对立体几何中若干错解的剖析.

1、对立体几何中若干错解的剖析丁勇在立体几何的学习中， 倘若对基本的概念认识不清，缺乏一定的空间想象能力， 对问题的思考不够严谨，就很容易导致解题的失误，下面举例说明。例1.已知空间四边形 ABCD的对角线 AC 10cm，BDCD的中点，MN 7cm。求异面直线AC与BD所成的角。 错解取BC中点E，连结EM、EN， 因为M、N、E分别为AB、CD、BC的中点，1所以 ME / AC 且 ME -AC 5cm 。 NE / BD 且26cm, M、N 分别是 AB、ANE-BD 3cm。 MEN为异面直线 AC与BD所成的角。B222 2宀 亠人Tj亠宀ME NE MNMEN 中，由余弦疋理得

2、cos MEN 2MEgNE5232722 5 3MEN 120，所以异面直线 AC与BD所成的角为120 。剖析上述解题过程中没有注意到两条异面直线所成的角的范围是(0 ,90 。所以异面直线AC与BD所成的角为 例2.把长、宽分别为 D的距离。错解如图，取AC的中点180 MEN 60 ,4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，求顶点 B和DO ,连结 DO、BO，5 因为 AB 4，AD 3，所以 BO=DO=-，2由勾股定理可求得 BD。2CAO 剖析上述错解是由于对二面角的平面角理解不深造成的。B事实上，由于 DO、BO与棱AC不垂直，BOD并不是二面角的平面角，也不是直角。

3、DMk N!M如图过点B作BMBAC，过点D作DN在 Rt ABC，BM gAC ABgBC，因为AC , BM , DN为两条异面直线，12AB 4,BC 3, AC 5,所以 BM 5同理75DN ，又 BC2 ACgCM ,所以 CM 599同理 AN ,而 MN AC 2CM55应用异面直线距离公式EF2 d2n2 2mncos去求BD ,这里，二面角B AC D为直二面角，BM与DN的夹角 90 , EF = BD , d MN337,所以BD2512 2 2 22m n BM DN ,所以 BD2 MN2 BM 2 DN 2 5B和D的距离BD 返7。52AC折起，使ABC和ADC

4、例3.矩形ABCD中，AC 2j2 , AB < BC ,沿对角线A22,在EF AC 2AEDEF 中，DE2 EF2 DF2,4 X222 2/22 2 2 2 2BD BE DF EF 2BEEF2,即 52如（'血2Y）2,把代入上式得X4 8x2 12 0,所以 X2 6 或 X22，即 AB剖析错解忽略了题中所给的条件AB < BC，即 x < y。因而27 2X 6 时，y平面 ABCD , PA、B（乙）符合X2 < y2，所以X22，即AB例4.四棱锥P ABCD，底面是边长为a的正方形，平面PCD PC与底面所在平面所成角分别为 60和30。

5、求棱锥的高。（甲）错解因为平面PCD 平面ABCD ,所以过P作P0 AC于0 ,则OP 平面ABCD。J3（如图甲）因为 PAO 60 , PCO 30 ,设 OP h，则 OA OPgcot60 h,3OC OP 8ot30o J3h ,所以由 OA OC AC J2a 得h 73h J2a，所以 3h血a。所以所求棱锥的高为446a。4P在底面上的射影不一定 它能引导我们的思路，所以剖析题目并未说四棱锥 在底面多边形的内部（如图乙） 作图时要十分注意。P ABCD是正棱锥，因此，顶点 。正确作图是解几何题的关键，若O在AC上，由OA OCAC辰得弊尿72a，所以h76a。4若O在AC的延

6、长线上时，则由OA OC AC 辰知,42a ,所以h a ,故棱锥的高为 a或芒一a。242例5.正三棱柱的底面的一边与侧棱都为 作棱柱的截面，求截面的面积。a，过底面的一边与上下底面中心连线的中点B'1pi X!孩y J ”J »B（甲）C'C'（乙）错解设上下底面中心为 O、O'。 P为OO'连线的中点，D为AB的中点，连结DP并延DC 3旳,即OD 1长交CC'于一点E，贝y ABE即为所求的截面，如图（甲）。因为ECOPS ABEEC 3 a。所以 ED J（逅 a）2 （3a）2 J3a。所以2r 22剖析上述解答，似乎没有

7、毛病。但仔细检查不难发现,EC3-a > aCC'。这说（乙）。明E点不应落在CC'内，而应落在CC'的延长线上，见图设DE交上底面于点H，过H点作GF，使得GF / A'B'，则等腰梯形 AGFB才是所求的截面。EC'因为ECEC'所以S弟形AGFB3，又 王 里 GF，所以 GF AB 1a,HD -DE -73a,1 EC ED AB3333(a- a)g2 JSa 4J3a2。即所求棱柱的截面面积为 Jsa2面积单位。23 运 99例6.在半径为15的球内有一个底面边长为 12J3的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体积.错解如（图一）所示，球心 0的位置，OA OB OC 0D R 15 o BCD是边长为12 J3的正三角形，它的中心为 H o H也是A点和0点在平面BCD上的射影。HB HCHD - 1/3 12,所以 OH Job2 HB2 J152 1 22 9 32所以三棱锥A BCD 的高 h 9 1524，又 S BCD(1)2 10873.4所以三棱锥A BCD的体积VA BCD1-108/3 243A BCD的顶点864/3.A与球心0在平面BCD的同侧, 而遗漏了在异侧的情况。女叮图二）所示，三棱锥A BCD的高h剖析上面的解法只考虑了三棱锥0A 0H 15 9 6o导致错误的