双曲线经典例题

1、习题精选精讲-1 -2 -2x【例1】若椭圆m2x0与双曲线a1 （a b 0）有相同的焦点F1, F2, P是两条曲线的一个交点,则|PF1| |PF2I的值是A. m aB.(1ma)C.2 m2aD.2【解析】椭圆的长半轴为扁,PF1PF22vm1双曲线的实半轴为ja,PF,PF22 晶22212 :4 PF1PF24maPF1PF2m a，故选【评注】A.严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键2已知双曲线二91【例2】2y 1与点M（ 5, 3），F为右焦点, 27【分析】待求式中的 -是什么？是双曲线离心率的2倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦

2、点F（ 6，0），离心率 e 2,右准线为1：3一作MN2l于N，交双曲线右支于P,连FP,则PFe PN2 PNPN1一 PF .此时2最小，则P点的坐标为|PM II |PM I |PN I I MN I 57为最小.5江 1中，令y 3，得x292712x 2J3.Q xf 0，取x 2j3.所求p点的坐标为（2j3,3）.（2）渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围 题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题

3、之中.由于处理直线问例 3】过点（1，3）且渐近线为yx的双曲线方程是22x2a2x【解析】设所求双曲线为4点（1，3）代入:35【评注】在双曲线西代入（1）：44y2352x2a35即为所求.2 y b2-0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为b2yk，而无须考虑其实、虚轴的位置b习题精选精讲（3）共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄2x将双曲线字a2*1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为:2与 1.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦a距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样;它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用【例4】两共轭双曲线的离

4、心率分别为e1, e2，证明:1=1.©2【证明2X】双曲线ra1的离心率ei2c2a2 .2a b2a双曲线2y2a1的离心率©2a2 b2丄2e,a2a2 b2b2a2 b21.2-2 -4 -与圆同美（4）等轴双曲线一一和谐对称实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角【证明】如图设等轴双曲线方程为 X2 y2 a直线 CD y=m.代入（1） ： XJX2m2 .故有:C Vx m, m , D vx m2,m .取双曲线右顶点 B a,0 .那么:uu

5、uBCm2ulua,m ,BDm2a,mXuuu uLur Q BC BDa2a2m2m20,uuuBCuuurBD .即/ CBD=90 .同理可证：/CAD=90 . 通法特法妙法（1）方程法一一为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、2 X 【例6】如图，F1和F2分别是双曲线 a双曲线左支的两个交点，且曲线的离心率为（解方程、2占1(abf2ab是等边三角形，则双方程组或不等式0,b0）的两个焦点，A和B是以0为圆心，以OF为半径的圆与（A）73(B) J5(D) 1 J3习题精选精讲12-3 -6 -【解析1】设AB交x轴于M并设双曲线半焦距为c，/ F2AB是

6、等边三角形，/ OMma2c 432,2c代入双曲线方程:b2a23 2 -C42-2a bc2 c2a2C 2 23a c4a2 c2a2.化简得:c48a2c24a4e48e2e24 2373 1.(Te > 1,/e22J3及e J31舍去)故选D.【解析2】连AF1 ,则 AFF2为直角三角形，且斜边f F2之长为2c.令AF1r1, AF2r2.由直角三角形性质知:2a12r22c1 c2a2r12 .22 4c ,2a22,2 c 2c c 4c 2a2ace2 2e 20./e >1，/取 e1选 D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段(2)转换法一

7、一为解题化归立意2x例 7】直线I过双曲线令a221的右焦点，斜率b2k=2.若I与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围A.e> J2B.1<e<C.1ve< U5D.e> 45【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2,所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线I的倾斜角为a.双曲线渐近线m的倾斜角为p .显然。当3&g

8、t;a时直线 个交点分别在左右两支上.由I与双曲线的两tan tane25./双曲线中e 1，故取e>丿5 .选D.(3)几何法一一使数形结合带上灵性2例 8】设P为双曲线X21上的一点，F-i，F2是该双曲线的两个焦点，若|P F1 |: |P F2I 3: 2，则P FjF?的面积为习题精选精讲2-4 -8 -B .12C.12V3D. 24析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,b于是PFi3r,PF2 2r.Q PRPF22aPFi6, PF2 4.Q PFiPF252故知p F1F2是直角三角形,/ FiP F2=9O° .1尹1【评注】解题中发现- SPFiF21

9、 -642P F1F2是直角三角形，PF212.选是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处（4）设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例:【例9】双曲线X21的一弦中点为（2, 1）,则此弦所在的直线方程为A. y 2x 1B.y 2x 2 C.y 2x 3 D.y 2x 3【解析】设弦的两端分别为X1,y1,B X2,y2.则有:2X12X22*2y22X12X22¥12y2y1y2X1 X2X1 X2y1y2T弦中点为（1),二X1X2y2

10、4.故直线的斜率k2y1y2X1X2X1X2y1y2则所求直线方程为：y2 y 2x 3，故选 C.“设而不求”具体含义是：但是，“设而不求”的手段应当慎用在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.请看：【例10】在双曲线X22y21上，是否存在被点 M（ 1, 1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由如果不问情由地利用“设而不求”【错解】假定存在符合条件的弦的手段，会有如下解法:AB,其两端分别为：A （x】，yj，B （X2，y2）.那么:1 2尹2 12.X2 - y2 12X1

11、X1X2X1X2yy1y20TM （1，1）为弦AB的中点,习题精选精讲2112-5 -10 -XX22y1y22代入 1 : 2 x1 x2yiy2 0,kAB严 2X2故存在符合条件的直线 AB,其方程为：y 12x 1 .这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了:其一：将点M（ 1, 1）代入方程X22y- 1,2发现左式1=1-21 < 1，故点M（ 1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线2AB的斜率kAB2，而双曲线的渐近线为yJ2x.这里J2p 2,说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件【正解】在上述解法的

12、基础上应当加以验证.由2y22x12x2 2x 1 2这里16 24 p 0，故方程（2）此外,上述解法还疏忽了一点：只有当公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线2 2x2 4x 3 0无实根，也就是所求直线不合条件X1x2时才可能求出k=2.若x1X2,必有yj y20 .说明这时直线与双曲线只有一个（5）设参消参一一换元自如地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法,先设参，再消参.【例11】如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线 点M在双曲线C的左支上.C的标准方程；的直线m与双曲线C的左右

13、（I）求双曲线（H）若过点F两支分别交于A、B两点，设FB FA，当mI PQ I I FQ I 1，且线段PF的中6,）时，求直线m的斜率k的取值范围.【分析】第（I）问中，线段 PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（n）中，直线 m的斜率k是主要变量，其它包括入都是辅助变量.斜率k的几何意义是有关直线倾斜角0的正切，所以设置直线m的参数方程，而后将参数入用0的三角式表示，是一个不错的选择 .【解析】（I）设所求双曲线为:2X2a1.其左焦点为F (-c。 0);左准线:由 I PQ I 1，得 P (1);

14、由 I FQ I2 a c 一cb21b2c. 12 c FP的中点为M 1，2c2a2.代入双曲线方程:4c4c222222c a a c 4c ab4习题精选精讲3-6 -12 -t1,2 2根据(1)与( 2)c a b , cX(n)设直线m的参数方程为：2 tcoscos2t2 .那么已知直线uurFBuuuFA.注意到ti12.所求双曲线方程为y tsintcos2.代入Xtsin0时,Qt2t1t222 t cos24t cos2 216cos 8 2cos4coscos 22cos2m与双曲线C的左右两支分别交于B两点,t1(4)代入(5)：8f0，.于是:1匹t1t1t； t

15、2t1t26,)上是增函数,4coscos249cos2t12t22sec5049tan249T双曲线2的渐近线斜率为址2248cos1，故直线k1,1 .综合得直线m的斜率k的取值范围是k双曲线1已知中心在原点，顶点与双曲线交于不同的两点2得:总有相异二实根，设为uuu uur- FB与FA同向,2b t2t1t2249 2cosm与双曲线t1 t24921 50cos的左右两支分别交必须491,厉 、A1、A2在X轴上，离心率e=的双曲线过点3M、N ,问；是否存在直线I，使G平分线段P(6, 6) (1)求双曲线方程.(2)动直线I经过 A1PA2的重心G,MN ,证明你的结论.解1 (

16、1)如图，设双曲线方程为£=1由已知得2b2a262b21,e2c2 以a b2a21一，解得 a2=9,b2=12 所3X2以所求双曲线方程为9(2)P、A1、A2的坐标依次为假设存在直线I,使 G(2 ,*=112(6,6)、(3,2)平分线段0)、(-3, 0), 其重心MN,设 M(X1,y1),G的坐标为(2 , 2)N(X2,y2).则有4y y2 4'X1X212xj12x229y121089 y22108y1y2X1X212，二kl=- /. l的方程为习题精选精讲-1 -14 -y=4 (X-2)+2,由312x2 9y2 1084y 3(x 2),消去y,

17、整理得X2-4x+28=0 / A =16-4 X 28< 0,二所求直线I不存在"22.已知双曲线X2y1，问过点2A （1 , 1）能否作直线I，使I与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线I的方程，若不存在，说明理由。错解设符合题意的直线I存在,并设P(Xi,X2)、Q(X2,y2)2X1则2X22y12221 (1)(1)得(Xi X2)(XiX2)1(y1 y2)(y1 y2) (3) 因为 a( 1，1)为线段2PQ的中点,所以X1¥1X2¥22(4)2 (5)将（4）、（5）代入（3 ）得X1X21-(71 y2)若X1

18、X2，则直线I的斜率y1y2- 2所以符合题设条件的直线I存在。X1X2其方程为2x y 10剖析在（3）式成立的前提下，由（4）、（ 5）两式可推出（6）式，但由（6）式不能推出（4）（5）两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一 点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由2x2y22得 2x 4x 301根据80，说明所求直线不存在。3已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线X22y21- 1 *1 于 A、B 两点，且 ON (OA OB)（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线I交双曲线于C、D两点，且CDAB解：（1）设直线AB： y k（x 1）2代入0，2y2那么令A（ X1，y1），B（ X2，y2），_则x1、X2是方程的两根A、B、C、D四点是否共圆？为什么？(2k2)x22k(2 k)x(2k)2202 k20 且 x1X22k(2 k)k2' 1 ' ON y