多元微分学的几何应用-ch6_7.

1、I第七节 多元微分学的几何应用本节要点一、曲面的切平面与法线二、曲线的切线与法平面三、梯度在场论中的意义I7趋于工，即有关系a一、空间曲面的切平面与法线设Z是空间的一张曲面，M。是曲面上的任一点/是 过的任一平面.万是平面的法向，平面称为丫在点 M。处的切平面，如果当工上的 动点M在Y上趋于M（）时，万与H的夹角3 =叫-lim cos 0 = 1.W f MoA/ CS上式等价于M - nlim 1 ,=0.寫:&阿加|.卩情形1设曲面y的方程为F（a,>*,z） = 0,点Mu el：, 如果函数尸（；w）在点处可微，且VF（MQh6, 则曲面:在Mo处存在切平面，且有法向量

2、n = VF（MJ,从而相应的切平面方程为F*（%'儿，5）（X - 兀）+ F,（5,儿，5）（y -儿）+ "；（%,九，勺）（爲一 5）=（）.过M0且与切平面垂直的直线称为曲面工在点M。处 的法线，由定义不难得到法线方程为文-Xq=y -儿乙-5例1求曲面7丫+= /在点(121)处的切平面AV与法线方程.解令F(x,y, z) = e"+兀2 z - e',贝 ijF, = y c" +2x, F. = xe", F牙=I.因而VF(l,2,l) =(2e = +2,e-l),由此得切平面及法线(2 ©2 + 2)(x

3、 - 1) + e2(y - 2)- (z - 1)=()X 1 y 2 Z I-I*，Y.“72 e* + 2 e* 1例2求曲面z = / + /的一个切平面，使该切平面与 直线十2 = 1，垂直.b + 2乙=2-V + 2 Z = 1,r r的方向向量为y + 22 = 2? = (l,0,2)x(0,l,2)= (-2,-2,l). 曲面在点(X, y, z)处的法向S为H =(/；,.,Aj =(2.r,2y,-l).由题意，知n 5,即2x 2y -I-2 -2 I '得x = l,.y = l,代入曲面方程，得乙=2.故切平面方程为2 X + 2 J - Z - 2 =

4、 0 -例3求乙=X），的一个切平面，使之平行于平面3-¥ + 2y -乙=2.解 设切点为则切平面的法向为n = /（%,儿，和）=（儿，, -1） 已知平面的法向为兀=W'（%，yo，G）= （3,2,-l）.从而相应的切平面方程为又两平面平行> 得万/!=> >1 = 33。= 2. = Zo = 63x + 2y 乙=1 2.例4试证J7+需>0）上任何点处的切 平面与各坐标轴的截距之和是常数.Ifl J、2頁2賦2賦）为切平面的法向.故切平面为证 设尸=y/x + y/y + VT - J：（兀0. Vf）. G ）是曲面 上任意点，r（工）

5、1 （ y ）+f"（乙乙0 ） =（）2 Jx。2 Jy。2 JzoJ-X r -*rI = jE + yl y a + J 乙 o Io ,V%d y Q7 5令y = z =（）=> 坷=JE二同理得N = J>/' Z, = J “a.因而截距之和为® + >'1 + Z=（賦 + 賦+賦）4=0.情形2设曲面V的方程为z = /（.v,y）.点必（）（儿勺） 二函数F（.v, y,z） = z - / （x. J）在"0（兀），儿，5 ）处可微，则切平面有法向量并=（3（兀，儿），5（5，儿），-1）.相应的切平面方程为

6、5 心- "J + 5 心-儿）-（Z - 5）=（） 法线为"_=y - Vg Z - 55（“）儿）5（,儿）-1Y情形3设曲面y的方程由参数方程y = y"v h给出，对、上任一点必0（勺0心）对应于“Ou平面 I 上点人（"0*0）,如果函数x（H,v）,y（«,v）,z（w,v）在包 |1 含/乙（知，片）的某一邻域内都是类函数，并且 "X itX则曲面在点M仆处存在切平面,ds）且法向为IX"o5r'15、求螺旋面X = W cos V,y = » sin V (” > () v e R在

7、点Mo(l0()处的切平面和法线方程.iJkfl =XVzi - *7 *XVzy- Vy点对应(n,v) = (1,0),又cos Vsin VW sin V “ cos V(1.0 I所以切平面方程为乙=0,法线方程为二.曲线的切线与法平面1 曲线的切线ZTV设I是空间的曲线,叽是曲线上的点，7是曲线上连 M与M。的割线，直线/是直线7， 的极限位置，称为曲线在M。处 的切线.方向r称为切向量.其关系为：liniM 4 M 0M er定理1设空间曲线的方程为V = x（r）-V = y（f）乙=z（r）点M Jx,儿,5）在曲线上，M0对应参数为G，如果r = （x'a。）. y&

8、#39;（G）, /（G）工 0,则p为切线的切向量,兀-5二且切线方程为y -几二 2-55）一 /（G）VIrr2 曲线的法平面曲线上过切点且与切线垂直的平面称为法平面.由定义得到切平面方程为一 “)+ y'(fo)(y 儿)+ z'(fo)(z 5)= 0.例6求曲线x = f,y = r,;： = F在点(1,1,1)处的切线与 法平面方程- 解 曲线上的点对应r = 1,故切向量为？ = (1,2,3),切 9 线方程为X - I y - I Z - I1"2"3X + 2y + 3z 6 = 0.= 法平面方程为匚 xr<I八.7 V若曲线

9、作为两平面的交线f F(.v, V, z ) = 0G(x y. z) = 0r<I JFFXVG G' yFGZ1(*0 ”0 ：!) >J点Mo(%,)dZo)在曲线上，函数F(a-, y,z),G (x, y,z) 在点M。处的某个邻域内有连续偏导，则曲线在点M °处 的切向量为例9 求球面.v' + v" + Z-=-与椭球面 43.v' + ( V - I)' +=匕的交线对应于X = 1的交点处4的切线方程和法平面方程.解当"=I时，解方程3-v' + （y 一 1）2 + 乙94174，在点Ow)处

10、，两曲面的切平(1 A得交点坐标1，一,±1I 2)面的法向分别为= (2.v,2y,2z),nj =(6.v, 2( y - l),2z),从而在点fL ,11 处,Hj =(2,1,2),心=(61,2),=(4,&-8),故取？ = (1,2,-2).所以切线及法平面分别为X I 2 V - 1 Z 1= = 14-2x+2y-2c = 0.I 2 丿切平面和法线分别为X I 2 y 1 Z IC .C=,x+2y + 2w = O I42同样，在点(1,丄处得切向量为? =(1,2,2).从而x + 4y + 6 乙=21 和.V + 2 < = 7.三、梯度在

11、场论中的意义在前面的讨论中，我们知道，一个三元函数“ 可以看成是空间数量场的数学表达式。为了研究其分布 特征，通常采用等量面的描述方法.即由方程A'（ x, y,z） = c所表示的曲面.这里C是任意常数.数量面 通过场内一点Mo（ro,5）的等fi面.方程为/（X,=尸（5，儿，6）= C.由第一目中的讨论知，若F （兀,z）是:场，且VF（M（J工6则VF （M。）为F（X.Z）通过M 0点的 等量面在该点的切平面的法向.又由梯度的意义 是指向F的等量面的高值方向.对平面数量:场厂（X）=c的情形，方程F（仏y） = cl 表示的曲线称为等量线.等量线F（x, y） = C可视为 曲线f Z = F ( y), l"C在平面上的投影曲线.该投影曲线又称为等高线.对等量线F（x,.v） = C在曲线上任意点（x）处