大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)汇总

1、大一上学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1 设 f ( X) = cos x(x+|sin x|),则在x = 0处有()(A) f'(0)=2( B) f'(0)=1 (C) f'(0)=0(D) f(x)不可导.设a(x) = 1 X , p(x)=3 34，则当 XT 1 时(2.1 +x(B) a(X)与(X)(A) a(X)与(X)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 价无穷小；(D) P(X)是比a(X)高阶的(C) a(X)是比P(x)高阶的无穷小；无穷小.x3.若F (x)= J。(2tX)f(t) dt，其中f(x)在区间

2、上(行)二阶可导且 f'(x)>0，则().(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值；(B) 函数F(x)必在x=0处取得极小值；(C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F (0)为曲线y = F(x)的拐点；(D) 函数F(x)在x=0处没有极值，点(0, F(0)也不是曲线y = F(x)的拐点。14设 f (x)是连续函数，且f(X)= X + 2 J0 f (t)dt ,贝y f(X)=(.X2X2 + 2(A) 2( B) 2(C) x-1(D) x + 2.二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2lim (1 + 3x)sin =5.XT。m

3、 f(x)cosxdx =x6.已知cosx是f(x)的一个原函数，X兀2 兀22 兀 11.2“ 17.lim (cos2 + cos2 + HI + cos2兀)=n Y nnnn12 2 . .,8.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数y = y(x)由方程eE+simxy"1确定，求y(x)以及y (0).+ r 1 - x7,求J厂dx.10. x(1 +x )r X arcsin x +1 已 E dx=211.设 f(x)= IJiLF12.0 C X < 11J f (xt)dt0求 J； f(x)dx设函数f(x)连续，g(X“ g(

4、x)并讨论g(x)在x = o处的连续性.，且!im号",A为常数.求y(1) = -113.求微分方程xy + 2y = x In x满足9的解.四、14.解答题(本大题10分)已知上半平面内一曲线 y = y(x)(X >0)，过点(0,1)，且曲线上任一点 M(xo,yo)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x = xo所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y = ln X的切线，该切线与曲线y = ln X及X轴围成平面图形D.(1)求D的面积A; (2)求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积

5、 V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在b，1】上连续且单调递减，证明对任意的q可0-1，q1J f (X) d X >q jf (X)dx00兀JIff(x)dx = 0 f f (x) cos X dx = 017.设函数f(X)在0,兀上连续，且0,0证明：在(0,兀)内至少存在两个不同的点上1,巴2，使f(J)= £(2)= °.(提XF(x) = J f (x)dx示：设0)解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C4 分,兀2.8 分,共16分)兀8.3共 40 分)二、填

6、空题(本大题有4小题，每小题1,cosx 2 ,5. e. 6. 2 X 丿.7.二、解答题(本大题有5小题，每小题9.解：方程两边求导ef(1+y F ccxy( xy)(y =)ex£ + ycos(xy)y(x2"e5+xcos(xy)x=0,y=0y(0)=110.解：u=x7 7x6dx=du店卡 1 r (1 -U) .1，1原式=_ fdu = _ f(7u(1 +u) 7 u1= -(ln|u|-2ln |u+1|) +c1 2=-ln|x7|-ln|1 +x7|+C1 0 1 244.解：Jj(x)dx= Jxedx + J0V2x-x dx2 )duu

7、+1J；xd(e)+ J； J1 (X1)2dx_x_x-xe -e002人I + f 兀cos20dQ(令x-1 =sin0)2兀3-2e3 -1412.解：由 f（0）=0，知 g（0）=0。g(x)二 ff (xt)dt 二xJf(u)du0(XH 0)xf(x) - Jf (u)dug(x)=(XH0)f f(u)du9(0)=八= lim T 2xxf(x) Axf(x) - Jf (u)dux2A-2 , g'(x)在x = 0处连续。13. 解：dx x-fdxf-2y = e x (Je'xdxln xdx+C)亠xx+Cx，391 1 1 y(1FC=0y =

8、 -xlnx x”厂 9,39四、解答题（本大题10分）X14. 解：由已知且y = 2Joydx + y，将此方程关于x求导得y = 2y + y特征方程：r2-r2=0解出特征根：1=4, 5=2、X2 XC12x其通解为y=c1e +C2e代入初始条件y(°)= y'(°)i，2 y = -e故所求曲线方程为：3五、解答题(本大题10分)15.解：(1)根据题意，先设切点为(X0,ln Xo)，切线方程y In Xo1=(X Xo ) Xo1y = -xe兀2=V1 -V2 = (5e2 - 12e+3) 6共12分)q(本大题有2小题，每小题4分，q1qJ

9、f(X)d X-q J f (x)dx= J f (x) d xq( Jf (x) d x + J f (x)dx)°°° °q由于切线过原点，解出Xo =e，从而切线方程为:1 y1A = J(e -ey)dy = ；e-1则平面图形面积02Vi,则(2)三角形绕直线X = e 一周所得圆锥体体积记为曲线yRnx与X轴及直线X = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积 为V21V2 = J 兀(e-ey)2dy0VD绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题16. 证明：q= (1q)Jf(x)dxq Jf(x)dx°q5

10、 qo, q i2 Qq,1f ( M(0二 q(1-q) f®)-q(1-q) f (©2) H ° 故有：q1Jf (X) dx>qjf (X) dX°°证毕。17.XF(x)= Jf(t)dt ,0 <x证：构造辅助函数：0。其满足在0,兀】上连续，在(0®)上可导。F(x) = f(x)，且 F(0) = F (兀)=0JIJIK0 = f f (x)cosxdx = fcosxdF (x) = F (x)cosxl + fsinx F (x)dx 由题设，有00b 0,兀fF (x)sinxdx = 0有0，由积分中值定理，存在©"0卫)