初中几何第一册第二章吉林市教育信息网.

1、文件sxcbk0031.doc科目数学关键词平行线/教法建议/学法指要标题平行线内容平行线一、教法建议【抛砖引玉】本单元的主要内容是平等行线的概念，平行公理，平行线的判定和性质， 这些知识间的关系如下图：为了学好本单元内容， 让学生在小学学过画平行线的基础上，自己画图，总结平行公理。再通过分析画平行线的过程得知，画平行线实际上就是画相等的同位角，用此得到平行线的判定公理一一“同位角相等，两直线平行”。以判定公理为基础，应用对顶角的性质和邻补角的关系，再推导出平行线的两个判定定理。同样，用实验的方法得到平行线的性质公理一一 “两直线平行，同位角相等”。以性质公理为基础，同样是应用对顶角性质和邻补

2、角的关系，又推导出平行线的两个性质定理。为了学好本单元的新内容，教学时，应先复习前一大节相交线所成角的有关知识，为本单元作为铺垫的准备，再强化本单元所学平行线判定公理和定理。性质公理和定理，为学好下一单元内容提供先决条件，使本单元内容真正起到承前启后之功，教学时，结合实例，实 验，一定要学好，学熟，以便今后更好地学习与应用。在教学时，对平行线的判定与性质的题设，结论的关系，结合应用这些知识的练习，使学生体会它们的区别。因为区分“判定”和“性质”的教学法以后还要进行，这里不要求学 生完全掌握，结合练习和习题，掌握住什么时候用“判定”，什么情况用“性质”就可以了。本大节的推理论证， 除了不写已知，

3、求证外，推理的步骤逐渐增多了， 推理的格式逐步 规范了，推理过程不再通过语言叙述来过渡，而是直接使用符号推理论证，并加强了有关推理练习，但仍然是让学生逐步接触，逐渐认识和熟悉推理阶段。教学时，要循循善诱，因材 施教，按练习和习题的要求进行教学，不要再增加习题的难度，习题量也不要太多，给学生 留有思考的时间和空间，没有学过的一些逻辑名词，如题设，结论，定理，证明等术语可在 教学时暂不使用。【指点迷津】平行线概念是用“不相交”这种否定的方式来定义的， 这种否定的方式包含了对空间的 想象。因为在实际中只有平行线段的形象，我们说的平行线是无限延伸着的，无论怎样延伸也不会相交，很难对此理解，为了加深对平

4、行线概念的理解，可利用学生熟悉的长方体中棱的位置关系，说明只有在平面内不相交的直线才是平行线，在空间里，不相交不一定平行， 还可能是异面。画平行线一定要使工具， 不能徒手画，养成良好准确的作图习惯。作样区别“判定”和“性质”。在这里告诉学生：从角的关系得到的结论是两直线平行，就是“判定”；如果已知直线平行，由平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质。再通过练习和习题，让学生会用。注意随时纠正出现的错误。 为了培养学生的空间观念和空间思维能力， 以使学 生对长方体的直观认识为基础， 通过观察长方体某些棱与面， 面与面不相交，进而把它们想 象成空间里的直线与平面， 平面与平面的不相交， 来建立空

5、间里平行概念， 多观察，多想象, 多思考，便可强化空间观念。二、学海导航【思维基础】几何概念，公理，1. 在同一平面内，2. 在同一平面内，定理一定要理解并熟记，它是解决几何问题的工具。叫做平行线。两条直线的位置关系只有两种。3. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与 4. 平行公理换一个推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么5. 平行线判定公理：两条直线被第三条直线所截， 说成：6. 平行线判定定理1: O简单7.平行线判定定理2:，如果内错角相等，那么 。简单说成：内错角相等，两直线平行。，如果同旁内角互补， 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。8. 两条直线垂直于同一条直线，

6、这两条直线9. 平行线性质公理：相等。10. 平行线性质定理角相等。11. 平行线性质定理内角互补。12. 如图，在长方体中，棱 CD与哪些平面平行？ 。而A ADD'与哪些棱平行？ 。而A'BBA与哪个面平行？ 。简单说成：两直线平行，同位角。简单说成：两直互平行，内错。简单说成：两直线平行，同旁6填空：【学法指要】1.如图，如果 AB / DE , AE / DC,那么/ 仁/2。/ AB / DE ()/ 1= (/ AE / DC ()-= / 2 ()思考：1.平行线的性质公理是什么？2.平行线有几个性质定理？知道吗？请举例说明？思路分析：已知条件 AB / DE ,

7、 AE / DC,由两直线平行，可联想平行线的性质公理及 定理，再结合图形，便可找出括号里每一步的根据。解：已知，/ 3，两直线平行，内错角相等，已知，/ 量代换。例2.如图，把推理的依据，填在括号内。3,两直线平行，内错角相等，等（已知）（已知）/ 1 = / B AD / BC/ C= / 2/ B= / C / 1 = / 2 （ AD是/ CAE的平分线（思考：1.平行线的判定公理你知道吗？请叙述？2.判定两条直线平行有几种方法？3.平行线的性质公理，定理请叙述。思路分析：观察图形，结合已知条件，联想平行的判定定理及平行线的性质定理等，便 可找到括号里的根据。解：同位角相等，两直线平行

8、；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线定义。例3.如图，直线 AB , CD被直线EF所截，量得/ 1=80 °，/ 2=100。，那么 AB / CD，为什么？思考：1.判定两条直线平行有几种方法？2.对顶角有什么性质？思路分析：欲证两条直线平行， 必须联想二直线平行的判定公理及定理，再结合有关定理进行证明，便可找到为什么？解：/ 1=80 °，/ 2=100。（已知）又/ 3= / 2=100。（对顶角相等）/ 1 + / 3=180 ° AB / CD （同旁内角互补，二直线平行）例4.如图，已知/ 1= / 2, AC平分/ DAB，你能判断哪两条直

9、线平行？请说明理由。 思考：1.同位角相等，二直线平行，内错角相等，二直线也平行吗？2.角的平分线有什么性质？思路分析：观察图形可知，要证明AB / CD，进而转化证/ 2= / 3,如何证/ 2=/ 3呢，结合已知条件，便可获证。解：可判定 AB / CD，理由如下：/ AC平分/ DAB （已知）（角平分线性质）（已知）（等量代换）（内错角相等，二直线平行）/ 1 = / 3/ 1 = / 2/ 2= / 3 AB / CD例5.如图，已知/ 1与/ 2互补，求证：/ 3与/ 4互补。思考：1.同旁内角互补，二直线平行？2.请叙述对顶角的性质？3.平行线的性质公理，定理你知道？请叙述？思路

10、分析：由图可知，可以观察知/ 4与/ 6是对顶角，所以要想证/ 3与/ 4互补，只 要证/ 3与/ 6互补，只要证AB / CD。1与/5是对顶角1= / 51与/ 2互补（已知）5与/ 2互补（等量代换）证明：/AB / CD （同旁内角互补，二直线平行）/ 3与/ 6互补（二直线平行，同旁内角互补）/ 6= /4 （对顶角相等）/ 3与/ 4互补（等量代换）【思维体操】例1.如图，已知：AB / CD ,E求证：/ B + / BED +/ D=360 °思考：1.你知道周角的定义吗？它的度数为多少？2. 平角的定义是什么？它的度数是多少？3. 条件分散，又如何把分散的条件集中呢

11、？4. 平行线的性质公理，定理你会叙述吗？思路分析：360。可分为二个180°，由这个180°联想“二直线平行，同旁内角互补” 把三个角分为四个角，使两两互补即可。由 360。又引起我们联想，把三个角集在一块，成 为一个周角也可达目的。E 点作 EF / AB，则/ B= / BEF （两证法一：把分散变集中，构成周角思路如图，通过 直线平行，内错角相等）/ AB / CD （已知） EF/ CD （平行同一直线的二直线平行）/ D= / DEF （二直线平行，内错角相等）/ BEF + / BED + / DEF=360 ° （周角定义）/ B + / BED

12、+ / D=360 ° （等量代换）证法二：一分为二好，分而证之巧过点E作EF / ABE / B + / BEF=180。（二直平行，同旁内角互补）/ AB / CD （已知） EF/ CD （平行于同一条直线的两条直线平行） / D + /DEF=180 ° （二直线平行，同旁内角互补）/ B + / BEF + / DEF + / D=360 ° 即/ B +/ BED + / D=360 ° 证法三：转化为平角，思路畅通了。如图，延长 AB , CD过E点作EF / AB。/ AB / CD （已知） EF/ CD （平行于同一直线的两直线平行）

13、/ 1 = / 2 （二直线平行，内错角相等） / 3= / 4 （二直线平行，内错角相等）而 / ABE +/ 1=180 °/ CDE + / 4=180 ° （平角定义）/ ABE +/ CDE + / 1 + / 4=360 °即/ ABE + / CDE + / 2+/ 3=360°（等量代换）/ ABE +/ CDE + / BED=360 °ED ,证法四：转化为同位角，思路又找到，延长EB ,/ 2 （二直线平行，同位角相等）/ AB / CD （已知） EF/ CD （平行于同一条直线的两直线平行）/ 3= / 4 （二直线平

14、行，同位角相等）/ 1 + / ABE=180 ° （邻补角定义） / 3 +/ CDE=180 ° （邻补角定义）/ 1 + / 3 +/ ABE +/ CDE=360/ 2 +/ 4 +/ ABE +/ CDE=360 ° （等量代换）即/ ABE + / CDE + / BED=360 °例 2.如图，li /|2,/ 1=3x 度，/ 2=（x + y）度，/ 3=（3x + 2y）度，/ 4=（2x + y）度，求/ 5 的度数。思考：1.请说出平行线的性质公理，定理。2.对顶角有什么性质？3.解二元一次方程组通常使用哪二种方法？4.如何把二元

15、一次方程组转化为一元一次方程求解？思路分析：从已知条件获悉，本例是一道数形结合题，必须与代数互相配伍，才能找到 思路的“向导”。因此，要应用几何定理建立关系式，再借助代数计算，可打通思路。解： / 1与/ 2是对顶角（如图）/ 1 = / 2 即 3x=x+y / |1 / |2 （已知）/ 2+/ 3=180。（二直线平行，同旁内角互补） 即 x+y+3x+ 2y=180 °、联立解方程组，得x=18°, y=36° / 4=2x + y=72 °/ l1 / l2 （已知）/ 5=180 ° -/ 4 （二直线平行，同旁内角互补）=180

16、° - 72°=108 °又解： 11/ l2 （已知）/ 3= / 6=3x + 2y（度）（二直线平行，同位角相等）/ 1 + / 6=180 ° （邻补角定义） 3x+3x+ 2y=180°/ 1 = / 2 （对顶角相等）3x=x+ y、联立解方程组，得jx=18 °略。BAM 与/ AMD 互补，求证：/ E=/ F。2.请叙述平行线的判定公理及定理，再3.证明两角相等你首先应想哪些定理？ly=36 °下同原解法， 例 3.如图，/ 1 = / 2,/思考：1证明两角相等应转化为证明什么问题？ 回忆平行线的性质公理

17、及定理。（已知）二直线平行）CMA= / BAM （二直线平行，内错角相等） 1= / 2 （已知）CMA -/ 2= / BAM -/ 1FMA= / EAM （等量减等量，差相等）直线平行）思路分析：欲证/ E= / F,即转化为证明 AE / FM，要证明AE / FM ,又须转化证/ FMA= / EAM，又由于/ 1 = / 2,所以只要证/ CMA= / BAM，由已知/ BAM 与/ AMD 互补，即 可知AB / CD，即时思路便打通了。3证明：/ BAM +/ AMD=180 ° AB / CD （同旁内角互补，/FM / AE （内错角相等，/ E= / F (二

18、直线平行，内错角相等)三、智能显示【心中有数】对本单元平行线概念及平行线的基本性质了解， 行线的判定公理和定理及平行线的性质公理及定理进行推理和计算。 角板、直尺)过已知直线外一点画这条直线的平行线， 和位置关系的语句，并会用这些语句描述简单图形， 体图形，建立空间观念，培养空间思维能力。会用平行线的传递性进行推理， 会用平 正确使用作图工具(三 理解本单元学过的关于描述图形形状 会根据描述的语句画出图形， 通过长方【智能显示】一、填空题：1. / 1=58°,/ 2=58 °，那么/ 1 = / 2,理由是，那么ABCD ,理由是2. 如图，/ 1 = / E，那么 AC

19、DE，由是如果/ 2= / A，那么AB /，理由是 / 3= / B，那么/ ，理由是3. 如图，如果 EF/ BC,那么/ 1=，理由是。如果 EF/ BC,那么/ C + =180°，理由是 ;如果EF / BC,那么/ B= / 4,理由是_。如果 O4. 如图，如果 DE / AB，那么/ B=，理由是 _;女0 DE / AB，那么/ A=，理由是 ;如果 DE / AB，那么/ A + _=180°，理由是 ;或/ B+ =180°，理由是；如果 / 则/ C=/ FDB，理由是5. 如图，AB / CD，/ 3=45 °，/ 1=75请在

20、括号码内填写推理依据。/ AB / CD/ 2= / 3/ 3=45 °/ 2=45 °(又 AB / CD (/ A + / ADC=180即/ A + / 1 + / 2=180 / A =180 °=180 °二、已知：如图，/ AED=50 °)° (/ 1 / 275° 45° =60°CD 平分/ ACB ,，求/ EDC的度数。求/ A。(DE / BC ,三、已知：如图， A , B , C三点在一条直线上，/ 1 = / 2，/ D= / 3,求证：BD / CE。/ DCB= / AC

21、B （角平分线定义）2/ DE / BC （已知）/ EDC= / DCB （二直线平行，内错角相等）/ AED= / ACB （二直线平行，同位角相等）/ AED=50/ ACB=501- 2=25/ EDC=25三证明：/1 = / 2 （已知） AD / DE （内错角相等，二直线平行）/ D= / 4 （直线平行，内错角相等）/ D= / 3 （已知）/ 4= / 3 （等量代换） BD / CE （内错角相等，二直线平行）A【智能显示】答案：一、1等量代换；/;同位角相等，二直线平行。2. / ;同位角相等，二直线平行；CD ;内错角相等，二直线平行；AB / CD ;同位角相等，二

22、直线平行；3. / B;两直线平行，内错角相等；/3;二直线平行，同旁内角互补；二直线平行，同位角相等。4. / EDC;二直线平行，同位角相等；/ DEC ;二直线平行，同位角相等；/ AED ; 二直线平行，同旁内角互补；/ EDB两直线平行，同旁内角互补。 DF / AC ,二直线平行， 同位角相等。内错角相等；已知；等量代换；已知；二直线平行，同旁内角互5已知；二直线平行， 补；等量代换，等式性质。ACB （已知）二解： CD平分/1（已知）（等量代换）1/ DCB= 一 / ACB= X 50- 2（等量代换）（等量代换）【创新园地】1已知：如图，AB / CD 求证：/ BED=

23、/ B + / D2已知：/ C=/ 1,/ 2和/ D互余，BE丄FD于G, 求证：AB / CD3如图，AB / CD，/ B=120 °，/ C=25求/ E的度数。【创新园地】答案1证明：过点E作EF/ AB ,/ B= / 1 （二直线平行，内错角相等）/ AB / CD （已知） EF/ CD （平行于同一条直线的两直线平行）/ 2= / D （二直线平行，内错角相等）/ BED= / 1 + / 2= / B + / B （等量代换）又证：过E作EF/ AB/ B + / BEF=180 ° （二直线平行，同旁内角互补）/ AB / CD （已知） EF/ C

24、D （平行于同条直线的两直线平行）/D +/ DEF=180 ° （二直线平行，同旁内角互补）B + / BEF + / D + / DEF=360 °BEF +/ DEF + / BED=360 ° （周角定义）B + / D = / BED （等量代换）A2证明：如图，/ C= / 1 （已知） BE / CF （同位角相等，二直线平行）/ DGE= / DFC （二直线平行，同位角相等）/ BE丄FD （已知） / DGE=90 ° （垂直定义）/ DFC=90 ° （等量代换）/ 2 + / CFD + / DFB=180 °

25、 （平角定义）/ 2 + / DFB=180 ° - CFD=180°- 90° =90° （等式性质）/ 2与/ D互余（已知）/ 2 + / D=90 ° （互余定义）/ 2 + / DFB= / 2+/ D （等量代换）/ D= / DFB （等式性质） AB / CD （内错角相等，二直线平行）3证明：如图，过 E作EF / AB/ BEF= / B=120 ° （二直线平行，内错角相等）/ AB / CD （已知）/C+/ CEF=180° C=25。（已知）CEF=180 ° - 25° BE

26、F +/ CEF + /（二直线平行，同旁内角互补）=155 °BEC=360 ° （周角定义）BEC=360 ° -/ BEF-/ CEF =360°- 120°- 155° =85 ° （等式性质）又证：如图，过点 E作EF/ AB ,/ 1 + / B=180/ B=120/ 1=180/ AB / CD EF / CD（二直线平行，同旁内角互补） （已知）-/ B=60 ° （等式性质）（已知）（平行于同一直线的两直线平行）/ 2= / C=25 ° （二直线平行内错角相等）/ BEC= / 1

27、+ / 2/ BEC=60 °+ 25° =85 °四、冋步题库一、填空题1.2. 三条直线 a、b、c,如果a /3. 如图，AD / BC, AB 丄 DA , 贝U/ ABD=的两条直线叫平行线。b, b / C,那么 a/ ADB=40 ° ,4.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角之比为。5.如图，l1 / 12, AB / BD，则/ 1和/ 2的关系是 / 1和/ 3的关系是6. 如图，AB / CD，其中/ 1是/ 2的2倍， 则/ 2=7. 如果有线a / b, b丄c,那么a和c的位置关系是8. 如图，已知 AB / CD , AE

28、是/ CAB的平分线，如果/ BAE=51 °，那么/ ACD= 。c。S : 7,则这两个角分别是AVCO9. 如图，若 AB / EF，则/ 1 + / 2+/ 3+/ 4 比/ 5+/ 6大10. 如图，有a / b,直线c与a、b都相交，且/ 1=80那么/ 2=度。11.如图，/ 1 = / 2, / 3=135，那么/ 4=4A£134CftcA,/ 2=120。，则/a12. 如图，AB / CD , / 1=10013. 如图所示，计划把水渠中的水引到水池C中，可先过C点引CD丄AB于D，然后沿CD开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的根据是。BEF 和

29、/ DFE ,14. 如图，AB / CD , EG、FG分别平分/则/ EGF的度数为。15. 如图所示的长方体中，与面 DCCD 平行的面是_二、选择题16. 下列说法错误码率的是 。 厂(A )经过一点，有且只有一条直线和这条直线平行(B) 经过一点，有具只有一条直线和这条直线垂直(C) 经过直线外一点，有一条直线和这条直线平行(D)经过直线外一点，有且只有一条直线平行17.两条直线被第三条直线所截，则 (B)内错角相等(C)同旁内角互补两直线的位置关系可能有 (B)平行或垂直(D)平行、垂直或相交(A)同位角相等18. 在同一平面内，(A)平行或相交(C)垂直或相交(D)以上都不对19

30、. 已知直线a和直线c的夹角等于直线 b与直线c的夹角，则直线为(A)平行20. 如图，(A)/(C)/21. 如图，(A)/(C)/(B)相交(C)垂直(D)不能确定AB / CD , EF / GH，下列结论错误的是 1 = / 2(B)/ 1 = / 31 = / 4( D)/ 1 + / 4=180 °AB / CD , EG, FG分别为/ FED和/ EFB的平分线,5+/ 6=180 °( B)/ 1 + / 4=90 °G=90°(D)/ 2+/ 3=180则下列结论错误的是22. 两条直线被第三条直线所截，下列错误的是(A)(B)(C)

31、(D)同位角相等，两直线平行 同旁内角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角之和为180 °，两直线平行23. 平面内有三条直线 11、12、13,如果11(A)平行(B)垂直(C)相交24. 两直线被第三条直线所截成的八个角中，/ 2等于(A) 60°( B) 120 °(C) 90°l2, 12 / 13那么l1和13的位置关系 (D)重合 如果/ 1和/ 2是同旁内角且/ 1=2 / 2,则(D )不能确定25. 如图，AB 丄 EF, CD 丄 EF , / 1 = / F=45 ° ,则与/ FCD相等的角有 (A) 3(

32、 B) 4(C) 5(D) 626. 如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角(A)相等(B)互补(C)相等或互余 (D)相等或者互补27. 如图，AB / CD , / BED=75 °，/ D=30 ° ,则B等于(A) 30°( B) 45°(C) 60°( D) 105 °28. 如图，AB / CD , AD和BC相交于点 0,若/ A=42 / C=51 °，则/ AOB= _。O(A)42(B)51(C)87(D)9029.如图，直线a、b都与直线c相交，下列命题中， 能判断a / b的条件是

33、/ 仁/2/ 3= / 6 / 1 = / 8/ 5+/ 8=180Cb(A 7(C)30.如图, 平分/ CDE,(B)(D)女口果 AB / CD, BF 平分/ ABE , DF /(A) 37.5(C) 38.5三、解答案31.如图，BED=75(B)(D)AB 丄 BF ,A BMCpCD丄BF , / 1 = / 2,且/ DCF=124 °，求/ AEF 的度数。，那么/ BFD=35°o3632.如图,c33.如图,34.如图,已知GD 丄AC,/ AFE= / ABC ,/ 1 + / 2=180 °，求证：BE 丄 AC已知35.如图，证：/

34、AFG= / GoAD平分/BAC , GE / AD ,A FGE交AB于F,36.如图，已知/ 2的度数。AB / CD,EF和GH相交于P,/ BGP=150 °，/ GPF=70°，求/ 1 和 BC riF D37.如图,已知 AC 丄 BC, CD 丄 AB , DG 丄 AC，/ 1 = / 2，求证:38.已知,如图/BED= / 1 + / 2,求证：AB / CD （提示：过 E点作AB的平行线）。39.如图,AB)已知/A= / 1,/ E= / 2, AC 丄 EC。求证:40.如图,已知/B= / DCF , AD / BC,1.同一平面内没有交点2./3. 50°4. 40 °、140°6. 60°7. a 丄 c 8. 78 °9. 360 °10. 80 ° 11.135°13.垂线段最短14. 9