f图2T2根据FT的对称性求S通数的FT7 例2.4海根据F

6、T的对称性，利用符号函数的碑里叶变换来求解求信号£(t)=i/t的作里叶变换。解：已知符号函数的簿里叶变换为Fs科卜2，根据FT的线性可得根据FT的对称性，考虑到5郎2是奇函数，有2o 6o 5尺度变换若F f=F(),则启这里a就是非零得实常数。下面利用FT得定义及积分得性质，分a0与水0两种情形来证明傅里叶变 换得尺度变换特性。证明：因为A当a > 0时当a < 0时上述两种情况可综合成如下表达式：由上可见,若信号f ( t )在时域上压缩到原来得I /a倍,则其频谱在频域上将 展宽a倍,同时其幅度减小到原来得1/ a o尺度变换性质表明，在时域中信号得压缩对应于频域

7、中信号频带得扩展,反之, 信号得时域扩展对应于频域得压缩。对于a=-l得特殊情况,它说明信号在时域中 沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。对傅里叶变换得尺度变换特性最通俗得解释可以采用生活中得实例来说明， 在录音带快放时.，其放音速度比原磁带得录制速度要快,这就相当于信号在时间 上受到了压缩,于就是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提 高了。反之，当慢放时放音得速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚， 即低频比原来丰富了(频域压缩)。2.6o 6时间平移(延时)下面进行证明证明：A上式右边得积分项为傅里叶变换定义式,于就是可以得到同理可以得到2.6O 7 时域微分若

8、 Ff(t) = F(),则证明：因为，两边对t求导,可得所以同理，可以推出由上可见,在时域中f (t)对t取n阶导数等效于在频域中f (t)得频谱F()乘以 (j )n.下面举一个简单得应用例子、若已知单位阶跃信号u( t )得傅里叶变换, 可利用此定理求出(t)得FT2. 6.8频域微分若 Ff( t )=F(),则证明：因为，两边分别对求导，可得2.6. 9时域积分7 若F£«)=£W)，则工/而=(/劭“与+萩演切证明：/-0D J J-8 J-8=r J-03 J-<O变换积分次序，并且利用阶跃信号的傅里叶变换关系式舛以« - 7)二冗/

9、)十二-g-法 于是一向9=广/力讥田»一*八+ f f(r)dr卜卜j田= (/©)-1十靖(023)特别地，如果侬在=口处有界，则。田尸既助例2. 7利用时域积分特性求o解：由于FUG)，J且打(£)=，5(。成J-C0由时域积分特性可得9,0)二一+打西J©可见,这与利用符号函数求得得结果一致。2. 6. 10频域积分若 Ff(t) =F()，则有2.611 时 域 卷 积 定 理卷 用力*力卜到工卜见当证明：屯（3力=匚 © （M G -碎加流L（卷积和FT的定义）=E>0匚川£一咤海就佼换积分次序=匚/耳友冰一所帆（F

10、T定义及其时移特性二尸国 f一溶也 法于枳分变量的常函数提出来）=网用 Fh（O=F缶FUe） E定义）由上可见，两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，也就是说，两信号时域卷积等效于频谱相 乘。2。6.12频域卷积定理与时域卷积定理类似，证明方法同时域卷积定理,在这里不在重复，同学们可自己证明、山上可见,两个时间函数频谱得卷积等效于两个时间函数得乘积。或者说，两 个时间函数乘积得频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。显然，时域与频域卷积定理就是对称得，这就是由傅里叶变换得对称性决定 得。2. 6o 13 帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时,提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理在 FT中得具体表现形式、这就就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号得能量在时域与频 域就是守恒得。下面利用F T得定义与性质，推导信号能量得求解。（IF'T定义）（交换积分次序）（FT定义）=口唱L 百（田）四之山dt 一口©!（口产山 =2二"物（口©产可 =:£