定积分换元公式.

1、1)第四节定积分的换元法一、换元公式二.小结思考题pnS|igg|、定理（1）换元公式假设/（X）在上连续.（2）导数；（3）当f在区间3/上变化时，x=（pt）的值 在d上上变化，且0（a） = fl、0（0） = ，贝ij 有=函数X = 0（0在la, 0上是单值的且有连续证 设F(x)是/'(X)的一个原函数，J /aWv = F(方)一FS),Ja<!>(/) = F(p(O,HP z/l*®(r) = . . = /(K)0'(r)= /q>(r)<p'(F),ax at是Tie炉的一个原函数r/<pa )0(r W

2、= C)(p)一 0( a).0(a) = a、0(0) = b,= F(b)-Fh£7(x>/x = F(ZO FS) = <D(0)-(a)=JJa注意 当时，换元公式仍成立.应用换元公式时应注意:(1)用x = 0(C把变量V换成新变量 时，积分限也 相应的改变.(2)求出/0(小0(r)的一个原函数(f)后，不 必象计算不定积分那样再要把e(F)变换成原 变量工的函数，而只要把新变量的上、下限 分别代入4(0然后相减就行了.例 1 计算 f cosxsinxdx.解令 t =eosx, dt = sinxdv,兀X = t =0, X = 0 Z = 1, 2V

3、cos® xsinxJxJo例 2 计算匸 Vsinx sin xdx. 3解 / f(X)= Vsin X sin x = |cosx|(sinx)2 /. J" Jsin' X sin 密 xdx = J!cosxi(sinx)</x 37f3cosx(sinx)2jx - cosx(sinx)2jx2- 3兀3M2丘22/严(sinxp05n4-5=(sinx)irfsinx 一 J； (sinx)3sinx= -(sinx)23例3 计算h xlnx(l-nx)3J(Inx)dx5、)解原式=匸j3rJJw Jlnx(l-lnx)3"(Inx

4、)严 djlnx7lnx7(l-Inx) b Jl-(Jinx)23=2arcsin(Vlnx )：=：例4计算1：X +令 X =asini,x=a=/ = 92n 原式=P C儿 a sin/ + yad -sinZ)Gdt = f： (1+曲 riiWJo sinr 4-cosr 2。I sinf+cosfli兀+ cosfR =-dx. (a > 0) -Xdx =acosM,工=0 => / = 0,a costdt；列Inisinr例5当八X)在-44上连续，且有 八X)为偶函数，则 £/(x)rfx = 2jJ/(x)Jx ； /(X)为奇函数，则ff(x)

5、dx = 0.证 £/(x)Jx = J/(x)rfx + £/(x)f/x,在伫fxdx中令X = 一 t,®/（x）为偶函数，贝0=J： f（x）dx =匸/（兀心 + £ fx）dx =2jya）力；/（兀）为奇函数，则/（-f） = /（r）,匸/（兀血=匸/（工处+ ：/（兀）必=0例6计算xcosx奇函数开 flX?,H 工2(1 a/1 兀2 )=41 . dx = 41 Z-dx如 1 +J1 - “2h1-(1 一 xj=町：(1 J1 一 工2 )dx = 4- 4： /1 xdx=4 7C.1:1单位圆的面积(1)(2)若/d)曲0

6、,1上连续，证明 匸/(sinx)dx =j f (cos x dx;j/(sinx)rfx =£(：/(siiixMr. 由此计算产H.J° 1 +COS X(1)设 x = £ f =>dx = dt92x = 0=>f = ? X =>/=(),JoT；小«；-讪=r /(cos/)dl = J；/(cosx)i/x;(2)设 x = 7c f =>dr = dZ,X =0 =>/ = K,x = n => z = 0,r xf(sinx)dx =-(7i-Z)/sin(7c-/)rfZJuJn=£ (

7、n-t)f(sint)dt.jx/(sinx)z/x =7tJ：/GiiV)力一(/XsiiW)力 =兀f(sinx)dx -jxf(sinx)dxfnTT f n/. J xf (sinx)dx =fsinx)dx.p xsinx dx _兀 sinx 石Jo 1 十 cosU2 Jo 1+ cos X=-3/(cosx) = -arctan(cos x)2Jo l+cos"x2一 2兀,K n.兀=(1 = 2 4 44二、小结定积分的换元法 ff（x）dx=r yi0（o 妙他 w几个特殊积分、定积分的几个等式思考题dx指出求的解法中的错误，并写出正确 的解法.解令 X =se

8、cZ,/：2兀>3兀 dx = tanZsccZJZ, 34f乎 1=Jsec/ tan tdtJf seer tan/思考题解答 计算中第二步是错误的. X = sect4，tanr < 0, a/x -1 = tant tanZ.2兀3n3 '正确解法是f-v2 dx X =secZ1I,I secZ-tanzrfrJ-2 xy/x 1'于 sect tan/=-卩血=-兀.片 12练习题一、填空题：f KTTJsin（x+-）rfx=_J?3r（l-sin &）"& =Jo_f 辽 y/2 xdx =Jof! （arcsill x）

9、上2、3x4、5、2 _- . . Jx =2 Jl - "2-Z sin X ,；dx =J $*+2尤2+1二、计算下列定积分； jjsin0cos，We； 和 dx1.4>5.7.8、9.Vf - X - 1 Jl + cos2r必； Jo，J：（x2&二 jp + 工$/ + *2 止; f 2*J maxx , x* dx ；f X X - A |rfx （兄为参数） rv3 dx2、J ,；,；Ji X" J1+X*K J； cosx - cos? xdx ； "2r6、J4cos d dx.，当小耐，三、设/(x) = P Y求当 x<(wt,"11 +护四、设/(X)在“上连续， fbfb证明 £ f(x)dx = j f(a + b-xdx.五、证明：J： X气1 - xY'dx = f x”(l 一 x)*rfx.六、证明：fiiZJ f(x)dx= /(x)+/(-x)lrfx,JaJO并求鸟+爲七、设/d)在0,1上连续，证明/(cos X)Jx = I/(cosX )dx.